202X学年高中数学第一章不等关系与基本不等式4第1课时比较法课件北师大版选修4_5

1、第一章4不等式的证明第1课时比较法学习目标1.理解比较法证明不等式的理论依据.2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.3.体会比较法所表达的转化与化归的数学思想方法问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一求差比较法思考求差比较法的理论依据是什么？思考求差比较法的理论依据是什么？答案答案abab0；abab0；abab0.梳理求差比较法梳理求差比较法(1)求差比较法的理论依据：求差比较法的理论依据：ab0ab；ab0 ；ab0ab.(2)求差比较法解题的一般步骤：作差；变形；判断符号；下求差比较法解题的一般步骤：作差；变形；判断符号；下结论结论其中变形是解题的关键，变形的目的是为了能够直

2、接判定其中变形是解题的关键，变形的目的是为了能够直接判定 ，常用的方法：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等常用的方法：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等ab与0的大小知识点二求商比较法思考思考1对于两个正数对于两个正数a，b，假设，假设 1，能够判断，能够判断a，b的大小吗？的大小吗？答案能，根据不等式的性质知，答案能，根据不等式的性质知， 1ab.思考思考2类比求差比较法，请谈谈求商比较法类比求差比较法，请谈谈求商比较法答案对于正数答案对于正数a，b， 1ab； 1ab； 1ab.梳理梳理(1)求商比较法：假设求商比较法：假设a0，b0，要证明，要证明ab，只要证明，只要证明 ；

3、要要证明证明ba，只要证明，只要证明 .这种证明不等式的方法，叫作求商比较法这种证明不等式的方法，叫作求商比较法(2)求商比较法的理论依据是不等式的根本性质：求商比较法的理论依据是不等式的根本性质：b0，假设，假设 ，那么，那么ab；假设；假设 ，那么，那么ab；b0，假设，假设 ，那么，那么ab；假设；假设 ，那么，那么ab.(3)求商比较法解题的一般步骤：判定求商比较法解题的一般步骤：判定a，b符号；求商；变形整理；符号；求商；变形整理；判定与判定与1的大小；得出结论的大小；得出结论题型探究类型一求差比较法证明不等式例例1正数正数a，b，c成等比数列，求证：成等比数列，求证：a2b2c2(

4、abc)2.证明证明因为正数证明因为正数a，b，c成等比数列，成等比数列，又(a2b2c2)(abc)2a2b2c2a2b2c22ab2ac2bc2ab4b22bc2b(a2bc)所以a2b2c2(abc)2.反思与感悟求差比较法的关键是作差后的变形，一般通过分解因式或反思与感悟求差比较法的关键是作差后的变形，一般通过分解因式或将差式转化为积商式，以便与将差式转化为积商式，以便与0比较大小比较大小证明类型二求商比较法证明不等式例例2a0，b0，求证：，求证：aabb证明2.a bab证明因为证明因为aabb0， 0，所以所以当当ab时，显然有时，显然有 1；2a bab2222.a ba bb

5、 aaba ba baabbab2a bab2a bab所以由指数函数的单调性可知， 1；所以由指数函数的单调性可知， 1.综上可知，对任意正数a，b，都有aabb2a bab2.a bab引申探究引申探究1.假设假设a0，b0，求证：，求证： abba.证明2a bab证明因为证明因为abba0， 0，所以所以所以当所以当ab时，显然有时，显然有 1；2a bab2222.b ab aa bbaa ba baabbab2b aab2b aab综上可知，对任意a0，b0，都有abba .2b aab2a bab2.当a0，b0时，比较aabb与abba的大小.解答2a bab解由例解由例2和探

6、究和探究1知，知，aabb abba.反思与感悟求商比较法证明不等式的一般步骤反思与感悟求商比较法证明不等式的一般步骤(1)作商：将不等式左右两边的式子进展作商作商：将不等式左右两边的式子进展作商.(2)变形：化简商式到最简形式变形：化简商式到最简形式.(3)判断：判断商与判断：判断商与1的大小关系，也就是判断商大于的大小关系，也就是判断商大于1或小于或小于1或等于或等于1.(4)得出结论得出结论.又a2b22ab，证明当且仅当ab0时取等号，类型三比较法的应用a，b，m都是正数，且ab，ba0，b(bm)0， 证明反思与感悟比较法理论上便于理解，实用时便于操作，故应用比较反思与感悟比较法理论

7、上便于理解，实用时便于操作，故应用比较广泛广泛.跟踪训练跟踪训练3b，m1，m2都是正数，都是正数，ab，m1m2，证明因为b0，m10，m20，所以(bm1)(bm2)0.又ab，m1m2，所以ab0，m2m10，从而(ab)(m2m1)0.达标检测12435解析解析x232x(x1)220，故正确；，故正确；取取ab1，那么，那么a5b52，a3b2a2b32，故不正确；，故不正确；a2b22(ab1)(a1)2(b1)20，故正确，故正确.1.不等式：x232x(xR)；a5b5a3b2a2b3(a，bR)；a2b22(ab1).其中正确的个数为A.0 B.1C.2 D.3答案解析124

8、35A.a1 B.a0C.a0 D.a1或a0答案解析12435wu.3.假设x，yR，记wx23xy，u4xyy2，那么A.wu B.wuC.wu D.无法确定答案解析12435解析解析a，b都是正数，都是正数，P0，Q0， A.PQ B.PQC.PQ D.PQ答案解析P2Q20，PQ.12435原不等式成立.方法二ab0，a2b20.左边0，右边0.证明原不等式成立.规律与方法1.求差比较法证明不等式的技巧(1)求差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少.(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法.(3)因式分解是常用的变形