八年级数学探索勾股定理北师大

1、探索勾股定理一教学目标与要求：1经历探索勾股定理过程，发展合情推理能力，体会由特殊到一般及数形结合思想。2了解利用拼图验证勾股定理的方法。 3了解勾股定理的历史，了解勾股定理的广泛应用，体会勾股定理的文化价值。二. 重点与难点（一）重点1. 了解并掌握勾股定理，知道利用拼图验证勾股定理的方法。2. 运用所学勾股定理解决一些问题。 （二）难点1. 掌握好勾股定理并能运用勾股定理解决遇到的相关实际问题。2. 掌握好勾股定理的逆定理。3. 能熟练的区分勾股定理和勾股定理的逆定理。4. 能把勾股定理和勾股定理的逆定理运用于实际，解决实际问题。 三 教材分析通过观察、归纳、猜想探索勾

2、股定理及其逆定理，体验由特殊到一般地探索数学问题的方法；教材通过拼图的方法来验证勾股定理，尝试数形结合来解决数学问题的思想；通过运用勾股定理及其逆定理解决一些实际问题，学会从代数表示联想到有关的几何图形，再由几何图形联想到有关的代数表示，提高正确判定、合理推理的能力。四、学习资料1、关于勾股定理结论如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。注意：（1）由于我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，因此上结论被称为“勾股定理”。（2）勾股定理有着悠久的历史，古巴比伦和古中国人最早发现（看出）了这

3、个关系，古希腊毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系，因此，国际上称该结论为“毕达哥拉斯定理”（3）勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的性质。它把三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，体现了重要的数学思想-数形结合。（4）勾股定理不仅源于生活，同时又广泛应用于生活。2、关于勾股逆定理结论如果直角三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。（且C=90°）注意：（1）勾股定理是直角三角形的性质定理，而此结论是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，而且可以判定直角三角形中哪一个角为直

4、角，这种利用计算的方法来证明的方法，体现了数形结合的思想。（2）事实上，当三角形三边为a、b、c，且c为最大边时，若a2+b2=c2，则C为直角；若c2>a2+b2，则C为钝角；若c2<a2+b2，则C为锐角。（3）满足条件a2+b2=c2的三个整数，称为勾股数。常见的勾股数组有：3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 20、21、29； 9、40、41； 这些勾股数组的整数倍仍然是勾股数组。3、关于勾股定理的证明这里再介绍几种典型的利用拼图验证的方法：（1）赵爽的方法如图，由大正方形面积等于四个小直角三角形及中间一个小正方形面积之和，可得勾股定理。（2

5、）拼图的方法如图，由图1中两个小正方形的面积之和等于图2中的小正方形面积可得勾股定理。 （3）总统的方法如图，用两个全等的正方形纸板拼得，由梯形面积等于三个三角形面积之和可得勾股定理。（4）七巧板拼法利用两付同样大小的七巧板拼图，也能验证勾股定理。 四典型例题例1 已知：一个直角三角形的两边长分别是3cm和4cm，求：第三边的长。解：（1）已知的两边若是直角边，则第三边是斜边。根据勾股定理，斜边c2a2+b2=32+42=52所以第三边（斜边）的长为5cm。（2）已知的两边若一边是直角边、另一边是斜边，则较大的斜边，第三边就为另一条直角边。根据勾股定理：c2a2+b2，则b2=c2-

6、a2=42-32=17，所以第三边（直角边）的长为。答：第三边长是5cm或。点析：因为不清楚已知的两边是否全是直角边还是其中一条是斜边，所以在求第三边的长时，应考虑到分类进行，从而避免漏解。例2 如图，在ABC中，AB=15,BC=14,CA=13求BC边上的高AD。解：设CD=x，则BD=14-x，在RTABD和RTACD中，由勾股定理可得：(14-x)2+AD2=152和x2+AD2=132，两式相减，可得：(14-x)2- x2=56解之得：x =5在RTACD中，由勾股定理得：AD=12点析：ABC被高AD分成的两个直角三角形的直角边都是未知数，需在两个直角三角形中分别用勾股定理，构成

7、方程组，才能求得结果，这种方法在直角三角形的有关计算中是经常应用的。 例3 已知：如图，在ABC中，E=C=90°，AD是BC边上的中线，DEAB于E于，求证：AC2=AE2-BE2 证明：根据勾股定理，在RTACD中，AC2=AD2-CD2，在RTADE中，AD2=AE2+DE2，在RTBDE中，DE2=BD2-BE2AC2=AE2+DE2-CD2=AE2+BD2-BE2-CD2 又 BD=CD      AC2=AE2-BE2点析：证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理；若无直角三角形，则可通过作垂线的方法，构成直角三角形

8、，以便为运用勾股定理创造必要的条件。例4 如图，已知：ABC中，C=90°，点D是AC上的任意一点，请判断AB2+CD2与AC2+BD2的大小关系。分析：这里有两个直角三角形，结论又是平方形式，故考虑用勾股定理解：RtABC中，AB2=AC2+BC2, RtBCD中，CD2=BD2-BC两式相加得，AB2+CD2= AC2+BD2例5 如图，已知：AC平分BAD，CEAB于E，CFAD于F，CB=CD，（1）求证：BCEDCF；（2）若AB=21，AD=9，CB=CD=10，求AC。解：（1）由角平分线性质得CE=CF，由“HL”可证BCEDCF（2）由（1）可设BE=DF=x，则A

9、E=21-x，AF=9+x，易知ACEACFAE=AF，21-x=9+ x，x=6RtBCE中CE2=CB2-BE2=102-62=64，CE=8RtACE中，AC2=AE2+CE2=152+82=289，AC=17说明：在几何证明和计算中出现直角时，常考虑运用勾股定理。五、巩固练习1、 判断（1）若直角三角形的两边长分别为3cm、4cm，则第三边长为5cm。 （ ）（2）在直角三角形ABC中，a2+b2=c2。 （ ）（3）判断：若直角三角形中两直角边长为a、b，斜边长为c，斜边上的高为h，则。（ ）2、 选择（1）以面积为9m2正方形的对角线为边作一个正方形，其面积为（ ）（A）9m2 (

10、B)13m2 (C)18m2 (D)24m2（2）在RtABC中，若斜边，则 （ ） （A）2 （B）4 （C）8 （D）16(3). 把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边（    ）A. 扩大到原来的2倍             B. 扩大到原来的4倍  C. 不变             

11、            D. 减少到原来的2倍3、填空（1）已知ABC中，C=90°，若c=34，a:b=8:15，则a= ，b= .（2）如图，求下列直角三角形中未知边的长度 x= x= （3）若直角三角形两直角边长分别为3、4，则以斜边为直径的圆的面积为 。（4）若直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数，则其周长为 。（5）若三角形的三边长分别为9cm、12cm、15cm，则长为15cm的边上的高为 cm。（6）在RtABC中，C=90°，AC=3，BC=

12、8，则BC边上的中线AD的长为 。4、解答：（1）如图是水上乐园的一滑梯，AD=AB，若高BC=4cm，CD=2cm ,求滑道AD的长。 （2）A、B、C、D四个住宅小区位置如图所示，已知：AB=0.5km，AD=1.2km，CD=0.9km，现要建一个公交总站，使它到四个小区路程和最短， 请在图上画出车站的位置，并说明为什么； 求这个最小的路程和。（3）如图，已知矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，将纸片折叠，使点A与点C重合，求折痕EF长。（4）已知ABC中，AB=7，BC=6，AC=4，AD、AE分别为BC边上的高和中线，求DE的长。六、中考题选做图312cm1、沈阳市某中学举办校园

13、文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案我的宝贝。图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作半圆(如图3)，则图中阴影部分的面积为( )A、36cm2B、72cm2C、36cm2D、72cm2答案:D2、已知：在等腰梯形ABCD中，AD/BC, 对角线ACBD, AD=3cm, BC=7cm。则梯形的高是 cm。(2004年青岛市中考数学试题)答案:53.如图5,在长方形ABCD中,E为BC的中点,F在A B上,且.则四边形AFEC的面积为_.答案:2七、参考答案1（1）错 （2）错 （3）对2（1）C （2）C (3)A3（1）16,30 （2）15,8（3）6.25 （4）24 （5）7.2 （6）5 4(1) 过点D作AB的垂线段DE，构成直角三角形ADE，由勾股定理易得AD=5cm （2）连结