一元二次方程的解法及中考例题

1、w1.只含有一个未知数，且未知数的次数是的二次的整式方程叫做一元二次方程.w2.一元二次方程的一般形式.w ax2+bx+c=0(a0).考点整合一元二次方程的解法及中考例题一元二次方程的解法及中考例题北师大版北师大版23(1)10_.xmxxm 、已知关于 的一元二次方程有实根，则 的取值范围是145mm且4、已知二次函数 的图象和x轴有交点，则 的取值范围是_277yaxxa._05) 1(. 1122axxaxaa一元二次方程，则是的方程已知关于._04. 22aaxxx么两个相等的实数根，那有的方程如果关于w(1)配方法w通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次

2、方程的方法称为配方法w用配方解方程的一般步骤:1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数);3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;5.开方:方程左分解因式,右边合并同类;6.求解:解一元一次方程;7.定解:写出原方程的解.2.移项:把常数项移到方程的左边;3. 一元二次方程的解法：一元二次方程的解法：(1)配方法；配方法；(2)公式法；公式法；(3)分解因式法分解因式法.w(2)(2)公式法公式法: :w1 1. .一元二次方程一元二次方程: :axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0):,042它的根是时当 a

3、cb.04.2422acbaacbbxw2.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.w3.用公式法解题的一般步骤:w变形:化已知方程为一般形式;w计算: b2-4ac的值;w代入:把有关数值代入公式计算;w定根:写出原方程的根.w确定系数:用a,b,c写出各项系数;(3)分解因式法:1.当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为分解因式法.2.2.分解因式法解一元二次方程的一般步骤是分解因式法解一元二次方程的一般步骤是: :(2).(2).将方程左边因式分解将方程左边因式分解; ;(3).(3).根

4、据根据“两个因式的积等于零两个因式的积等于零, ,至少有一个因式为零至少有一个因式为零”, , 转化为两个一元一次方程转化为两个一元一次方程. . (4). (4).分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根. .(1).(1).化方程为一般形式化方程为一般形式; ;北师大版北师大版2222)25(96. 3312. 2014. 1xxxxxxx解方程：用配方法解方程：解方程：.)3()2() 1 (032) 1(. 42的取值范围有两个实数根，求的取值范围；只有一个实数根，求的取值范围；有实数根，求的方程已知关于mmmmmxxmx方程的属性不

5、方程的属性不确定确定方程的属性确定方程的属性确定方程的属性确定方程的属性确定(七七)、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根的判别式w 我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.2422, 1aacbbx有两个不相等的实数根方程时当00,0422acbxaxacb:00,0422有两个相等的实数根方程时当acbxaxacb.22, 1abx没有实数根方程时当00,0422acbxaxacb.4.004222acbacbxaxacb即来表示用根的判别式的叫做方程我们把代数式 一元二次方程的两个根与它的系数有如下关系： 两根之和等于一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等

6、于常数项除以二次项系数所得的商. 一般地,若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是: ,2421aacbbx,2421aacbbx22122244224422;2bbacbbacxxaabbac bbacabbaa ;444)4(22)4()4(24242222222221acaacaacbbaaacbbacbbaacbbaacbbxx.;2121定理这一结论通常称为韦达即acxxabxx(八八)、根与系数的关系、根与系数的关系韦达定理韦达定理要点、考点聚焦要点、考点聚焦1.1.一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)根的情况：根的情况：(

7、1)(1)当当0 0时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个不相等的实数根；(2)(2)当当=0=0时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；(3)(3)当当0 0时，方程无实数根时，方程无实数根. .2.2.根据根的情况，也可以逆推出根据根的情况，也可以逆推出的情况，这方面的情况，这方面的知识主要用来求取值范围等问题的知识主要用来求取值范围等问题. .例例1：不解方程，判别下列方程的根的情况：不解方程，判别下列方程的根的情况（1）04322 xx（3）07152xx（2）yy2491620414243422 acb解：解：（1） = 判别式的应用:所以，原方程有两个不相等的

8、实根。所以，原方程有两个不相等的实根。说明说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出，然后对进行计算，使的符号明朗化，进而说明的符号情况，得出结论。1、不解方程，判别方程的根的情况 课前热身课前热身1.(2008年年西宁市西宁市)若关于若关于x的一元二次方程的一元二次方程mx2-2x+1=0有有实数根，则实数根，则m的取值范围是的取值范围是 ( ) A.m1 B. m1且且m0 C.m1 1 D. m1且且m0D2.(2008年年昆明昆明)已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+2x+k=0有有实数根，则实数根，则k的取值范围是的取值范围是 ( ) A.k1 B.k1 C

9、.k 1A3.(2008年年桂林市桂林市)如果方程组如果方程组 只有一个实只有一个实数解，那么数解，那么m的值为的值为 ( ) A. -3/8 B.3/8 C. -1 D.-3/4Ax x3 3y ym m2 2x xy y2 2 4.(2008年年南通市南通市)若关于若关于x的方程的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有两个相等的实数根，则有两个相等的实数根，则k= .25.(2008年年上海市上海市)关于关于x的一元二次方程的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为其根的判别式的值为1，求，求m的的值及该方程的根。值及该方程的根。解：解：=-(3m-1)2

10、-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1=(m-1)2 (m-1)2=1,即即 m12， m20(二次项系数不为二次项系数不为0，舍去，舍去)。当当m=2时，原方程变为时，原方程变为2x2-5x+30，x3/2或或x=1. 典型例题解析典型例题解析【例【例1】 已知关于已知关于x的方程的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0，当当m为何非负整数时：为何非负整数时：(1)方程只有一个实数根；方程只有一个实数根；(2)方程有两个相等的实数根；方程有两个相等的实数根；(3)方程有两个不等的实数根方程有两个不等的实数根.当当m-2=0即即m=2时时 x=3/2,成立

11、成立m=3 m=0，1 【例【例2】 已知关于已知关于x的方程的方程x2+2(a-3)x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实根，且满足有两个相等的实根，且满足2a-b=0.(1)求求a、b的值；的值；(2)已知已知k为一实数，求证：关于为一实数，求证：关于x的方程的方程(-a+b)x2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根有两个不等的实根.a=1,b=2将将a=1,b=2代入方程得代入方程得x2+2kx+2k-3=0.又又=4k2-4(2k-3)=4(k-1)2+80方程有两个不等的实根方程有两个不等的实根. 【例【例3】 (2008年年黑龙江黑龙江)关于关于x的方程的方程kx2+

12、(k+1)x+k/4=0有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根.(1)求求k的取值范围；的取值范围；(2)是否存在实数是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出若存在，求出k的值；若不存在，说明理由的值；若不存在，说明理由.k-1/2，且且k0. 不存在，理由略。不存在，理由略。 【例【例4】 已知：已知：a、b、c是是ABC的三边，若方程的三边，若方程 有两个等根，试判断有两个等根，试判断ABC的形状的形状.a a2 2) ) c cb b( ( 2 2x xc cb b2 2axax2 22 22 2 解：利用解：利用 0，得出，得出a=

13、b=c.ABC为等边三角形为等边三角形. 典型例题解析典型例题解析【例【例5】 已知：已知：m、n为整数，关于为整数，关于x的二次方程的二次方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不相等的实数解，有两个不相等的实数解，x2+(4+m)x+n+6=0有两个相等的实数根，有两个相等的实数根，x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根，求没有实数根，求m、n的值的值. 典型例题解析典型例题解析解：解：方程方程x2+(4+m)x2+n+6=0有两个相等的实根，有两个相等的实根， (4+m)2-4(n+6)=0，即，即m2+8m-8=4n.又方程又方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不等的实根，有两个

14、不等的实根，方程方程x2-(m-4)x+n+1=0无实根，无实根，(7-m)2-4(3+n)0，(m-4)2-4(n+1)0.把把4n=m2+8m-8代入上两式得代入上两式得 m为整数为整数m=2，从而，从而n=3.22224545m m161620201.1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式求判别式时，应该先将方程化为一般形式. .2.2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为应用判别式解决有关问题时，前提条件为“方程是一元二次方程方程是一元二次方程”，即二次项系数不为，即二次项系数不为0.0. 课时训练课时训练1.(2008年年大连大连)一元二次方程一元二次方程x2+2x+4=0的根的情

15、况的根的情况是是 ( ) A.有一个实数根有一个实数根 B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 D.没有实数根没有实数根D2.(2008年年安徽安徽) 方程方程x2-3x+1=0的根的情况是的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根 C. 没有实数根没有实数根 D.只有一个实数根只有一个实数根A3.(2008年年长沙长沙)下列一元一次方程中，有实数根的是下列一元一次方程中，有实数根的是 ( ) A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0 D.x2+4=0C 4

16、.(2008年年湖北黄冈湖北黄冈)关于关于x的方程的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数有实数根，则下列结论正确的是根，则下列结论正确的是 ( ) A.当当k=1/2时，方程两根互为相反数时，方程两根互为相反数 B.当当k=0时，方程的根是时，方程的根是x=-1 C.当当k=1时，方程两根互为倒数时，方程两根互为倒数 D.当当k1/4时，方程有实数根时，方程有实数根D5.若一元二次方程若一元二次方程 有两个相等的实数根，有两个相等的实数根，那么那么 的值为的值为 ( ) A.-4 B.4 C. 1/4 D.- 1/4 C 课时训练课时训练0 0n nx xm mx x2 2 m mn n

17、.240)2(0) 1 (084) 3(2. 122的值两个整数根，求，且为整数，且方程有若等的实数根，求证方程有两个不相若的一元二次方程已知关于mmmmmxmxx能力提升能力提升) 12(4m49121240mm.12410,20,1225124,10491212122121mmxxmmxxmmmm或综上所述此时时，当，此时时，当必为完全平方数，为奇数，要使根为整数方程的属性确定方程的属性确定.2)2()3(;2)()2() 1 ()0(022)23(. 221221212myxxxymyxxxxmmxmmxx满足什么条件时，的取值范围图象回答：当自变量的条件下，利用函数的在，求这个函数的解

18、析式的函数，且是关于若，其中、别为设方程的两个实数根分的实数根求证方程有两个不相等的一元二次方程已知关于方程的属性确定方程的属性确定2)2(mmmmx2)2()23(2mxx1, 12121xx 1211111424222aaaaaaa，求、已知.) 12(01. 3232的值，求已知xxxx.2)(,2,253322的值求其中、已知nmnmnmmnnmaaxxxxxxxxx，求若的两个根，是一元二次方程、设24)35(03461222221221北师大版北师大版北师大版北师大版._36320103002009. 1题意可列方程为，由增长率为公顷，设绿化面积平均加到年底增年增加，到两年绿化，绿化面积逐公顷，经过年底已有绿化面积某城市x.81100. 2分率相同，求两次降价的百已知两次降价的百分率元为元降降价，每瓶零售价由某药品经过两次连续的3.某厂生产一款工艺品某厂生产一款工艺品.已知这款工艺品的生产成本为已知这款工艺品的生产成本为60元。元。经过市场调研发现：该款工艺品每天的销售量经过市场调研发现：该款工艺品每天的销售量y(件件)与售价与售价x(元元)之间存在着如下表所示的一次函数关系之间存在着如下表所示的一次函数关系利润利润=(售价售价-成本价成本价) 销售量销售量(1)求销售量求销售量y(件件)