04平面向量(教师版)

1、平面向虽（教师版）一、知识梳理向量的概念与线性运算特别提醒：1）模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|AB|.2）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0;零向量的方向不确定.3）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.4）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.5）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量；6）向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。7）重要定理：向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数入，使得b=入a,即b/ab=入a（a乒0）8）两个向量平行的充要条件：aIIbua=入b,只有b乒0才是正确的.而当b

2、=0时，allb是a=入b的必要不充分条件.9）向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；1. 有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段实数与向量的积:（1）定义：实数入与向量a的积是一个向量，记作入a,规定：|入a|=|入|a|.当入0时，入a的方向与a的方向相同；当入V0时，入a的方向与a的方向相反；当入=0时，入a与a平行.（2）运算律：入（仕a）=（入）a,（入+-）a=入a+.a,入（a+b）=入a+入b.3.平面向量基本定理：如果ee；是同一平面内的两个不共线

3、不共线向量.那么对于汶一平面内的任一_向量a,有且只有_一对实数入1,入2使a=入1e1+入；e2特别提醒：.-（1）我们把不共线向量e、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；（2）基底不惟一，关键是不共线；（3）由定理可将任一向量a在给出基底、e2的条件下进行分解；（4）基底给定时，分解形式惟一.入1,入2是被a,e,e2唯一确定的数量4.平面向量的坐标表示yL如，/直角坐标系内，我们分别%与x轴、y轴方向相同的两个单位向-一？量i、j作为基术，任作一个向量a,由平面向量基本定理知，有且只有一对实:数x、y,使得a=xi+yjO,:我们把（x,y）叫做向量a的（直角）坐标,，记作a=（x

4、,y）OP1其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示,与a相筲的回量的坐44标也为（x,y）.特别地，i=（1,0）,j=（0,1），0=（0,0）5.平面向量数量积（内积）的定义：,（1）已知两个非零向量a与b,它们的夹角是9，贝U数量|a|b|cos0叫a与b的数量积，记作ab；（2）已知两个非零向量=（x1,y1）,b=（x2,y2）,则ab=x1xy1y2特别提醒：（1）（oa则(a-b)-c与a-(b-c)都是无意义的，这是因为a-b与b-c是数量，a已不再是向量了，而数量与向量是没有点乘定义的.同时，(a-b)c乒a(b-c),这是因为数量a-b与向

5、量c相乘是与c共线的向量，而数量b-c与向量a相乘则是与a共线的向量，所以一般二者是不等的.这就是说，向量的数量积是不满足结合律的.若a、bR则|a-b|=|a|-|b|,但对于向量a、b,却有|4-b|a|b|,等号当且仅当fMb-a/b时成立.这是因为|a-b|=|a|b|-|cos0|而|cos0|1.二、热点考点题型探析考点一：向量相关的基本概念及加减运算例1判断下列各命题是否正确（1）零向量没有方向单位向量都相等（4）（5）两相等向量若共起点，则终点也相同（7）若a/b,b/c，贝Ua/c（2）若a=b,则a=b向量就是有向线段（6）若a=b,b=c，贝Ua=c；（8）若四边形abc

6、班平行四边形，则AB=CD,BC=DA（9）a=b的充要条件是|a|=|b|且a/b；解题思路:正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明。解析：解：（1）不正确，零向量方向任意，（2）不正确，说明模相等，还有方向（3）不正确，单位向量的模为1,方向很多（4）不正确，有向线段是向量的一种表示形式（5）正确，（6）正确，向量相等有传递性（7）不正确，因若b=0,则不共线的向量a,c也有a/0,0/c。（8）不正确，如7C-一图AEAB=CD,BC,DA（9）不正确，当a/b，且方向相反时，即使|a|=|b|,也不能得到a=b；【名师指引】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特

7、征入手，也可以从通过举出反例而排除或否定一TT例2（1）在AABC所在的平面上有一点P，满足PA+PB十PC=AB，贝UAPBC与AABC的面积之PA兰pB+PC=AB,得PA十PB+BA十PC=0,比是（2）3解题思路:本题中的已知向量都集中体现在三角形中.为此，可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解.【解析】尘PA即PC=2AP,所以点P是CA边上的第二个三等分点，如图所示.故Spbc=nC=jSabcBCAC3【名师指引】三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量.值得注意的是，向量的方向不能搞错.当向量运算转化成代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行.（2）如图，在

8、ABC中，以E为边AB的两个三等分点，CA=3a,CB=2b,求CD,Ce.解析：aB=AC+CB=3a+2b，因D.E为AB的两个三等分点，故AD=1AB=a+-b=Dl,CD=CA+AD=3aa+-b=2a+b,CE=CD+DE=2a+ba+b=a+b.333例3已知AB、C、P为平面内四点，求证:A、BC三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数mn,使PC=mPA+nPB，且m+n=1.解题思路:a、b、C三点共线的一个充要条件是存在实数入，使得AC=入AB.很显然，题设条件中向量表达式并未涉及AC、AB,对此，我们不妨利用PC=PA+Ac来转化，以便进一步分析求证.、PA+AC=mPA

9、+n(PA+AB)(时n)PA+nAB=PA+nAB,AC=n/B.A、BC三点共线.必要性：由A、8C三点共线知，存在常数入，使得AC=入AB,即aM+PC=入（AP+pB）.检一，一、,.、PC=（入一1）AP+入PB=（1一入）PA+入PB,m=1一入，n=入，【名师指引】2n=1,PC=mPA+nPB.1、逆向应用向量加法运算法则，使得本题的这种证法比其他证法更简便,个向量的和，一定要强化目标意识.2、这是一个重要结论，要牢记。值得一提的是，一个向量拆成两解析：证明充分性，由PC=mPA+nPB,m+n=1,得引申1:已知a、b是两个不共线的向量，若它们起点相同,a、1b、2t(a+b

10、)三向量的终点在一直线上，则实数t=.1 【解析】如图，-a、1b、t(a+b)三向量的终点在一直线上2.,存在实数有使:t(a+b)【b=7w(ab)11碍(t一舄)a=(7,t)b,又：a、b不共线，t=0且一一一舄一t=0，解得t=3满足2222已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是l外一点，向量引申2:OA-(3X+1)OBln(23)yOC干记0=f(x).求函数y=f(x)的解析式;2解题思路：A、B、C三点共线，私扁(1一尽解析：OA=(jx21)*OB-ln(23x)-y，OC.A、B、C三点共线，,3x2+1+ln(2+3x)y=1.y=x2+ln(2+3x)22【名师指

11、引】涉及与三角综合的题目，多数只利用向量的基本运算，把问题转化为三角问题，以考查三角鸣知吧主。三是一个常考常新的知识点。要记住常用结论：A、EkC三点共线，OA=OB(1)OC备用已知OABCD的两条对角线AC与BD交于E,O是任意一点，求证：Oa+Ob+Oc+Od=4Oe解题思路:由平行四边形的对角线互相平分和相等向量的定义可得。解析：证明：E是对角线AC和BD的交点AE=EC=_CE,EE=ED=_DE,在oae中，Oa+ae=Oe同理Ob+be=OE,Oc+Ce=Oe,Od+de=Oe以上各式相加，得Oa+Ob+Oc+Od=4Oe【名师指引】用向量法解平面几何问题，实质上是将平面几何问题

12、的代数化处理，在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译考点二：平面向量基本定理11例4在OAB中，OC=OA,OD=OB,AD与BC父于点M设OA=a,4.2OB=b,(1)用a,b表示OM.(2项线段AC、BD上分别取点E、F,使EF过M点，设OE=7QA,OF=pOE。求证：1/7舄+3/7卜=1。解题思路:若6,e2是一个平面内的两个不共线向量，则根据平面向量，的基本定理，平面内的任何以量四可用61,62线性表示.本例中向量a,jb可作基底，故可设OM=ma+nb,为求实数mn,需利用向量AM与AD共线,向量CM与CB共线,建立关于mn的两个方程.解析：设OMm+nb，则AM.Td.一

13、.=m1)a廿b,AD=a+-b,.点A、MD共线，AM与AD共2线，.g=.52=1.-10.511-而CM=OMOC=(m)a+nb,CB=a+b442mGMB共线，-CM与CB共线，.=,4ntn=1.114联立解得：nr1,n=-,-oM=1；3：7777(2)证明：EM=OMOE=】a+3b九办二13一私=(-)a+-b,777777EF=OF-OE=OB-OA-ab,.EF与EM共线,13一丸7=7_1u3(f,】八3汐十亶=1。777777引申：(2009年广东省广州市高三年级调研测试数学(理科)如图，在ABC中，已知AB=2，BC=3,3ABC=60,AH_LBC于H,M为AH

14、的中点，若AM=AAB+BC，贝U九十H=.2 2答案：2解析：AB=2,BC=3,ZAB6，所以BH=1,M为AH的中点,3r1f1T11T1T1T.2所以AM=AH=(AB+BH)=(AB+BC)=AB+BC,7.+=-223263(1) 例5如图，已知平形ORTM内丫5个全等的小正方形，其中顶点A、B、若BD=xAE+yAF，求x十y的值；若矩形ORTM的边长OR=7,OM=8,试求小正方形的边长；现向矩形ORTM内任意投出一个点P,求点P落入五个小正方形内的概率.考点三：向量平行的充要条件C、D在矩形ORTM的四条边上例6已知点0(0,0),A(1,2),B(4,5)及OP=OA+tA

15、B,求(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限。(2)四边形OABFte否构成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。解：(1)OP=OAtAB=(1+3t,2+3t)2，若P在x轴上，只需2+3t=0,.=一；若P在y轴上,3只需1+3t=0,t14工=一一；若P在第二象限，只需31+3t021t0,.a-|a|2.4螺.设向量；b的夹角为9，则cos9=a1,又|a|=2|b|#0,。co苴一=1,e|a|b|1|a|222【名师指引】要求两向量夹角0的取值范围，可先求cos0的取值范围.ab=x3x2x2-3x24x：0提醒：(1)设非零向量a=(x,2x)

16、,b=(3x,2)，且a,b的夹角为钝角，贝Ux的取值范围是解析二“a,b的夹角为钝角41解碍x0或x一(1)又由a,b共线且反向可得x=-一(2)3由(1),(2)得x的范围是叫,+oc3.J0且a#kb，可碍九0,二当sin时，tsin。取最大值为4k=X_oMy_ON(x,y由32=4，得k=8，此时0=；,OC=(4,8),Oa.oC=(8,0)，(4,8)=32引申(2)：设e、62是夹角为60”的两个单位向量，已知OM为实数).若PMN是以M为直角顶点的直角三角形，贝Ux-y取值的集合为考点五：平面向量与三角函数、函数等知识的综合应用AM=2贝UOA，(OB+OC)的最小值为例12(2009江苏)在ABC中，O为中线AM上的一个动点，若答案：2如图，设AO=x，贝UOM=2x,所以OA(OBOC)=OA2OM=-2OAOM-2x(2-x)=2x2-4x,=2(x-1)2-2故当x=1时，OM=mOA+