理论课第14次：拟合2013

1、1 1数学实验之数据拟合实验目的 引 例拟合原理拟合函数软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束重庆大学数理学院国家级精品课程数学实验课件数学实验之数据拟合SHUXUESHIYANZHISHUJUNIHE课件制作：数学实验课程组 你可以自由的从网站 2数学实验之数据拟合实验目的 引 例拟合原理拟合函数软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束1 了解最小二乘拟合的原理，掌握用MATLAB作最小二乘拟合的方法。2 通过实例学习如何用拟合方法解决实际问题，注意与插值方法的区别；通过实例理解参数辨识的方法。3 通过实验体验用函数拟合解决实际问题的全过程。 实验目的实验目的3 3数学实验之数据拟

2、合实验目的 引 例拟合原理拟合函数软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束机械零件的设计与加工机械零件的设计与加工 引引 例例4 4数学实验之数据拟合实验目的 引 例拟合原理拟合函数软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束工业工业CTCT图像裂纹边缘检测与识别图像裂纹边缘检测与识别 引引 例例5 5数学实验之数据拟合实验目的 引 例拟合原理拟合函数软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束机器人识别定形工具柄机器人识别定形工具柄 引引 例例6 6数学实验之数据拟合实验目的 引 例拟合原理拟合函数软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束医用薄膜的渗透率医用薄膜的渗透率 问题背景:某

3、种医用薄膜在试制时需测定其被物质分子穿透的能力。 测定方法：用面积为S的薄膜将容器分成两部份，在两部分中分别注满该物质的两种不同浓度的溶液。此时该物质分子就会从一侧向另一侧扩散。平均每单位时间通过单位面积薄膜的物质分子量与膜两侧溶液的浓度差成正比，比例系数K称为渗透率。定时测量容器中薄膜某一侧的溶液浓度，以此确定K。VBVAS 引引 例例7 7数学实验之数据拟合实验目的 引 例拟合原理拟合函数软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束3）薄膜是双向同性的即物质从膜的任何一侧向另一侧渗透的性能是相同的。假设假设1）薄膜两侧的溶液始终是均匀的；2）在单位时间内通过单位面积薄膜的物质分子量与膜两侧

4、溶液的浓度差成正比。 引引 例例8 8数学实验之数据拟合实验目的 引 例拟合原理拟合函数软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束 第一步：通过机理分析确定容器一侧的浓度随时间的变化规律： C=CB(t) 第二步：利用实验数据(tj,CB(tj)，求出其中的未知参数，包括渗透率K.解决问题的思路解决问题的思路 引引 例例9 9数学实验之数据拟合实验目的 引 例拟合原理拟合函数软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束 考察时段t，t+t薄膜的一侧容器中该物质质量的变化。 1）以容器A侧为例，在时段t，t+t物质质量的增量为： 求浓度随时间的变化规律求浓度随时间的变化规律) t (CV) t

5、t (CVAAAA 由假设2,在时段t，t+t，从B侧渗透至A侧的该物质的质量为：tS)CC(KAB 引引 例例1010数学实验之数据拟合实验目的 引 例拟合原理拟合函数软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束于是有) t (CV) tt (CVAAAAtS)CC(KAB两边除以t，并令t0取极限再稍加整理即得：)CC(VSKdtdCABAA（1）求浓度随时间的变化规律求浓度随时间的变化规律 引引 例例1111数学实验之数据拟合实验目的 引 例拟合原理拟合函数软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束BA 、分别表示在初始时刻两侧溶液的其中2) 注意到任意时刻，整个溶液中含有该 物质的质

6、量,与初始时刻该物质的含量相同，因此 BBAABBAAVV) t (CV) t (CV浓度.求浓度随时间的变化规律求浓度随时间的变化规律 引引 例例1212数学实验之数据拟合实验目的 引 例拟合原理拟合函数软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束加上初值条件：.)0(CBB从而：)()(tCVVVVtCBABBABAA)()11(ABBABBABVVSKCVVSKdtdC()ABAAdCSKCCdtV代入式（1）：t )V1V1(SKBAABABABBAABBAeVV)(VVVVV) t (C解之得：求浓度随时间的变化规律求浓度随时间的变化规律 引引 例例1313数学实验之数据拟合实验目的

7、 引 例拟合原理拟合函数软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束t )V1V1(SKBAABABABBAABBAeVV)(VVVVV) t (C 问题归结为利用CB在时刻tj的测量数据Cj(j=1,2,.,N)来确定（辨识）K 和 .BA 、待定参数的确定待定参数的确定Tj (秒)1002003004005006007008009001000Cj (105)4.544.995.355.655.906.106.266.396.506.59容器的B部分溶液浓度的测量数据 引引 例例1414数学实验之数据拟合实验目的 引 例拟合原理拟合函数软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束曲线拟合的基

8、本原理曲线拟合的基本原理已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。 +xyy=f(x)(xi,yi)ii 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离1515数学实验之数据拟合实验目的 引 例拟合原理拟合函数软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束问题的数学模型 步骤：1) 选定一类函数 f(x，a1，a2， ，am) （1） 其中 a1,a2, am 为待定常数。 2) 确定参数a1,a2, am 准则(最小二乘准则）：使n个点（xi,yi)与曲线 y=f(

9、x ，a1，a2， ，am) 的距离 i 的平方和最小 。曲线拟合的基本原理曲线拟合的基本原理1616数学实验之数据拟合实验目的 引 例拟合原理拟合函数软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束)2(),(),(2111221iniminiimyaaxfaaaJ记 问 题 归 结 为 : 求 a1, a2, am 使 J(a1,a2, am) 最小。这样的拟合称为最小二乘拟合。问题的数学模型 曲线拟合的基本原理曲线拟合的基本原理1717数学实验之数据拟合实验目的 引 例拟合原理拟合函数软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束 特别，若选定一组函数 r1(x), r2(x), rm(x),

10、 m0);2. 血液容积v, t=0瞬时注射剂量d, 血药浓度立即为d/v.模型假设3.快速静脉注射下一室模型的血药浓度：c(t)t3939数学实验之数据拟合实验目的 引 例拟合原理拟合函数软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束建立模型由假设1，kcdtdc由假设2,c(t)ktevdtc)(tc00t(0)/cd vc4040数学实验之数据拟合实验目的 引 例拟合原理拟合函数软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束),(,1220ccvDvcD12ln1cck12kcc ecc2c10tD0:初次剂量； :注射时间间隔；D:重复注射剂量。,0DD给药方案设计给药方案设计4141数学

11、实验之数据拟合实验目的 引 例拟合原理拟合函数软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束若c1=10, c2=25(g/ml), 给药方案设计归结为根据数据(ti,ci) i=1,n (d 给定）拟合曲线c(t), 以确定系数k, v.一个实例一个实例血药浓度数据(t=0注射300mg) t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.014242数学实验之数据拟合实验目的 引 例拟合原理拟合函数软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束给药方案 ktevdtc)(k

12、tvdc)/ln(ln记记)/ln(,ln21vdakacy则则21atay一个实例一个实例4343数学实验之数据拟合实验目的 引 例拟合原理拟合函数软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束)(02.15),/1 (2347. 0lvhk9 . 3, 3 .225, 5 .3750DD)(4),(225),(3750hmgDmgD 取对数化为线性最小二乘,对结果有什么影响？一个实例一个实例4444数学实验之数据拟合实验目的 引 例拟合原理拟合函数软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束已知m个自变量一个因变量y的一组观测值(x1i, x2i, xmi,yi), i=1,2,n, 要确定

13、函数y=f(x1,x2,xm)，使得 2121min(,.,)niimiiiJf xxxy第一步：确定函数 的结构12(,.,)mf x xx第二步：通过最小二乘原理确定函数函数中的参数。 增加生产、发展经济的主要因素有增加投资、劳动力以及技术革新等，在研究国民经济产值与这些因素的数量关系时，由于技术水平不像资金、劳动力那样容易定量化，作为初步的模型，可认为技术水平不变，只讨论产值和资金、劳动力之间的关系。用Q，K，L分别表示产值、资金、劳动力，要寻求Q(K,L)。经过简化与分析，在经济学中，推导出一个著名的Cobb-Douglas生产函数： Q(K,L) = aKL， 0,1 （*）式中,，

14、a要由经济统计数据确定。根据表5-4所给的统计数据，估计,，a的值。例例 经济增长模型经济增长模型 课堂延伸：曲面拟合课堂延伸：曲面拟合4646数学实验之数据拟合实验目的 引 例拟合原理拟合函数软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束 t Q K L t Q K L1900 1.05 1.04 1.051901 1.18 1.06 1.081902 1.29 1.16 1.181903 1.30 1.22 1.221904 1.30 1.27 1.171905 1.42 1.37 1.301906 1.50 1.44 1.391907 1.52 1.53 1.471908 1.46 1.5

15、7 1.311909 1.60 2.05 1.431910 1.69 2.51 1.581911 1.81 2.63 1.591912 1.93 2.74 1.661913 1.95 2.82 1.68 1914 2.01 3.24 1.65 1915 2.00 3.24 1.62 1916 2.09 3.61 1.86 1917 1.96 4.10 1.93 1918 2.20 4.36 1.96 1919 2.12 4.77 1.95 1920 2.16 4.75 1.90 1921 2.08 4.54 1.58 1922 2.24 4.54 1.67 1923 2.56 4.58 1.8

16、2 1924 2.34 4.58 1.60 1925 2.45 4.58 1.61 1926 2.58 4.54 1.64例例 经济增长模型经济增长模型 4747数学实验之数据拟合实验目的 引 例拟合原理拟合函数软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束例：经济增长模型例：经济增长模型 数学模型该问题有两个自变量K，L和一个因变量Q，已知函数结构，如公式(1)所示，根据表中给定的数据(Ki, Li, Qi), i = 1,2,27, 确定未知参数,，a，使： 272, ,1min()iiiaiaK LQ 这是多元函数的拟合问题。 课堂延伸：曲面拟合课堂延伸：曲面拟合4848数学实验之数据拟合

17、实验目的 引 例拟合原理拟合函数软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束function Q=jingjizz( x, y)function Q=jingjizz( x, y)Q=x(1)Q=x(1)* *(y(1,:).x(2).(y(1,:).x(2).* *(y(2,:).x(3)(y(2,:).x(3)其中其中 x(1) = a; x(2) = ; x(3) = ; x(1) = a; x(2) = ; x(3) = ; Q=1.05 1.18 1.29 1.30 1.30 1.42 1.50 1.52 1.46 ; (略) y=1.04 1.06 1.16 1.22 1.27 ; 1.05 1.08 1.18 ; (略) x0=0.1,0.1,0.2; x=lsqcurvefit(jingjizz,x0, y,Q) k=0:0.1:3; l=k; K,L=meshgrid(k,l); Q= x(1)x(1)* *(K.x(2).(K.x(2).* *(L.x(3)(L.x(3); mesh(K,L,Q)例：经济增长模型例：经济增长模型 课堂延伸：曲面拟合课堂延伸：曲面拟合4949数学实验之数据拟合实验目的 引 例拟合原理拟合函数软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束例：经济增长模型例：经济增长模型 课堂延伸：曲面拟合课堂延伸：曲面拟合505