圆锥曲线复习_课件

1、1.椭圆的定义椭圆的定义平面内到两定点平面内到两定点F1、F2距离之和为距离之和为常数常数2a ( )的点的轨迹叫椭的点的轨迹叫椭圆圆.有有|PF1|+|PF2|=2a.在定义中，当在定义中，当 时，表示时，表示线段线段F1F2;当当 时时,不表示任何不表示任何图形图形.2a|F1F2|2a=|F1F2|2a|F1F2| 6.双曲线的标准方程双曲线的标准方程 (1)焦点在焦点在x轴上的双曲线轴上的双曲线: ,其其中中 ,焦点坐标为焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0)； (2)焦点在焦点在y轴上的双曲线轴上的双曲线: ,其其中中c2=a2+b2，焦点坐标为，焦点坐标为F1(0,-c),F2

2、(0,c). 22221xyabc2=a2+b222221xyab 7.双曲线双曲线 (a0,b0)的几何的几何性质性质 (1)范围：范围： ,yR； (2)对称性：对称轴对称性：对称轴x=0,y=0，对称中，对称中心心(0，0)； 一般规律：双曲线有两条对称轴，它一般规律：双曲线有两条对称轴，它们分别是两焦点连线及两焦点连线段的中们分别是两焦点连线及两焦点连线段的中垂线垂线.22221xyab|x|a (3)顶点：顶点：A1(-a,0),A2(a,0)；实轴长；实轴长 ，虚轴长，虚轴长 ; 一般规律：双曲线都有两个顶点，顶一般规律：双曲线都有两个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点点是曲线

3、与它本身的对称轴的交点. (4)离心率离心率e= ( )；双曲线的离；双曲线的离心率在心率在(1,+)内，离心率确定了双曲线的内，离心率确定了双曲线的形状形状. (5)渐近线：双曲线渐近线：双曲线 的两条渐的两条渐近线方程为近线方程为 ;双曲线双曲线 的的两条渐近线方程为两条渐近线方程为 .|A1A2|=2a1111|B1B2|=2bca1212e122221xyab131322221xyaby= xba1414y= xab双曲线有两条渐近线，他们的交点就双曲线有两条渐近线，他们的交点就是双曲线的中心；焦点到渐近线的距离等是双曲线的中心；焦点到渐近线的距离等于虚半轴长于虚半轴长b;公用渐近线的

4、两条双曲线可公用渐近线的两条双曲线可能是能是:a.共轭双曲线；共轭双曲线；b.放大的双曲线；放大的双曲线；c.共共轭放大或放大后共轭的双曲线轭放大或放大后共轭的双曲线.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的的“1”为为“0”就得到两条渐近线方程，即就得到两条渐近线方程，即方程方程 就是双曲线就是双曲线 的两条渐的两条渐近线方程近线方程.22220 xyab22221xyab8.抛物线的定义抛物线的定义平面内与一定点平面内与一定点F和一条定直线和一条定直线l(Fl)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，距

5、离相等的点的轨迹叫做抛物线，点点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛叫做抛物线的物线的 .2.抛物线的标准方程与几何性质抛物线的标准方程与几何性质 准线准线标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)图形顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)对称轴 .x轴y轴 .焦点F( ,0) . .F(0,- )x轴轴y轴轴2pF(- ,0)2pF(0, )2p2p离心率e=1e=1e=1e=1准线 .xy .x=- 2p2p2py=2p9.直线与圆的位置关系的判断直线与圆的位置关系的判断由圆心到直线的距离由圆心到直线的距离d与圆半径

6、与圆半径r比较比较大小判断位置关系大小判断位置关系;(1)当当dr时时,直线与圆直线与圆 ;(2)当当d=r时时,直线与圆直线与圆 ;(3)当当dr时，直线与圆时，直线与圆 .10.直线与圆锥曲线的位置关系的判断直线与圆锥曲线的位置关系的判断判断直线判断直线l与圆锥曲线与圆锥曲线C的位置关系时，的位置关系时，可将直线可将直线l的方程代入曲线的方程代入曲线C的方程，消去的方程，消去y(或或x)得一个关于变量得一个关于变量x(或或y)的一元二次方的一元二次方程程ax2+bx+c=0（或（或ay2+by+c=0）.相离相离相切相切相交相交(1)当当a0时时,则有则有 ,l与与C相相交交; ,l与与C

7、相切相切; ,l与与C相相离离;(2)当当a=0时，即得到一个一次方程，时，即得到一个一次方程，则则l与与C相交相交,且只有一个交点且只有一个交点,此时此时,若曲线若曲线C为双曲线为双曲线,则则l 于双曲线的渐近线于双曲线的渐近线;若若C为抛物线为抛物线,则则l 于抛物线的对称轴于抛物线的对称轴.0=00平行平行平行平行11.弦长公式弦长公式连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦锥曲线的弦.要能熟练地利用方程与根的系要能熟练地利用方程与根的系数关系来计算弦长，常用的弦长公式数关系来计算弦长，常用的弦长公式|AB|= = .当直线与圆锥曲线相交时，涉及弦长问题

8、，当直线与圆锥曲线相交时，涉及弦长问题，常用常用“韦达定理韦达定理”设而不求计算弦长设而不求计算弦长.2121|kxx12211|yyk 12.曲线与方程的关系曲线与方程的关系 一般的，在平面直角坐标系中，如果某一般的，在平面直角坐标系中，如果某曲线曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹轨迹)上的点与一个二元方程上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数的实数解建立了如下关系：解建立了如下关系： ( 1 ) 曲 线 上 的 点 的 坐 标 都 是 这 个曲 线 上 的 点 的 坐 标 都 是 这 个 ; (2)以这个方程的解为坐标的点均是以这个方程的解为坐

9、标的点均是 .那么，这个方程叫做曲线的那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线方程，这条曲线叫做方程的曲线.方程的解方程的解曲线上的点曲线上的点13.求轨迹方程的基本思路求轨迹方程的基本思路(1)建立适当的直角坐标系，设曲线上的任建立适当的直角坐标系，设曲线上的任意一点（动点）坐标为意一点（动点）坐标为M(x,y).(2)写出动点写出动点M所满足的所满足的 .(3)将动点将动点M的坐标的坐标 ,列出列出关于动点坐标的方程关于动点坐标的方程f(x,y)=0.(4)化简方程化简方程f(x,y)0为最简形式为最简形式.(5)证明（或检验）所求方程表示的曲线上证明（或检验）所求方程表示的曲

10、线上的所有点是否都满足已知条件的所有点是否都满足已知条件.几何条件的集合几何条件的集合代入几何条件代入几何条件注意：第（注意：第（2）步可以省略，如果化）步可以省略，如果化简过程都是等价交换，则第（简过程都是等价交换，则第（5）可以省）可以省略；否则方程变形时，可能扩大（或缩略；否则方程变形时，可能扩大（或缩小）小）x、y的取值范围，必须检查是否纯粹的取值范围，必须检查是否纯粹或完备（即去伪与补漏）或完备（即去伪与补漏）.14.求轨迹方程的常用方法求轨迹方程的常用方法(1)直接法：如果动点满足的几何条件直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量本身就是一些几何量(如距离与角如距离与角)的

11、等量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为表达，我们只需把这种关系转化为x,y的的等式就得到曲线的轨迹方程；等式就得到曲线的轨迹方程；(2)定义法：某动点的轨迹符合某一基定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹本轨迹(如直线、圆锥曲线如直线、圆锥曲线)的的 ,则可则可根据定义采用设方程求方程系数得到动点根据定义采用设方程求方程系数得到动点的轨迹方程；的轨迹方程；(3)代入法代入法(相关点法相关点法)：当所求动点：当所求动点M是随着另一动点是随着另一动点P(称之为相关点称之为相关点)而运动，而运动，如果相关点如果相关点P满足某一曲线方

12、程，这时我满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程；的方程转化为动点的轨迹方程；定义定义(4)参数法：有时求动点应满足的几何参数法：有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现这个动点的运动常常受到另一个较易发现这个动点的运动常常受到另一个变量变量(角度、斜率、比值、截距或时间等角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点坐标的制约，即动点坐标(x,y)中的中的x,y分别随另分别随另

13、一变量的变化而变化，我们可称这个变量一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程；为参数，建立轨迹的参数方程；(5)交轨法：在求两动曲线交点的轨迹交轨法：在求两动曲线交点的轨迹问题时，通过引入参变量求出两曲线的轨问题时，通过引入参变量求出两曲线的轨迹方程，再联立方程，通过解方程组消去迹方程，再联立方程，通过解方程组消去参变量，直接得到参变量，直接得到x,y的关系式的关系式.1.动点动点P到两定点到两定点F1(-3,0)，F2(3,0)的距离之的距离之和等于和等于6，则点，则点P的轨迹是的轨迹是( )CA.椭圆椭圆 B.圆圆C.线段线段F1F2 D.直线直线F1F2课堂练习课堂

14、练习2.椭圆椭圆 + =1的焦点坐标是的焦点坐标是 ,若若弦弦CD过左焦点过左焦点F1,则则F2CD的周长是的周长是 .216x29y( ,0)716 由已知，半焦距由已知，半焦距c= = ,故故焦点坐标为焦点坐标为( ,0),F2CD的周长为的周长为4a=44=16.169 773.中心在坐标原点中心在坐标原点,焦点在焦点在y轴上轴上,经过点经过点( ,0),离心率为离心率为 的椭圆方程为的椭圆方程为 .312=12234xy b=3 e= = a2=b2+c2又椭圆焦点在又椭圆焦点在y轴上轴上,故其方程为故其方程为 =1.a=2b=3.,解得解得依题设依题设ca122234xy 4.已知已

15、知M为线段为线段AB的中点的中点,|AB|=6,动点动点P满满足足|PA|+|PB|=8,则则PM的最大值为的最大值为 ,最最小值为小值为 .4 依题意可知，依题意可知，P点轨迹为以点轨迹为以A、B为焦点的椭圆，为焦点的椭圆，M为椭圆中心，且半为椭圆中心，且半焦距为焦距为3，半长轴为，半长轴为4，则，则|PM|的最大的最大值为值为4，最小值为半短轴，最小值为半短轴 .775.椭圆椭圆 =1(ab0)的焦点为的焦点为F1、F2，两条直线两条直线x= (c2=a2-b2)与与x轴的交点为轴的交点为M、N，若，若MN2|F1F2|,则该椭圆的则该椭圆的离心率离心率e的取值范围是的取值范围是 .222

16、2xyab 2ac ,1)22 由已知由已知|MN|=2 .又又|MN|2|F1F2|,则则2 4c,从而从而 ,故故 1,故故e ,1).2ac2ac22ca1222ca221.在解题中凡涉及椭圆上的点到焦点在解题中凡涉及椭圆上的点到焦点的距离时，应利用定义求解的距离时，应利用定义求解.2.求椭圆方程的方法，除了直接根据求椭圆方程的方法，除了直接根据定义法外，常用待定系数法定义法外，常用待定系数法.当椭圆的焦点当椭圆的焦点位置不明确，可设方程为位置不明确，可设方程为 + =1(m0,n0),或设为或设为Ax2+By2=1(A0,B0).2xm2yn 3.椭圆中有椭圆中有“两线两线”(两条对称

17、轴两条对称轴)，“六点六点”(两个焦点、四个顶点两个焦点、四个顶点)，注意，注意它们之间的位置关系它们之间的位置关系(焦点在长轴上等焦点在长轴上等)及相互间的距离及相互间的距离(如焦点到相应顶点的如焦点到相应顶点的距离为距离为a-c等等).6.双曲线双曲线 =1的实轴长是的实轴长是 ，焦点坐，焦点坐标是标是 .22169yx 8（0,5)7.方程方程 =1表示双曲线，则实数表示双曲线，则实数k的取的取值范围是值范围是 .2211xykk (-,-1)(1,+) 由题设及双曲线标准方程的特征由题设及双曲线标准方程的特征可得可得(1+k)(1-k)0，求得，求得k1.8.已知双曲线已知双曲线 =1

18、右支上一点右支上一点P到左焦点到左焦点F1的距离为的距离为12，则点，则点P到右焦点到右焦点F2的距离的距离为为 ;右支上满足上述条件的点右支上满足上述条件的点P有有 个个.222524xy 21 由双曲线定义可得由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a=10，所以所以|PF2|=12-10=2.又焦点坐标又焦点坐标F1（-7，0），），F2（7，0），顶点），顶点坐标为（坐标为（5，0），），所以满足条件的点只有一个，即为右顶点所以满足条件的点只有一个，即为右顶点.9.若双曲线若双曲线 =1的两条渐近线互相垂的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率直，则双曲线的离心率 .2222xyab

19、e=2 由已知，两渐近线方程为由已知，两渐近线方程为y= x,由两渐近线互相垂直得由两渐近线互相垂直得 (- )=-1,即即a=b.从而从而e= = = .bababaca22aba 210.若双曲线若双曲线C的焦点和椭圆的焦点和椭圆 =1的焦的焦点相同，且过点点相同，且过点(3 ,2)，则双曲线，则双曲线C的的方程是方程是 .22255xy 2=122128xy 由已知半焦距由已知半焦距c2=25-5=20,且焦点在且焦点在x轴上，设双曲线轴上，设双曲线C的方程为的方程为 =1, a2+b220 a2=12 =1 b2=8,故所求双曲线的方程为故所求双曲线的方程为 =1.2222xyab 则

20、则,求得求得2222(3 2)2ab 22128xy 1.a,b,c有关系式有关系式c2=a2+b2成立，且成立，且a0,b0,c0.其中其中a与与b的大小关系，可以为的大小关系，可以为a=b,ab.2.双曲线的几何性质的实质是围绕双曲双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的线中的“六点六点”（两个焦点、两个顶点、两（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），个虚轴的端点），“四线四线”（两条对称轴、（两条对称轴、两条渐近线），两条渐近线），“两形两形”（中心、焦点以及（中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两焦点构成的三角形）研究他们之间的相互联焦

21、点构成的三角形）研究他们之间的相互联系系. 3.椭圆是封闭性曲线，而双曲线是开椭圆是封闭性曲线，而双曲线是开放性的放性的.又双曲线有两支，故在应用时要又双曲线有两支，故在应用时要注意在哪一支上注意在哪一支上. 4.根据方程判定焦点的位置时，注意根据方程判定焦点的位置时，注意与椭圆的差异性与椭圆的差异性. 5.求双曲线的标准方程时应首先考虑求双曲线的标准方程时应首先考虑焦点的位置，若不确定焦点的位置时，需焦点的位置，若不确定焦点的位置时，需进行讨论，或可直接设双曲线的方程为进行讨论，或可直接设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB0). 6.与双曲线与双曲线 共渐近线的双曲线共渐近线的双曲线方程

22、为方程为 =(0). 与双曲线与双曲线 共焦点的圆锥曲线方共焦点的圆锥曲线方程为程为 (0).当当0e1时，曲时，曲线为双曲线；当线为双曲线；当e=1时，曲线为抛物线时，曲线为抛物线.|MFd|MFd2.定义及标准方程的理解定义及标准方程的理解.(1)求抛物线的标准方程，要先根据题求抛物线的标准方程，要先根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数件确定参数p的值的值.同时，知道抛物线的标准同时，知道抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者之间是相方程、焦点坐标、准线方程三者之间是相依并存的，知道其中一个，就可以求出其依并存的，知道其中一个，就可以求

23、出其他两个他两个.(2)焦点弦公式：对于过抛物线焦点的焦点弦公式：对于过抛物线焦点的弦长，可用焦半径公式推出弦长公式弦长，可用焦半径公式推出弦长公式.设过设过抛 物 线抛 物 线 y2= 2 p x ( p 0 ) 的 焦 点的 焦 点 F 的 弦 为的 弦 为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则有则有|AB|x1+x2+p.(3)与椭圆、双曲线相比，抛物线没有对与椭圆、双曲线相比，抛物线没有对称中心，只有一个焦点，一条准线，一个称中心，只有一个焦点，一条准线，一个顶点，一条对称轴，且离心率为常数顶点，一条对称轴，且离心率为常数1.(4)抛物线标准方程中参数抛物线标准方程中参数p的几何

24、意义的几何意义是焦点到准线的距离，焦点的非零坐标是是焦点到准线的距离，焦点的非零坐标是一次项系数的一次项系数的 .(5)抛物线的对称轴是哪个轴，方程中的抛物线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号，则该项即为一次项；一次项前面是正号，则抛物线的开口方向向抛物线的开口方向向x轴或轴或y轴的正方向；一轴的正方向；一次项前面是负号，则抛物线的开口方向为次项前面是负号，则抛物线的开口方向为x轴或轴或y轴的负方向轴的负方向.1416.若若ab且且ab0,则直线则直线ax-y+b=0和二次曲和二次曲线线bx2+ay2=ab的位置关系可能是的位置关系可能是( )C 由已知，直线方程可化为

25、由已知，直线方程可化为y=ax+b,其中其中a为斜率为斜率,b为纵截距，为纵截距，二次曲线方程可化为二次曲线方程可化为 =1，应，应用淘汰法可知用淘汰法可知A、B、D均自相矛盾均自相矛盾.故选故选C.22xyaa17.直线直线x+y=2与椭圆与椭圆x2+ky2=1有公共点，有公共点，则则k的取值范围是的取值范围是 .(0, 1318.过原点的直线过原点的直线l:y=kx与双曲线与双曲线C: =1有两个交点，则直线有两个交点，则直线l的斜率的斜率k的取值范围的取值范围是是 .2243xy33(,)22 由于双曲线的渐近线的方程为由于双曲线的渐近线的方程为y= x,数形结合可知数形结合可知l与与C

26、有两个交点，则直线有两个交点，则直线l夹在夹在两渐近线之间，从而两渐近线之间，从而- k0,解得解得-1k0或或0k1,即即-1tan0或或0tan1,故故 或或00是直线与双曲线相交，但直线与是直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故有一个交点，故0是直线与双曲线相交的是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件充分条件，但不是必要条件.(5)0是直线与抛物线相交，但直线与是直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有抛物线相交不一定有0,当直线与抛物

27、线当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件交的充分条件，但不是必要条件.2.数形结合思想的应用数形结合思想的应用.要注意数形结合思想的运用要注意数形结合思想的运用.在做题时，在做题时，最好先画出草图，注意观察、分析图形的最好先画出草图，注意观察、分析图形的特征，将形与数结合起来特征，将形与数结合起来.特别地：特别地：(1)过双曲线过双曲线 =1外一点外一点P(x0,y0)的的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：P

28、点在两条渐近线之间且不含双曲线的点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线别与双曲线两支相切的两条切线,共四条；共四条；2222xyabP点在两渐近线之间且包含双曲线的点在两渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；切线；P为原点

29、时，不存在这样的直线为原点时，不存在这样的直线.(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线平行于对称轴的直线.3.特殊弦问题探究方法特殊弦问题探究方法.(1)若弦过焦点时（焦点弦问题），若弦过焦点时（焦点弦问题），焦点弦的弦长的计算一般不用弦长公式焦点弦的弦长的计算一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用焦半径公式求解之和后，利用焦半径公式求解.(2)若问题涉及弦的中点及直线斜率若问题涉及弦的中点及直线斜率问题（即中点弦问

30、题），可考虑问题（即中点弦问题），可考虑“点差点差法法”（即把两点坐标代入圆锥曲线方程，（即把两点坐标代入圆锥曲线方程，然后两式作差），同时常与根和系数的然后两式作差），同时常与根和系数的关系综合应用关系综合应用.21.方程方程|x|-1= 表示的曲线是表示的曲线是( )DA.一个圆一个圆 B.两个圆两个圆C.半个圆半个圆 D.两个半圆两个半圆21 (1)y 由于由于|x|-1= (|x|-1)2+(y-1)2=1 |x|-10 x1 x-1 (x-1)2+(y-1)2=1 (x+1)2+(y-1)2=1曲线是两个半圆，故选曲线是两个半圆，故选D.21 (1)y或或22.设设P为双曲线为双曲线

31、 -y2=1上一动点上一动点,O为坐标为坐标原点，原点，M为线段为线段OP的中点，则点的中点，则点M的轨的轨迹方程为迹方程为 .24xx2-4y2=1 (代入法代入法)设设M(x,y)，P(x1,y1)，则则 -y12=1. x= x1=2x y= y1=2y214x又又12x,即即12y,代入代入得得x2-4y2=1. (直推法直推法)依题设依题设, |PF1|+|PF2|=25=10 |PQ|=|PF2|,则则|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|PF1|+|PF2|=10,则动点则动点Q的轨迹是以的轨迹是以F1为圆心为圆心,10为半径的圆为半径的圆,其方程为其方程为(x+4)2+y2=10

32、0.23.已知椭圆已知椭圆 =1的左、右焦点分别的左、右焦点分别为为F1、F2,P为椭圆上一动点为椭圆上一动点,延长延长F1P到到Q,使得使得|PQ|=|PF2|,则动点则动点Q的轨迹方程的轨迹方程是是 .22259xy(x+4)2+y2=10024.平面直角坐标系中平面直角坐标系中,O为坐标原点为坐标原点,已知两点已知两点A(3,1),B(-1,3),若点若点C满足满足 = + ,其中其中、R,且且+=1,则点则点C的轨迹方程的轨迹方程是是 .x+2y-5=0OCOA OB （参数法）设（参数法）设C(x,y).由由 = + ,得得(x,y)=(3,1)+(-1,3), x=3- y=+3.

33、 而而+=1, x=4-1 y=3-2OCOA OB 即即则则,消去消去得得x+2y-5=0.25.设设A1、A2是椭圆是椭圆 =1长轴的两长轴的两个端点，个端点，P1、P2是垂直于是垂直于A1A2的弦的的弦的端点，则直线端点，则直线A1P1与与A2P2交点交点M的轨的轨 迹方程是迹方程是 .2294xy22194xy (交轨法交轨法)由已知由已知,A1(-3,0),A2(3,0).设设P1(x1,y1),则则P2(x1,-y1),交点交点M(x,y),则由则由A1、P1、M三点共线三点共线,得得 = .又又A2、P2、M三点共线，得三点共线，得 = .得得 = .又又 =1,即即 = ,从而

34、从而 = ,即即 .113yx 3yx113yx3yx21219yx229yx 221194xy22194xy21219yx49229yx 491.曲线与方程关系的理解曲线与方程关系的理解.(1)曲线方程的实质就是曲线上任意曲线方程的实质就是曲线上任意一点的横、纵坐标之间的关系，这种关一点的横、纵坐标之间的关系，这种关系同时满足两个条件：系同时满足两个条件：曲线上所有点曲线上所有点的坐标均满足方程；的坐标均满足方程；适合方程的所有适合方程的所有点均在曲线上点均在曲线上.(2)如果曲线如果曲线C的方程是的方程是f(x,y)=0,那么那么点点P0(x0,y0)在曲线在曲线C上的充要条件是上的充要条

35、件是f(x0,y0)=0.(3)视曲线为点集，曲线上的点应满足视曲线为点集，曲线上的点应满足的条件转化为动点坐标所满足的方程，则的条件转化为动点坐标所满足的方程，则曲线上的点集曲线上的点集(x,y)与方程的解集之间建立与方程的解集之间建立了一一对应关系了一一对应关系.2.求轨迹方程方法实质剖析求轨迹方程方法实质剖析.(1)轨迹问题的实质就是用动点的两坐轨迹问题的实质就是用动点的两坐标标x,y一一对应的揭示曲线方程解的关系一一对应的揭示曲线方程解的关系.在在实际计算时，我们可以简单地认为，求曲实际计算时，我们可以简单地认为，求曲线方程就是求曲线上动点的坐标之间的关线方程就是求曲线上动点的坐标之间

36、的关系系.当两坐标之间的关系为直接关系当两坐标之间的关系为直接关系f(x,y)=0，就是曲线方程的普通形式就是曲线方程的普通形式; 当当x,y的关系用一个变量的关系用一个变量(如如t变量变量)表示时，表示时，坐标之间的关系就是间接关系，这时的表示坐标之间的关系就是间接关系，这时的表示式就是曲线的参数方程式就是曲线的参数方程.所以解决问题时，所以解决问题时，应该紧紧围绕寻找点的两坐标之间的关系展应该紧紧围绕寻找点的两坐标之间的关系展开探究开探究. (2)定义法求轨迹是不同于其他求轨迹定义法求轨迹是不同于其他求轨迹的思维方法，它从动点运动的规律出发，整的思维方法，它从动点运动的规律出发，整体把握点

37、在运动中不动的、不变的因素，从体把握点在运动中不动的、不变的因素，从而得到了动点运动规律满足某一关系，简单而得到了动点运动规律满足某一关系，简单地说，就是在思维的初期，先不用设点的坐地说，就是在思维的初期，先不用设点的坐标，而直接找动点所满足的几何性质标，而直接找动点所满足的几何性质(往往往往是距离的等量关系是距离的等量关系). 由于解析几何研究的几何对象的局限性，由于解析几何研究的几何对象的局限性，直线、圆、圆锥曲线这些的定义都是用距直线、圆、圆锥曲线这些的定义都是用距离的关系来定义曲线的，所以利用定义法离的关系来定义曲线的，所以利用定义法求轨迹问题时，往往应该先考虑动点满足求轨迹问题时，往往应该先考虑动点满足的距离关系，判断它是否满足五种曲线的的距离关系，判断它是否满足五种曲线的定义，从而使问题快速解答定义，从而使问题快速解答.1