2022年-学年高中数学人教A版选修4-5名师精编学案：第一讲不等式和绝对值不等式优化总结Word版含解析

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -名校名师举荐本讲优化总结, 同学用书P20不等式性质的应用同学用书P20利用不等式的性质判定不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值或代数式大小的比较，常用到分类争论的思想“a c b d”是“ a b 且 c d”的 A 必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析 】易得 ab 且 cd 时必有 a c bd.如 a cb d 时， 就可能有a b 且cd.【答案 】A假如 a R，且 a2 a 0，那么 a， a2， a， a2 的大小关系是 A a2 a a2 aB a

2、a2 a2 aC a a2 a a2D a2 a a a2解析： 选 B. 由 a2 a 0 知 a 0，故有 a a20， 0 a2 a.应选 B.基本不等式的应用同学用书P20在利用基本不等式求函数最值时，肯定要满意以下三个条件： x、y 为正数 “和”或“积”为定值等号肯定能取到，这三个条件缺一不行此方法可以推广到三个及三个 以上正数的均值不等式求函数最值对于满意正数定值两个条件，运用基本不等式后等号不能取到的，该方法无效，这时应改用函数单调性求最值或值域函数 y x 123 2x 1 x32的最大值为 【解析 】由于 1 x 3，2所以 3 2x 0，x 1 0，3所以y x1 23

3、2x x1 x 13 2x x1 x 13 2x 1333 1 ， 当且27仅当 x 143x 13 2x， 即 x 1，时， y 取得最大值1 .32271精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -名校名师举荐【答案 】127如 a， b， c0，求证： a2 b2 c2 1a11b c2 63.证明： 由于 a，b， c 0，所以 a2 b2 c2 3 3 a2b2 c2， 又1113bc 3 a111 2（ abc） 12，3所以ab c

4、 9（ abc）， 222211132 2 23 2a b c 3 abca b c 9（ abc） 23× 963， 当且仅当a b c时等号成立肯定值不等式的解法 同学用书P211 公式法|f x|>gx. fx>g x或 fx< gx；|f x|<gx. gx<fx<gx|ax b|<c 和|ax b|>cc>0型不等式用此方法求解2 平方法|f x| >|gx|. fx2> gx 2.|ax b|>|cx d|和|ax b|<|cx d|型不等式用此方法求解3 零点分段法含有两个及两个以上肯定值符号

5、的不等式，可先求出访每个含肯定值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成如干个区间，争论每一个肯定值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含肯定值的不等式去解|xa| |x b|>c 和 |x a| |xb|<cc>0 型不等式可用此方法求解 2021 ·高考全国卷乙已知函数fx |x 1| |2x 3|.1画出 y fx的图象；2求不等式 |fx| 1 的解集解： 1fxx 4，x 1，3x 2， 1 x 3，2，x 4， x 32y fx 的图象如下列图2精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2

6、 页，共 5 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -名校名师举荐2由 f x的表达式及图象， 当 fx1 时， 可得 x 1 或 x 3；当 fx 1 时，可得 x 1或3x 5，1故 fx 1 的解集为 x|1 x 3 ； fx 1 的解集为x|x 3或x 5 .3所以 |fx| 1 的解集为x|x 1或1 x 3或x5 .解以下关于x 的不等式： 1|x 1|>|x 3|； 2|x 2| |2x 5|>2x.解： 1法一： |x 1|>|x 3|，两边平方得 x 12 >x 32， 所以

7、8x>8， 所以 x>1，所以原不等式的解集为 x|x>1 法二： 分段争论：当 x 1 时， 有 x 1>x 3， 此时 x .； 当 1<x 3 时，有 x 1>x 3，即 x>1，所以此时1<x 3；当 x>3 时， 有 x 1>x 3 成立 ， 所以 x>3.综上知原不等式的解集为 x|x>1 52分段争论： 当 x<时， 原不等式变形为22 x2x 5>2 x，解得 x<7，5所以解集为x x< 2 .5当 x 2 时，2.原不等式变形为2 x 2x5>2 x， 解得 x< 3

8、553所以解集为x 2 x<5 .当 x>2 时， 原不等式变形为x 2 2x 5>2 x，解得 x<7， 所以原不等式无解33综上可得 ， 原不等式的解集为x x< 5 .不等式中的恒成立问题同学用书P21对于不等式恒成立求参数范畴问题，常见类型及其解法如下：1分别参数法运用“ fx a. fxmax a， fx a. fxmin a”可解决恒成立中的参数范畴问题2更换主元法不少含参不等式恒成立问题，如直接从主元入手特别困难或不行能时，可转换思维角度，3精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - -

9、- - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -名校名师举荐将主元与参数互换，常可得到简捷的解法3数形结合法在争论曲线交点的恒成立问题时，如能数形结合， 揭示问题所包蕴的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观地解决问题设函数 fx |x 1| |x 4|a.1当 a 1 时，求函数fx的最小值；42如 f x a1 对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范畴【解】1当 a 1 时，fx |x1| |x 4| 1 |x 14 x| 1 4， 所以 fx min 4.42fx 1 对任意的实数x 恒成立a·. |x 1| |x 4| 1

10、a 当 a0 时， 上式成立；4对任意的实数x 恒成立 . a a4 4. a当 a0 时， a4a2a 4 4， a，当且仅当 a 4即aa 2 时上式取等号， 此时 a44 成立a综上 ，实数 a 的取值范畴为 ， 0 2 已知函数fx |x 1|， gx |x 3| a， a R.1解关于 x 的不等式gx 6；2如函数 y 2fx的图象恒在函数y gx的图象的上方，求实数a 的取值范畴解： 1 |x 3| a 6， 即|x 3| a 6，当 a6 时无解；当 a 6 时， 由 a 6 x 3a 6， 得 3 a x a 9.故不等式的解集为3 a， a9 2函数 y 2fx的图象恒在函

11、数ygx的图象的上方 ，故 2fx gx 0，等价于 a 2|x1| |x 3|.设 hx 2|x 1| |x 3| 3x1， x 3， 5 x， 3 x1，3x 1， x 1.依据函数 hx的单调减区间为 ， 1 ， 增区间为 1， ，可得当 x 1 时，hx取得最小值4.所以当 a 4 时， 函数 y2fx的图象恒在函数y gx的图象的上方1已知集合A x|x2 5x 6 0 ，集合 B x|2x 1| 3 ，就集合A B 等于 A x|2 x3B x|2x<3C x|2 x 3D x| 1 x 3解析： 选 C. A x|2 x 3 ， B x|x 2 或 x 1 所以 A B x

12、|2 x 3 2如 0<x<21 2x有1，就函数y x2A 最小值1127B最大值 27C最小值 13解析： 选 B. 由于D最大值 13<0<x 1， 所以 x>0， 1 2x>0，24精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -名校名师举荐所以 yx2 12xx·x12x2x 1 2x33 1 ，27时当且仅当 x 12x， 即 x 1，3ymax 1 .273不等式 |2x 4| |3x 9|

13、 1 的解集为 解析： 当 x 2 时， 原不等式等价于2x 4 3x 9 1， 解得 x 14， 所以 x 2；当 3 x 2 时， 原不等式等价于2x 4 3x 9 1， 解得x x2；66， 所以55当 x 3 时，原不等式等价于2 x 4 3x 9 1，解得 x 12，所以 x 12.综上可知 ， 原不等式的解集为 ， 12 6答案： ， 12 5，4设函数f x |xa| 3x，其中 a 0.1求当 a 1 时，不等式f x 3x2 的解集6， . 52如不等式fx 0 的解集为 x|x 1 ，求 a 的值解： 1当 a1 时， fx 3x 2 可化为 |x 1| 2.由此可得 x 3 或 x 1.故不