第十三讲--菱形性质与判定培优辅导含答案

1、精选优质文档-倾情为你奉上第十三讲 菱形性质与判定培优辅导一、 知识梳理1、菱形的定义：_的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的_：还具有自己独特的性质菱形既是_图形（两条对称轴分别是 ），也是_对称图形；菱形的四条边 _ ；菱形的对角线 ，并且每一条对角线平分 ；菱形的面积S菱形=底边长×高=_ 。注意：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于_。3、菱形的判定：一组邻边相等的_ 是菱形；四条边_的 是菱形；对角线 的平行四边形是菱形二、经典例题菱形的性质与应用【例1】如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DEAB，AB4求：

2、(1)ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积【变式题组】如图，菱形ABCD的边长为2，BD2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AECF2(1)求证：BDEBCF；(2)判断BEF的形状，并说明理由；(3)设BEF的面积为S，求S的取值范围菱形的 判定与应用【例2】如图，四边形ABCD中，ABCD，AC平分BAD，CEAD交AB于E(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若点E是AB的中点，试判断ABC的形状，并说明理由【例3】已知如图，ABC中，BAC90°，ADBC于D，BE平分ABC，交AD于M，EFBC于F求证：四边形AEFM是菱形【例4】如图，在菱形ABCD中，A

3、BC120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PBPE的最小值是，求AB的值三、【综合提升】【例5】、如图，在ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AFBD，连接BF（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由当ABC满足什么条件时，四边形AFBD是菱形？并说明理由【变式题组】如图，在RtABC中，B=90°，BC=5，C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点

4、B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t0）.过点D作DFBC于点F，连接DE、EF.（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由.培优升级 检测1、 选择题 1、若菱形的周长为24cm，一个内角为60°，则菱形较短的一条对角线为（ ）A9cmB8cmC7cmD6cm2、过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EFAC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF若AB，DCF30°，则EF的长为（ ）A2 B3

5、C D3、 如图，菱形ABCD中，AB2，A120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A1 B C2 D+1二、填空题4、菱形的对角线长分别为6和8，则此菱形的周长为 ，面积为 5、菱形ABCD中，AB15，若周长为8cm，则此菱形的高等于_ _.6、已知ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添 ，使ABCD成为一个菱形7、如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC=10，BD=24，AEBC于E，则AE的长是 8、如图已知菱形中，、分别是、上的点，若，求的度数 9、如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且A=EDF=60°

6、，有下列结论：AE=BF；DEF是等边三角形；BEF是等腰三角形；ADE=BEF，其中结论正确的个数是 7题图 8题图 9题图 10题图 11题图 10、如图，在ABC中，AB6，AC8，BC10，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，则EF的最小值为 11、如图将两张长为8,宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值 ，菱形周长的最大值是 12、如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为 13、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和

7、8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是 14、已如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫，从点A开始按ABCDAEFGAB的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2022cm时停下，则它停的位置是 .12题图 13题图 14题图 15题图 15、如图，在菱形ABCD中，边长为10，A60°顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连接四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去，则四边形A2B2C2

8、D2的周长是20；四边形A2017B2017C2017D2017的周长是 三、解答题16、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DEAC且DEOC，连接 CE、OE，连接AE交OD于点F（1）求证：OECD；（2）若菱形ABCD的边长为6，ABC60°，求AE的长17、如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（20，0），C（0，8），点D是OA的中点，点P在BC边上以每秒1个单位长度的速度由点C向点B运动（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？（2）在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由

9、；（3）当OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标（不必写过程）第十三讲 菱形性质与判定培优辅导答案二、 知识梳理1、菱形的定义：_有一组邻边相等_的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它不仅具有四边形和平行四边形的_一切性质_，还具有自己独特的性质。菱形既是_轴对称_图形（两条对称轴分别是 对角线所在的直线 ），也是中心_对称图形；菱形的四条边 _相等_；菱形的对角线 互相垂直平分 ，并且每一条对角线平分 每一组对角 ；菱形的面积S菱形=底边长×高=_对角线之积的一半_ 。注意：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于_对角线之积的一半_。3、菱形的判定：一组

10、邻边相等的_平行四边形_ 是菱形；四条边_相等_的 四边形 是菱形；对角线 互相垂直 的平行四边形是菱形二、经典例题菱形的性质与应用【例1】如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DEAB，AB4求：(1)ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积解：（1）连接BD交AC于点O，在菱形ABCD中AD=ABE是AB的中点，且DEABAD=BD，AD=BD=ABABD为等边三角形，BAD=60°，ABC=120°（2）在RtABO中，BAO=30°，AB=4，则BO=2故A0=2菱形ABCD的面积【变式题组】如图，菱形ABCD的边长为2，BD2，E、F分别是边AD，CD

11、上的两个动点，且满足AECF2(1)求证：BDEBCF；(2)判断BEF的形状，并说明理由；(3)设BEF的面积为S，求S的取值范围解：（1）证明：菱形ABCD的边长为2，BD=2，ABD和BCD都为正三角形，BDE=BCF=60°，BD=BC，AE+DE=AD=2，而AE+CF=2，DE=CF，BDEBCF；（2）解：BEF为正三角形理由：BDEBCF，DBE=CBF，BE=BF，DBC=DBF+CBF=60°，DBF+DBE=60°即EBF=60°，BEF为正三角形；（3）解：设BE=BF=EF=x，当BEAD时，x最小=，S最小=×=，当

12、BE与AB重合时，x最大=2，S最大=×2×2=， 菱形的 判定与应用【例2】如图，四边形ABCD中，ABCD，AC平分BAD，CEAD交AB于E(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若点E是AB的中点，试判断ABC的形状，并说明理由（1）证明：ABCD，即AECD， 又CEAD，四边形AECD是平行四边形AC平分BAD，CAE=CAD，ADCE，ACE=CAD，ACE=CAE，AE=CE，四边形AECD是菱形； （2）解：ABC是直角三角形 证法一：E是AB中点，AE=BE 又AE=CE，BE=CE，B=BCE，B+BCA+BAC=180°，2BCE+2ACE

13、=180°，BCE+ACE=90°即ACB=90°，ABC是直角三角形证法二：连DE，由四边形AECD是菱形，得到DEAC，且平分AC，设DE交AC于F，E是AB的中点，且F为AC中点，EFBCAFE=90°，ACB=AFE=90°，BCAC，ABC是直角三角形 【变式题组】如图，在四边形ABCD中，ADBC，AMBC，垂足为M，ANDC，垂足为N若BADBCD，AMAN，求证四边形ABCD是菱形证明：ADBC，B+BAD=180°，D+C=180°，BAD=BCD，B=D，四边形是平行四边形，AMBC，AN，=AND=90

14、°，在和中，BD，AMBAND90°，AMAN，（），AB=AD，四边形是菱形（也可用等积法证邻边等）【例3】已知如图，ABC中，BAC90°，ADBC于D，BE平分ABC，交AD于M，EFBC于F求证：四边形AEFM是菱形证明：ADBC，EFBCADEF，AME=MEF，BE平分ABC,BAC90°,EFBC，EA=EF，AFB=FEMAN平分DAC，CAN=DAN，AME=AEM，AM=AEAM=EF四边形AMFE是平行四边形，且AM=AE平行四边形AMNE是菱形【例4】如图，在菱形ABCD中，ABC120°，E是AB边的中点，P是AC边上

15、一动点，PBPE的最小值是，求AB的值解：由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，PE+PB=PE+PD=DE，即DE就是PE+PB的最小值，BAD=60°，AD=AB，ABD是等边三角形，AE=BE，DEAB（等腰三角形三线合一的性质）在RtADE中，DE=，BAD=60°AD=2三、【综合提升】【例5】、如图，在ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AFBD，连接BF（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由当ABC满足什么条件时

16、，四边形AFBD是菱形？并说明理由【解答】（1）证明：E是AD的中点，AEED，AFBC，AFEECD，在AEF和DEC中，AEFDEC，AFDC，AFBD，BDDC（2）当ABAC时，四边形AFBD是矩形证明：AFBD，AFBD，四边形AFBD是平行四边形，ABAC，BDDC，ADBC，ADB90°，四边形AFBD是矩形当BAC90°时，四边形AFBD是菱形证明：AFBD，AFBD，四边形AFBD是平行四边形，BAC90°，BDDC，ADBDDC，四边形AFBD是菱形【变式题组】如图，在RtABC中，B=90°，BC=5，C=30°.点D从点

17、C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t0）.过点D作DFBC于点F，连接DE、EF.（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由.解：（1）在DFC中，DFC=90°，C=30°，DC=2t，DF=t，又AE=t，AE=DF；（2）能；理由如下：ABBC，DFBC，AEDF，又AE=DF，四边形AEFD为平行

18、四边形，AB=5，AC=2，AB=10，AD=AC-DC=10-2t，若使为菱形，则需AE=AD，即t=10-2t，t=，即当t=时，四边形AEFD为菱形；（3）EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，在RtAED中，ADE=C=30°，AD=2AE，即10-2t=2t，t=；DEF=90°时，由（2）知EFAD，ADE=DEF=90°，A=90°-C=60°，AD=AE，即10-2t=t，t=4；EFD=90°时，此种情况不存在；综上所述，当或4时，DEF为直角三角形。培优升级 检测2、 选择题 1、若菱形的周长为24cm

19、，一个内角为60°，则菱形较短的一条对角线为（D）A9cmB8cmC7cmD6cm2、过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EFAC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF若AB，DCF30°，则EF的长为（A）A2 B3 C D3、如图，菱形ABCD中，AB2，A120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（B）A1 B C2 D+1二、填空题4、菱形的对角线长分别为6和8，则此菱形的周长为20，面积为245、菱形ABCD中，AB15，若周长为8cm，则此菱形的高等于_1_.6、已知ABCD，对角线AC，BD相交

20、于点O，请你添 答案不唯一如AB=BC，使ABCD成为一个菱形7、如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC=10，BD=24，AEBC于E，则AE的长是_8、如图已知菱形中，、分别是、上的点，若，求的度数100°9、如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且A=EDF=60°，有下列结论：AE=BF；DEF是等边三角形；BEF是等腰三角形；ADE=BEF，其中结论正确的个数是_3个_ 7题图 8题图 9题图 10题图 11题图 10、如图，在ABC中，AB6，AC8，BC10，P为边BC上一动点，PEAB于E，PFAC于F，则EF的最小值为4.811、如图将两张长为8,宽为

21、2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值_12_，菱形周长的最大值是_12、如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为 12 13、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是5 14、已如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫，从点A开始按ABCDAEFGAB的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2022cm时停下，则它停的位置是_点F_.12

22、题图 13题图 14题图 15题图 15、如图，在菱形ABCD中，边长为10，A60°顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连接四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去，则四边形A2B2C2D2的周长是20；四边形A2017B2017C2017D2017的周长是【解答】解：菱形ABCD中，边长为10，A60°，顺次连结菱形ABCD各边中点，AA1D1是等边三角形，四边形A2B2C2D2是菱形，A1D15，C1D1AC5，A2B2C2D2C2B2A2D25，四边形A2B2C2D2的周长是：5×420，同理可得出：A3D35×，C3D3C1D1×5，A5D55×（）2，C5D5C3D3（）2×5，四边形A2015B2015C2015D2015的周长是：，故答案为：20；三、解答题16、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DEAC且DEOC，连接 CE、OE，连接AE交OD于点F（1）求证：OECD；（2）若菱形ABCD的边长为6，ABC60°，求AE的长【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形，DEAC，ACBD，DEOCDEAC，四