05-第五章平面向量

1、5.1向量的概念、向量的加法、减法、实数与向量的积K复习要求1、理解有关向量的概念，掌握向量加减法作图。2、掌握实数与向量的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件3、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。4、培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力。双基回顾1、基本概念向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。2、加法目减法的代数运算*11RA2+A2A3+|II+AnAn=AiAn.若a=(xi,yi),b=(X2,y2)则ab=(xX2,yy?).向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。以向量AB=a、AD

2、=b为邻边作平行四边形ABCD则两条对角线的向量AC=a+b,BD=b-+F-*F*a,DB=ab且有|a|-|b|v|ab|0时，舄a与a的方向相同；当0时，舄a与a的方向相反；当舄=。时，舄a=o.Is-F(3) 若a=(x1,y1)，则-a=(Ax，九y1)-两个向量共线的充要条件：(1) 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数兀，使得b=?=a.(2) 若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则a/bux1y2-x2y1=0.平面向量基本定理：若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数离1,*-2，使得a=e1+乳2e2.一、

3、知识点训练：1、两向量共线是两向量相等的A充分不必琴条件B_必要不充分条件_C充条件D既不充分也不必要条件2、当a=b#0,且a,b不共线时，a+b与ab的关系是A平行B垂直C相交但不垂直D一相等_3、给出以下四个命题：(1)若两非零向量a,b，使得a=，-b0wR)，那么a/b；若两非零向量a/b，贝Ua=7心(R);(3)若兀r,贝u兀a/a；(4)若奴卜在R,九。P，则(九+H)a与a共线。其中正确命题的个数是A1B2C3D44、向量a=(x,1)与b=(4,x)共线且方向相同，贝Ux=ffT5、设平行四边形ABCD的对角线交于O，交AD=(3,7),AB=(2,1)，则OB=二、典型例

4、题分析：fii1、G是AABC的重心，求证:GA+GB+GC=02、若非零向量（T,盲满足a+Pl=a-P，求与旧所成角的大小。3、已知A(2,3),B(3,1),C(3,-4),且C=3CA,C=2CB，求M,N的坐标和MN4、已知向量=(1,2),b=(x,1),，=+2b,=2b且/V，求x5、如图：已知ABCD是正方形，BE/AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于F,求证：AF=AE。三、课堂练习:E、F、G、H分别是AD、BC、AB与CD1. 如图，已知四边形ABCD是梯形，AB/CD,的中点，则EF等于A.AD+BCB.AB+DC2. C.AG+DHD.BG+GH下列说法正

5、确的是A.方向相同或相反的向量是平行向量B. 零向量的长度为0C. 长度相等的向量叫相等向量D.共线向量是在同一条直线上的向量3.在ABC中，D、E、F分别BC、CA、AB白MAMB-MC等于4. A.OB.4MDC.4MFD.4MEe,e2不共线，当k=一1时，a=ke+e2,b=e+ke2共线.5. 非零向量a,耐足|a|=|b|=|a+b|,则a,b的夹角为120在四边形ABCD中，若AB=a,AD=b,且|a+b|=|ab|,则四边形ABCD的形状是菱形.5.2向量的数量积K复习要求1、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直

6、的充要条件。2、培养学生的化归思想、数形结合思想和分析问题、解决问题的能力。K双基回顾(1) .向量的夹角：已知两个非零向量a与b,作OA=a,OB=b,则ZAOB=(00180)叫做向量a与b的夹角。(2) .两个向量的数量积：已知两个非零向量a与b,它们的夹角为8,则a-b=Ia|IbIcos8.其中IbIcose称为向量b在弓方向上的投影.(3) .向量的数量积的性质：若a=(Xi,yi),b=(X2,y2)则e-a=a-e=Ia|cos臼(e为单位向量);h-is-Isabua-b=0uX1X2+yiy2=0(a,b为非零向量)；IaI=Ja，a=Jx；+yi2；cos眼a,b=_Xi

7、萱+3.a*bXi2V：-x；(4) .向量的数量积的运算律：rfb-K卜Ka-b=b-a;(丸a)-b=%(a-b)=a(%b);(a+b)-c=a-c+b-c.一、知识点训练：1、对于任意向量a,b,ab与ab的大小关系是AababCababD无法确定2、已知a=1,b=J2，且(5b)与a垂直，贝Ua与b的夹角为A60B90C45D303、设a,b。是任意的非零平面向量，且相互不共线，贝U(1)(ab)(cA)b=0(2)abab(3)(bc)a(ca)b不与c垂直(4)(3+2b)(32b)=9】24b?中，是真命题的有A(1)(2)B(2)(3)C(3)4)D(2)4)4、已知a=(

8、3,4),b_La且b起点为(1,2)，终点为(x,3x)，则b=5、已知=(%,2),b=(-3,5),且a与b的夹角为钝角，贝U乳的取值范围是.10b，_10c也d333二、典型例题分析：1、判断下列各命题正确与否；(1)若a#0,ab=ac，贝Ub=c；(2)若ab=ac，贝Ub#c当,一、“-:.一，-.-一一.一-.-.一1212且仅当a=0时成立；(3)(ab)c=a(bc)对任意向量a,b,c都成立；(4)对任一向量a，有a=a2、三角形ABC中，A(5,1),B(1,7),C(1,2)，求：(1)BC边上的中线AM的长。(2)/CAB的平分线AD的长。(3)cosZABC的值。

9、3、已知点A(1,2)和B(4,-1)，问能否在y轴上找到一点C,使ZACB=90,若不能，说明理由,若能，求出C点坐标。4、设OA=(3,1),OB=(-1,2),OC-OB,BC/OA，求满足OD+OA=OC的Od的坐标(O为原点)5、a、b为非零向量，当a+tb(tR)的模取最小值时，(1)求t的值；(2)求证：b与a+tb垂直三、课堂练习：1. 设keR,下列向量中，与向量Q=(1,-1)一定不平行的向量是()2. a.b=(k,k)b.c=(-k,-k)C.d=(k2+1,k2+1)d.e=(k2-1,k2-1)已知点A1、A?、A3、A4的坐标分别为(x1,y)、(X2,y2)、(

10、x3,y3)、(X4,y4)则A1A2的坐标与A2A3的坐标及A3A4的坐标这和等于()3. A.(X4x，y4y)B(x一X4,y一y4)C.(X3X2,小一v2D.gX4,V2y3)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(一1,0),(3,0),(1,5),则第四个点的坐标为()A.(1,5)或(5,5)B.(1,5)或(3,5)4. C.(5,5)或(3,5)D.(1,5)或(3,5)或(5,5)三点A(X1,y)，B(X2,y2),C(X3,y3)共线的主要条件是()A.X1y2x2y1=0B.(X2X1)(y3y1)=(x3X1)(y2y1)C.X1y3X3y1=0D.(X2X)(X3X

11、)=(y2y)(y3y)5.下列各组向量中：0=(1,2),e=(5,7).e=(3,5),巳=(6,10):0=(2,3),一13e2=(一,-).有一组能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的判断是()24A.B.C.D.6.已知a=(3,2),b=(2,1),若a+ba+%b平行，贝U入=_+1(附15答案：CADBA)5.3两点间的距离公式、线段的定比分点与图形的平移K复习要求1、掌握两点间的距离公式及线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用。2、掌握平移公式。3、培养学生用化归思想解决问题的能力。双基回顾1、p分有向线段rp2所成的比设Pl、P2是直线l上两个点，点P是l上不

12、同于Pl、P2的任意一点，则存在一个实数兀使PP=&PP2,%叫做点p分有向线段PTP2所成的比。当点p在线段PP2上时，丸0；当点p在线段PP2或P2P1的延长线上时，丸v0；2、分点坐标公式：若PiP以PP2；P,P,P2的坐标分别为(Xi,yi),(x,y),(X2,y2);(赤乒一1),中点坐标公式:X1X2X=2y+y2.y2XiX2X=1-则*小23、平移公式：、知识点训练:f1、已知A(1,1),B(3,5)，点P分有向线段AB所成的比为=2,则点P的坐标为A(7,-9)B(7,9)C(7,9)D(7,9)2、把函数y=X的图象F按=(0,4),平移到F，,贝UF/的函数式为Ay

13、=X-4By=X2Cy=4XDy=X43、设A、B、C三点共线，且它们的纵坐标分别为2,5,10，则A点分BC所得的比为3838A-BC-一D-8383f_t-ft4、已知OA=a,OB=b,C为AB上距A较近的一个三等分点，D为CB上距C较近的一个三等_-f分点，则用a,b表不OD的表达式为4a5b99a7b2abB16C33ab4、典型例题分析:1、已知点A(1,4),B(5,2)，线段AB上的三等分点依次为RR，求R,P2点的坐标以及A、B分P；K所成的比。2、求证：三角形三条中线交于一点，且交点与各顶点的距离等于所在中线长的3、函数y=32x_5的图象按向量a平移后，图象的解析式为y=

14、32x，求向量a。一x-14、设函数f(X)=。x-2试根据函数y=1的图象作出f(x)的图象，并写出交换过程;x(1) f(x)的图象是中心对称图形吗？如图，AD,BE,CF是MBC的，条叩，刑:证：设BE,CF交于一点H,AB=a,AC：,叫,则bh=h乎-.BH_AC,r。.THb0)(2) 指出f(x)的单调区间。5、AD,BE,CF相交于一点。一=b,AH=h,CH=b,BC=ba),CH_AB碍(h-a)b=(h-b)a,a=0一T即h(ba)=0,.AH_LBC,又.点D在AH的延长线上,-AD,BE,CF相交于一点。三、课堂练习：1、向量a,b满足a=8,b=12，则a+b的最

15、大值和最小值是2、若点P分AB所成的比是件手0)，则点A分BP所成的比是3、把一个函数的图象左移兰个单位，再向下平移2个单位得到的解析式为:31y=sin(2x+)2,则原函数的解析式为44,:44、已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角。=120，则ab=；1,，I5、已知|b|=4,a在b上的投影是一|b|,则ab=；26、已知|台|=5,|b|=4,ab=-3”2，则a与b的夹角0=5.4向量的应用复习要求理解向量的几何、代数、三角及物理方面的应用，能将当前问题转化为可用向量解决的问题，培养学生的创新精神和应用能力。1. 双基回顾两个向量平行的充要条件，设a=(xi,yi),b=(X2

16、,y2),丸为实数。(1)向量式：a/b(b丰0)ua=%b;2. (2)坐标式：aIIb(b乒0)uXiy2X2yi=0；两个向量垂直的充要条件，设a=(xi,yi),b=(x2,y2),(1)向量式：ab(b乒0)ua，b=0;(2)3. 坐标式：ab=Xix2+yiy2=0;设a=(xi,yi),b=(x2,y2),则ab=abcosB=xix2+yiy2;其几何意义是a，b等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积；5. 一、i4.设A(xi,x2)、B(X2,y2),则S刀aob=|xiyx2yi；平面向量数量积的坐标表示：()若a=(xi,yi),b=(x2,y2)，贝Ua，b=xi

17、x2+yiy2;A=&xx?)2+(乂-y，;(2)若a=(x,y),则a2=a,a=x2+y2,a=qx2+y2;一、知识点训练：1、若AB=3&,席=5房，且AD与CB模相等，则四边形ABCD是A平行四边形B梯形C等腰梯形D菱形2、设坐标原点为O,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则OAOB等于A3B3C3D-3443、ikg的重物在两根细绳的支持下处于平衡状态，如图：已知两根细绳与水平分别成30,60角,则两根细绳受到的拉力为4、某人以时速akm向东行走，此时正刮着时速akm的南风，那么此人感到的风向为风速为二、典型例题分析：i、空中有一气球，在它的正西方A点，测得它的仰角为

18、45,同时在它的南偏东45的B点，测得它的仰角为6730，A、B两点间的距离为266米，这两点均离地i米，问当测量时，此气球离地多少米？2、如图，用两根绳子把重i0kg的物体W吊在水平杆子AB上，/ACW=i50ZBCW=i20。，求A和B处所受力的大小(忽略绳子重量)3、一条河的两岸平行，河的宽度为d=500m,一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处，船的航行速度为V=10km/h，水流速度Q|=4km/h。（1）试求Vi与V2的夹角（精确到1），及船垂直到达对岸所用的时间（精确到o.imin）;（2）要使船到达对岸所用的时间最少，V1与V2的夹角应为多少？4、4、三、课堂练习：11、已知：A

19、（2,3）,B（1,4）且一AB=（sina,cos口）,a,Bw（-一，一），则a+P=222f-ffT2、已知OA=a,OB=b，且OA与OB为不共线的非零向量，贝UAAOB的面积可表示为22AM+BM3、已知AABC的BC边长的中点M,贝U2=AB|十AC4、运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：（1）若两点等分单位圆时有相应关系式为：sina+sin（N+a）=0,cosa+cos（n+。）=0,（2）四点等分单位圆时有相应关系式为:3二二sinsin-(一)sin()sin()=0,coscos(一)cos(“勺222+cos(0+号)=0，由此可以推知三等分单位圆时的相

20、应关系式为5、已知a=ksinee+(2cos)&,b=e+&,且a/b,e/巳甲在(0,兀)(1)求k与e的关系;证明kNJ3.6、在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15角，速度为2.5km/h,同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？平面向量单元测试题、选择题:1、在四边形abcd中，设届=a,AD=b,BC=c，贝udc=2、a-bcBb(ac)CabcDb-ac与d12%=(12,5)平行的单位

21、向量为5)B133、4ABC中,5125工125(一，一一)C(，)或(一，一一)1313131313a=3,b=4,C=30。则BCCA=D-3点12 5(，)134、5、已知6*3B-6点C3非零向量a,b,a+b=|a充分而不必要条件B必要不充分条件C充要条件已知两点P1(1,6),P2(3,0)，则点P(7,y)分有向线段31和8B-和8C-和4D1和44422ab是a_Lb的D既不充分也不必要条件P1P2所成的比丸和y值分别为_6、设i,j分别是平面直角坐标系内x轴和y轴正方向上的两个单位向量，已知AB=4i2j,AC=7i+4j,AD=3i+6j，则四边形ABCD的面积是A20B30C5.2D45ff7、设A(1,2),B(3,-1),C(3,4),则ABAC=A11B5C-2D12x-18、将函数y=2J按a平移使其化简为反比例函数表达式，贝Ua=x1A(1,2)B(-1,2)C(-1,-2)D(1,-2)9、在AABC中，角A