向量法求空间角————二面角

1、授课人：谭亮授课人：谭亮复习回顾l1. 用向量法解决几何问题有哪些步骤？2.什么叫二面角？已知：正方体ABCD-A1B1C1D1中点E为AD，求二面角A-A1B-E 的余弦值。F已知：正方体ABCD-A1B1C1D1中点E为AD，求二面角D-A1E-B 的余弦值。F已知：正方体已知：正方体ABCD-A1B1C1D1中点中点E为为AD，求面求面A1BE与面与面DC A1所成的角（锐角所成的角（锐角 ）余弦）余弦值。值。向量法求二面角的平面角0 ,CBPl1n2n A如果改变法向量的方向呢？12 coscos,n n 12coscos,n n 或12,n n 此时，12,n n 例例1.已知：正方

2、体ABCD-A1B1C1D1中点E为AD，求二面角D-A1E-B 的余弦值。练习：已知：正方体ABCD-A1B1C1D1中点E为AD，求面A1BE与面DC A1的余弦值。 例例2： 已知 和 所在的平面互相垂直，且 ， 求： 二面角 的余弦值。 ABCDBC0120CBADBCABBCBDABDCxzyOADCBxzyO131330 0 0),(,0,0), (0,0),(0,0), (0,0,)2222ABODBCA解：设，建立如图坐标系，得到（ ， ，1113, , ) (0,)02233 , , )0 -022nABx y znADx y z 则：（， ，）1, , )ABDnx y z

3、设面的法向量为（x1313zyz 1得到所以取n（， ， ）20 01AOBCDn 显然平面故可设其法向量（ ， ， ）。125coscos(,)5ABDCn n 二面角的余弦五.课堂小结用向量法求二面角的平面角，回避了在空间图形中寻找面面角这一难点。体现了“数形结合”的数学思想。 1n2n 1n2n 12,n n 12,n n 用向量法求二面角的方法:如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，是正方形，侧棱侧棱PD底面底面ABCD，PB平面平面EFDPD=DC,E是是PC的中点，作的中点，作EFPB交交PB于点于点F.求二面角求二面角C-PB-D的大小。的大小

4、。ABCDP PE EF Fyzx解：如图所示建立空间直角解：如图所示建立空间直角坐标系，点坐标系，点D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=1思考：思考：(2)求面求面ABP与面与面DCP所成的角（锐角所成的角（锐角 ）ABDP PE EF FXYZC1(0,0,1)BCDn 面的法向量211( ,0, )22PABn 面的法向量121212coscos,2 =2|n nn nnn G作业：P习题3.2 A组 912题 例3：如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 (库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，AB的长为d。求库底与水坝所成二面

5、角的余弦值。EACDBlACDBll五.课堂小结用向量法求二面角的平面角回避了在空间图形中寻找面面角这一难点。体现了向量思想在立体几何中的重要地位，更体现了“借数言形”的数学思想。 1n2n 1n2n l1n12,n n 2n 12,n n 12,n n 用向量法求二面角的方法:2.解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合方法、向量方法、坐标法。 ADCBxzyOFGCFBDFBGBDG方法二：作于 点， 于 点1( , , )( ,-,0)231 (,022311,0222F x y zBFx ykBDkxk yk z 设则：）31311(,00022222kk） （， ）5,5FC GA 于是cos =cos13 33 3-,0(,0)24444kFFC 点的坐标为（，）3 3