几何空间向量的外积

1、2022-3-1011.7. 几何空间向量的外积几何空间向量的外积外积的基本性质外积的基本性质 （特别注意反交换律）（特别注意反交换律）外积的计算外积的计算内积与外积在立体几何中的应用内积与外积在立体几何中的应用s点到直线的距离点到直线的距离s 二面角二面角s 直线与平面的夹角直线与平面的夹角s 点到平面的距离点到平面的距离二重外积二重外积2022-3-102外积的定义外积的定义向量的外积是向量间的另一种重要的运算向量的外积是向量间的另一种重要的运算, 有很多应用有很多应用, 如力学中的力矩如力学中的力矩.2022-3-103外积的性质外积的性质证明证明:2022-3-104外积的性质外积的性

2、质则则证明证明:2022-3-105外积的运算性质外积的运算性质定理定理 7.3. 证明证明: (EP1) 由定义可得由定义可得;(EP2) 且且由反交换律得另一等式由反交换律得另一等式2022-3-106外积的运算性质外积的运算性质因因于是于是由命题由命题7.2可得可得,2022-3-107外积的运算性质外积的运算性质2022-3-108外积的运算性质外积的运算性质因此因此最后最后, 由反交换律可得右分配律由反交换律可得右分配律.2022-3-109外积的计算外积的计算则则从而从而证明证明: 由外积的性质易得由外积的性质易得.2022-3-1010外积的计算外积的计算: 说明说明1) 外积计

3、算公式也形式地记为外积计算公式也形式地记为因此因此, 平行四边形的面积为平行四边形的面积为2022-3-1011外积的计算：例题外积的计算：例题解解: 先求得先求得于是于是2022-3-1012外积的计算：例题外积的计算：例题已知空间已知空间3点点 A(1,1,0), B(1,2,1), C(0,1,2).求三角形求三角形ABC的面积的面积;(1) 求求AB边上的高边上的高. 解解:三角形三角形ABC的面积为以的面积为以AB, AC为邻边的平行四边形的为邻边的平行四边形的面积的一半面积的一半,所以所以= (2,1,1).AB边上的高：边上的高：2022-3-1013外积与内积在立体几何中的应用

4、外积与内积在立体几何中的应用立体几何中的夹角与距离的问题可以转化为向量的计算问题立体几何中的夹角与距离的问题可以转化为向量的计算问题. 建立适当的直角坐标系后建立适当的直角坐标系后, 应用外积与内积有时可以简化计应用外积与内积有时可以简化计算过程算过程, 或者使得思路变得简单或者使得思路变得简单. 这里将涉及点到直线的距离这里将涉及点到直线的距离, 二面角二面角, 直线与平面的夹角直线与平面的夹角, 点点到平面的距离等到平面的距离等.点到直线的距离点到直线的距离. 设设 P 为空间一点为空间一点, l 为一空间直线为一空间直线. 在直线上任取两点在直线上任取两点 A, B,2022-3-101

5、4点到直线的距离：例题点到直线的距离：例题求点求点 M 到直线到直线 PQ 距离距离.解解: 建立如图的直角坐标系建立如图的直角坐标系, 得得于是于是2022-3-1015二面角二面角则这两个平面所成的二面角等于则这两个平面所成的二面角等于或或2022-3-1016直线与平面的夹角直线与平面的夹角则直线与平面的夹角为则直线与平面的夹角为2022-3-1017点到平面的距离点到平面的距离在平面上任取一点在平面上任取一点 A, 2022-3-1018例题例题 7.4求求解解: 先给出相关点的坐标先给出相关点的坐标:2022-3-1019例题例题 7.42022-3-1020例题例题 7.4平面平面 BPQ 的法向量为的法向量为平面平面 MPQ 的法向量为的法向量为可以看出该二面角为钝角可以看出该二面角为钝角2022-3-1021例题例题 7.4=42022-3-1022二重外积二重外积命题命题 7.4. proof由反交换律得到由反交换律得到可见可见, 向量的外积不满足结合律向量的外积不满足结合律.例例. 证明雅可比恒等式证明雅可比恒等式:证：证：三式相加即得三式相加即得.2