初中数学分类讨论问题专题

1、中考数学专题复习一一分类讨论问题朱江敏使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。形成一定的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。1:分式方程无解的分类讨论问题例题1: (2011武汉)3一十? =无解,求a=x -3 x2 -9 x 3解：去分母，得：3(x 3) ax =4(x -3)=(a-1) x = -21由已知-2！ 二 一3或-祖 =3或2-1 =0 a-1a-1a = 8, a = -6或者 a = 1猜想：把“无解”改为“有增

2、根”如何解？a =8或a =-6例题2: (2011郴州) 一2a-=2无解，求a= x 1 x -12: “一元二次”方程系数的分类讨论问题例题3: (2010上海)已知方程 m2x2+(2m+1)x+1 =0有实数根，求 m的取值范围。(1) 当m2 =0时，即m=0时，方程为一元一次方程 x+1=0,有实数根x= -1(2)当m2/0时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：991 一 0 =(2m+1) -4m = 4m+1 20，即m 之-一，且 m =041综（1） （2）得，m >-4常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略m2 =0的条件）总结：字母系数的取值

3、范围是否要讨论，要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都是表明是二次方程， 不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行 讨论的。例题4: （2011益阳）当 m是什么整数时，关于 x的一元二次方程mx2 -4x+4=0与 x2 -4mx+4m2 -4m -5 = 0 的根者B是整数。2解：因为是一兀二次万程，所以二次项系数不为0,即m =0, m=0,4之0,解得m <1.一一55一同理， & ±0,解得m之.二Mm M1且m=0,又因为m为整数,mW 1或1.44（

4、1）当m= 1时，第一个方程的根为 x = 2±2UE不是整数，所以 m=1舍去。（2）当m=1时，方程1、2的根均为整数，所以 m=1.；m -1 00>0练习：已知关于x的一元二次方程（m-1）x2 + x + 1 = 0有实数根，则m的取值范围是:. 5口 /nm'一且m 0143：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题例题:5: （2011青海）方程x2-9x+18 = 0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A 12B 12或15 C 15D不能确定例题6: （2011武汉）三角形一边长 AB为13cm,另一边AC为15cm, BC 上的

5、高为12cm,求此三角形白面积。（54或84）析：，没有给图形的计算题得多留意多解；图形的可能性例题7: （2011湘西）若两圆相切，圆心距是7,其中一圆的半径为4,则另 一圆的半径为：3或11.例题8: （2011四校联考）一条绳子对折 后成右图A、B, A.B上一点C,且有 BC=2AC,将其从C点剪断，得到的线段中最长的一段为 40cm,请问这条绳子的长 度为：60cm 或 120cm.分析：1、折点A、B都有可能；ACB给了图形的指代不明导致多解 4:动点问题的分类分类讨论问题4.1: 常见平面问题中动点问题的分类讨论;分段函数引起思考不同时段不同的关系例题9: （2011永州）正方形

6、ABCD的边长为10cm, 一动点P从点A出发， 以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图，回到 A点停止，求点P 运动t秒时，P, D两点间的距离。D p4cP4中* 1 ,llA.p/.H B解：点P从A点出发，分别走到B, C, D, A所 10230£用时间是 了秒， 亍秒，亍秒， 亍秒，即5秒， 10秒，15秒，20秒。. （1）当 0&t<5 时，点 P在线段 AB 上，|PD|=|RD|二 r；Tcm）（2）当 50t<10 时，点 P 在线段 BC 上，|PD|=|F2D|二 1加-2。'+10' 二2出-20Z125(3

7、)当 10<t<15 时，点 P在线段 CD 上，|PD|=|RD|=30-2t(4)当 15<t020 时，点 P在线段 DA 上,|PD|=|F4D|=2t-302 Jt3 25 (cm)2jt2 -20t + 12J (cm)qo - 2iJ(cin)综上得：|PD|二(2t - 30)(cm)L -(0 < t <5)(5< t<10) (10 11< 15) (15 < t< 20)总结：本题从运动的观点，考查了动点 P与定点D之间的距离，应根据P点 的不同位置构造出不同的几何图形，将线段 PD放在直角三角形中求解或直接观

8、察图形求解。4.2: 组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。例题10: （2010福建）已知一次函数y = -x+3V3与x轴、y轴的交点分别为A、B,试在x轴上找一点P,使4PAB为等腰三角形。3分析：本题中 PAB由于P点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。4PAB是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情 况加以分类：（1） PA=PB; （2） PA=AB; （3） PB=AB。先可以求出B点坐标 （°，3'3） , A点坐标（9, 0）。设P点坐标为（x,0）,利用两点间距离公式可对种分类情况分别列出方程，求出P点

9、坐标有四解，分别为（-9,0）、（3,0）、（9 +6石,0）、（9 -6 J3,0）。（不适合条件的解已舍去）总结：解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种 可能位置，紧扣条件，分类画出各种符合条件的图形。另外，由点的运动变化也 会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置 分别求其结果，否则漏解。例11: （2010湖北）如图，正方形 ABCD勺边长是2, BE=CE MN=1线段 MN的两端在CD AD上滑动.当DM=时，ZXABE与以D AMNCBM N为项点的三角形相似。分析与解答 勾股定理可得AE=J5.当4ABE与以D、M、N为项点的

10、三 角形相似时，DM可以与BE是对应边，也可以与 AB是对应边，所以本题分两 种情况：(1)当DMf BE是对应边时，_DM=MNAB AE即RM=,DM =史.(2)当DM与AB是对应边时， 1.55DM =MN即四=：,dm =迤 故dm的长是立或至5.AB AE '25555例题12: (2011湘潭)如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点, 过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C (3,0).(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 Q,使三角形ABQ是等腰三角形？若存 在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由。说明 从以上各例可以看出，分灯思想在几何中的较为广泛.这类试题的解题思 路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需 要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确 全面求解的根本保证.解析：(1)抛物线解析式的求法：1,三点式；2,顶点式(h,k) ; 3,交点式 易得：y =a(x+1)(x-3)再结合点B(0,3)在抛物线上,y = -x2+2x + 3(2)依题意得AB =/0 ,抛物线的对称轴为x=1，设Q(1, y)1)以AQ为底，则有 A