数学专题————方案设计

1、例例1.1.为创建为创建“国家卫生城市国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在6060天内完成工程，现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程，天内完成工程，现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程，经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用多用2525天，甲、乙两队合作完成工程需要天，甲、乙两队合作完成工程

2、需要3030天，甲队每天的天，甲队每天的工程费用为工程费用为2 5002 500元，乙队每天的工程费用为元，乙队每天的工程费用为2 0002 000元元. .方程、不等式型方案设计方程、不等式型方案设计(1)(1)甲、乙两个工程队单独完成各需多少天甲、乙两个工程队单独完成各需多少天? ?(2)(2)请你设计一种符合要求的施工方案请你设计一种符合要求的施工方案, ,并求出所需的工程费并求出所需的工程费用用. .【解析】【解析】(1)(1)设甲工程队单独完成该工程需设甲工程队单独完成该工程需x x天天, ,则乙工程队则乙工程队单独完成该工程需单独完成该工程需(x+25)(x+25)天天, ,根据题

3、意得根据题意得: :方程两边同乘以方程两边同乘以x(x+25),x(x+25),得得30(x+25)+30 x=x(x+25),30(x+25)+30 x=x(x+25),即即x x2 2-35x-750=0.-35x-750=0.解之解之, ,得得x x1 1=50,x=50,x2 2=-15.=-15.30301.xx25经检验经检验,x,x1 1=50,x=50,x2 2=-15=-15都是原方程的解都是原方程的解. .但但x x2 2=-15=-15不符合题意不符合题意, ,应舍去应舍去. .x=50,x=50,当当x=50 x=50时时,x+25=75.,x+25=75.答答: :甲

4、工程队单独完成该工程需甲工程队单独完成该工程需5050天天, ,乙工程队单独完成该工乙工程队单独完成该工程需程需7575天天. .(2)(2)此问题只要设计出符合条件的一种方案即可此问题只要设计出符合条件的一种方案即可. .方案一方案一: :由甲工程队单独完成由甲工程队单独完成. .所需费用为所需费用为: :2 5002 50050=125 000(50=125 000(元元).).方案二方案二: :甲乙两队合作完成甲乙两队合作完成. .所需费用为所需费用为:(2 500+2 000):(2 500+2 000)30=135 000(30=135 000(元元).).其他方案略其他方案略. .

5、方程、不等式方案设计是指利用方程、不等式知识，通过计方程、不等式方案设计是指利用方程、不等式知识，通过计算比较获得解决问题的具体方法，方案的多重性来源于方程算比较获得解决问题的具体方法，方案的多重性来源于方程的解或不等式解集的不确定性的解或不等式解集的不确定性. .涉及到的实际问题，一般与经涉及到的实际问题，一般与经济有关，贴近生活，济有关，贴近生活， 在解题中要考虑到经济因素，此类问题在解题中要考虑到经济因素，此类问题类似于求最大值或最小值的问题，但解决的方法较多类似于求最大值或最小值的问题，但解决的方法较多. .常把常常把常见的模型化归为求方程或不等式的正整数解的问题见的模型化归为求方程或

6、不等式的正整数解的问题. .因此，正因此，正确地建立方程、不等式模型是解题的关键所在确地建立方程、不等式模型是解题的关键所在. .1.“1.“五一五一”期间，为了满足广大人民的消费需求，某商店计期间，为了满足广大人民的消费需求，某商店计划用划用160 000160 000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下表元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下表: :(1)(1)若全部资金用来购买彩电和洗衣机共若全部资金用来购买彩电和洗衣机共100100台，问商店可以台，问商店可以购买彩电和洗衣机各多少台？购买彩电和洗衣机各多少台？(2)(2)若在现有资金若在现有资金160 000160 000元允许

7、的范围内，购买上表中三类元允许的范围内，购买上表中三类家电共家电共100100台，其中彩电台数和冰箱台数相同台，其中彩电台数和冰箱台数相同, ,且购买洗衣机且购买洗衣机的台数不超过购买彩电的台数的台数不超过购买彩电的台数, ,请你算一算有几种进货方案请你算一算有几种进货方案? ?哪种进货方案能使商店销售完这批家电后获得的利润最大哪种进货方案能使商店销售完这批家电后获得的利润最大? ?并并求出最大利润求出最大利润.(.(利润利润= =售价售价- -进价进价) )【思路点拨】【思路点拨】 【自主解答】【自主解答】(1)(1)设商家可以购买彩电设商家可以购买彩电x x台台, ,洗衣机洗衣机y y台台

8、, ,根据根据题意得题意得 , ,解得解得答答: :商家可以购买彩电商家可以购买彩电6060台台, ,洗衣机洗衣机4040台台. .xy1002 000 x1 000y160 000 x60y40，(2)(2)设商家可以购买彩电设商家可以购买彩电x x台台, ,洗衣机洗衣机y y台台, ,根据题意得根据题意得 解得解得x37.5,x37.5,由购买洗衣机的台数不超过彩电的台数得由购买洗衣机的台数不超过彩电的台数得x33.33,x33.33,33.33x37.5,33.33x37.5,因为因为x x取整数取整数, ,所以有四种方案所以有四种方案: :x x取取34,35,36,37.34,35,

9、36,37.当当x=34x=34时商店销售完这批家电后获得的利润为时商店销售完这批家电后获得的利润为20020034+20034+20034+10034+10032=16 800(32=16 800(元元););xxy100yx2 000 x1 600 x1 000y160 000，当当x=35x=35时商店销售完这批家电后获得的利润为时商店销售完这批家电后获得的利润为20020035+20035+20035+10035+10030=17 000(30=17 000(元元););当当x=36x=36时，商店销售完这批家电后获得的利润为时，商店销售完这批家电后获得的利润为20020036+200

10、36+20036+10036+10028=17 200(28=17 200(元元););当当x=37x=37时，商店销售完这批家电后获得的利润为时，商店销售完这批家电后获得的利润为20020037+20037+20037+10037+10026=17 400(26=17 400(元元).).因此当商家各购买彩电和冰箱因此当商家各购买彩电和冰箱3737台台, ,洗衣机洗衣机2626台时获利最大台时获利最大, ,最大利润是最大利润是17 40017 400元元. .2.2.某电器商城某电器商城“家电下乡家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：价如下表所示：(

11、1)(1)按国家政策，农民购买按国家政策，农民购买“家电下乡家电下乡”产品享受售价产品享受售价13%13%的的政府补贴政府补贴. .农民田大伯到该商城购买了冰箱、彩电各一台，可农民田大伯到该商城购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的补贴以享受多少元的补贴? ?(2)(2)为满足农民需求，商场决定用不超过为满足农民需求，商场决定用不超过85 00085 000元采购冰箱、元采购冰箱、彩电共彩电共4040台，且冰箱的数量不少于彩电数量的台，且冰箱的数量不少于彩电数量的 . .若使商场获若使商场获利最大利最大, ,请你帮助商场计算应该购进冰箱、彩电各多少台？请你帮助商场计算应该购进冰箱、彩电各多少

12、台？最大获利是多少最大获利是多少? ?56【解析】【解析】(1)(2 420+1 980)(1)(2 420+1 980)13%=572(13%=572(元元).).(2)(2)设冰箱采购设冰箱采购x x台，则彩电采购台，则彩电采购(40-x)(40-x)台，根据题意得台，根据题意得解不等式组得解不等式组得因为因为x x为整数，所以为整数，所以x=19x=19、2020、2121，2 320 x1 900 40 x85 0005x(40 x)62318x21117，方案一：冰箱购买方案一：冰箱购买1919台，彩电购买台，彩电购买2121台台, ,方案二：冰箱购买方案二：冰箱购买2020台，彩电

13、购买台，彩电购买2020台台, ,方案三：冰箱购买方案三：冰箱购买2121台，彩电购买台，彩电购买1919台台, ,设商场获得总利润为设商场获得总利润为y y元，则元，则y=(2 420-2 320)x+(1 980-1 900)(40-x)=20 x+3 200y=(2 420-2 320)x+(1 980-1 900)(40-x)=20 x+3 20020200,y0,y随随x x的增大而增大，的增大而增大，当当x=21x=21时，时，y y最大最大=20=2021+3 200=3 620(21+3 200=3 620(元元).).3.3.某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，

14、某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱若购进电脑机箱1010台和液晶显示器台和液晶显示器8 8台，共需资金台，共需资金7 0007 000元；元；若购进电脑机箱若购进电脑机箱2 2台和液晶显示器台和液晶显示器5 5台，共需资金台，共需资金4 1204 120元元. .(1)(1)每台电脑机箱和液晶显示器进价各多少元每台电脑机箱和液晶显示器进价各多少元? ?(2)(2)该经销商计划购进这两种商品共该经销商计划购进这两种商品共5050台台, ,而可用于购买这两而可用于购买这两种商品的资金不超过种商品的资金不超过22 24022 240元元. .根据市场行情根据市场行情,

15、,电脑机箱、液电脑机箱、液晶显示器销售一台获利分别为晶显示器销售一台获利分别为1010元、元、160160元元. .该经销商希望销该经销商希望销售完这两种商品后售完这两种商品后, ,所获利润不少于所获利润不少于4 1004 100元元, ,试问试问: :该经销商该经销商有几种进货方案有几种进货方案? ?哪种方案获利最大哪种方案获利最大? ?最大利润是多少最大利润是多少? ?【解析】【解析】每台电脑机箱和液晶显示器进价分别为每台电脑机箱和液晶显示器进价分别为x x元、元、y y元，元， 解得解得 所以每台电脑机箱和液晶显示器进价分别是所以每台电脑机箱和液晶显示器进价分别是6060元、元、8008

16、00元元. .10 x8y7 0002x5y4 120，x60y800，(2)(2)设购进机箱设购进机箱z z台，则购进显示器台，则购进显示器(50-z)(50-z)台，台， 解得解得24z26,24z26,可购买机箱可购买机箱2424台、显示器台、显示器2626台或机箱台或机箱2525台、显示器台、显示器2525台台或机箱或机箱2626台、显示器台、显示器2424台，共三种方案台，共三种方案; ;242410+16010+16026=4 400(26=4 400(元元) )，252510+16010+16025=4 250(25=4 250(元元) )，262610+16010+16024=

17、4 100(24=4 100(元元) )，购买机箱购买机箱2424台、显示器台、显示器2626台时利润最大，最大利润是台时利润最大，最大利润是4 4004 400元元. .60z800 50z22 24010z160 50z4 100，解此类问题的一般步骤解此类问题的一般步骤1.1.分析题意，明确题目的数量关系分析题意，明确题目的数量关系. .注意关键字词句的含义；注意关键字词句的含义；2.2.设未知数，依据数量关系，构建数学模型设未知数，依据数量关系，构建数学模型. .把实际问题抽象把实际问题抽象化，符号化，转化为数学问题；化，符号化，转化为数学问题；3.3.求解模型，结合题意，确立解的范围

18、求解模型，结合题意，确立解的范围. .当与实际问题有关时，当与实际问题有关时，符合题意的解一般为正整数；符合题意的解一般为正整数；4.4.依据结果，设计方案依据结果，设计方案. .注意讨论方案的可行性或根据题意逐注意讨论方案的可行性或根据题意逐一验证，选择最优方案一验证，选择最优方案. . 函数型方案设计函数型方案设计 【例【例2 2】某办公用品销售商店推出两种优惠方法：购】某办公用品销售商店推出两种优惠方法：购1 1个书个书包，赠送包，赠送1 1支水性笔；购书包和水性笔一律按支水性笔；购书包和水性笔一律按9 9折优惠书折优惠书包每个定价包每个定价2020元，水性笔每支定价元，水性笔每支定价5

19、 5元小丽和同学需买元小丽和同学需买4 4个个书包，水性笔若干支书包，水性笔若干支( (不少于不少于4 4支支) )(1)(1)分别写出两种优惠方法购买费用分别写出两种优惠方法购买费用y(y(元元) )与所买水性笔支数与所买水性笔支数x(x(支支) )之间的函数关系式；之间的函数关系式；(2)(2)对对x x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；便宜；(3)(3)小丽和同学需买这种书包小丽和同学需买这种书包4 4个和水性笔个和水性笔1212支，请你设计怎支，请你设计怎样购买最经济样购买最经济【思路点拨】【思路点拨】【自主解答】【自主解

20、答】(1)(1)设按优惠方法购买需用设按优惠方法购买需用y y1 1元，按优惠方法元，按优惠方法购买需用购买需用y y2 2元元. .y y1 1=(x-4)=(x-4)5+205+204=5x+60,4=5x+60,y y2 2=(5x+20=(5x+204)4)0.9=4.5x+72.0.9=4.5x+72.(2)(2)令令y y1 1yy2 2，即，即5x+604.5x+72,x245x+604.5x+72,x24，购买水性笔大于购买水性笔大于2424支时，选择优惠方法比较便宜支时，选择优惠方法比较便宜. .令令y y1 1=y=y2 2，即，即x=24x=24，所以购买水性笔为，所以购

21、买水性笔为2424支时，选择优惠方法支时，选择优惠方法，均可，均可 令令y y1 1yy2 2，即，即4x244x24，所以购买水性笔大于或等于，所以购买水性笔大于或等于4 4支，小于支，小于2424支时，选择优惠方法比较便宜支时，选择优惠方法比较便宜(3)(3)因为需要购买因为需要购买4 4个书包和个书包和1212支水性笔，而支水性笔，而12241224，购买方案一：用优惠方法购买，需购买方案一：用优惠方法购买，需5x+60=55x+60=512+60=120(12+60=120(元元) )；购买方案二：采用两种购买方式，用优惠方法购买购买方案二：采用两种购买方式，用优惠方法购买4 4个书包

22、，个书包，需要需要4 420=80(20=80(元元) )，同时获赠，同时获赠4 4支水性笔；支水性笔；用优惠方法购买用优惠方法购买8 8支水性笔，需要支水性笔，需要8 85 590%=36(90%=36(元元) )共需共需80+36=116(80+36=116(元元).).显然显然116120116100 x100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少时，因为购买个数每增加一个，其价格减少1010元，元，但售价不得低于但售价不得低于3 5003 500元元/ /个，所以个，所以即即100 x250100250 x250时，购买一个需时，购买一个需3 5003 500元，故元，故y y1 1=3 500 x=3 500 x；所以，所以，若在乙商家购买：若在乙商家购买：