专题19最值问题

1、专题 19最值问题阅读与思考在实际生活与生产中， 人们总想节省时间或费用， 而取得最好的效果或最高效益， 反映在数学问题上，就是求某个量的和、差、积、商的最大值和最小值，这类问题被称之为最值问题，在现阶段，解这类问题的相关知识与基本方法有：1、 通过枚举选取 .2、 利用完全平方式性质.3、 运用不等式（组）逼近求解.4、 借用几何中的不等量性质、定理等.解答这类问题应当包括两个方面，一方面要说明不可能比某个值更大（或更小），另一方面要举例说明可以达到这个值，前者需要详细说明，后者需要构造一个合适的例子.例题与求解【例 1】 若 c 为正整数，且abc ， bcd ， dab ，则（ ab ）

2、（ bc ）（ cd ）（ da ）的最小值是.（北京市竞赛试题）解题思路 ：条件中关于 C 的信息量最多，应突出C 的作用，把 a， b， d 及待求式用 c 的代数式表示 .【例 2】 已知实数 a， b 满足 a2b21 ，则 a4ab b4的最小值是（）1B.0C.1D.9A.88(全国初中数学竞赛试题 )解题思路 ：对 a4ab b4 进行变形，利用完全平方公式的性质进行解题.【例 3】 如果正整数 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 满足 x1x2x3x4x5 = x1 x2 x3x4 x5 ，求 x5 的最大值 .解 题 思 路 ： 不 妨 设 x1 x2x3x4x5，

3、由题中条件可知11111=1.结合题意进行分析 .x2 x3 x4 x5x1 x3 x4 x5x1x2 x4 x5x1x2 x3 x5x1x2 x3 x4【例 4】 已知 x, y, z都为非负数，满足xyz1 ， x2 y3z4 ，记 w3x2 yz ，求 w 的最大值与最小值.（四川省竞赛试题）解题思路 ：解题的关键是用含一个字母的代数式表示w .【例 5】 某工程车从仓库上水泥电线杆运送到离仓库恰为1000 米的公路边栽立，要求沿公路的一边向前每隔100 米栽立电线杆一根，已知工程车每次之多只能运送电线杆4 根，要求完成运送 18 根的任务，并返回仓库，若工程车每行驶1 千米耗油 m 升

4、（在这里耗油量的多少只考虑与行驶的路程有关，其他因素不计）.每升汽油n 元，求完成此项任务最低的耗油费用.（湖北省竞赛试题）解题思路 ：要使耗油费用最低，应当使运送次数尽可能少，最少需运送5 次，而5 次又有不同运送方法，求出每种运送方法的行驶路程，比较得出最低的耗油费用.【例 6】 直角三角形的两条直角边长分别为5 和 12，斜边长为13， P 是三角形内或边界上的一点，P 到三边的距离分别为d1 ，d2 ，d3 ，求 d1 + d2 + d3 的最大值和最小值， 并求当 d1 + d2 + d3取最大值和最小值时，P 点的位置 .（“创新杯”邀请赛试题）解题思路 ：连接 P 点与三角形各顶

5、点，利用三角形的面积公式来解.能力训练A级1.社 a，b，c 满足 a2b2c29，那么代数式 (ab)2(b c)2( ca)2 的最大值是.（全国初中数学联赛试题）2.在满足 x 2 y3, x0, y0的条件下， 2xy 能达到的最大值是.（“希望杯”邀请赛试题）3.已知锐角三角形ABC 的三个内角A，B，C 满足A BC.用表示A-B ，B-C ，以及90-A中的最小值，则的最大值是.（全国初中数学联赛试题）4.已知有理数a，b， c 满足a b c，且a+b+c=0 ，.那么c的取值范围是.a（数学夏令营竞赛试题）5.在式子x1x2x3x4中，代入不同的x 值，得到对应的值，在这些对

6、应的值中，最小的值是（） .A.1B.2C.3D.46.若 a，b，c，d 是整数，的最大值是（） .b 是正整数， 且满足bcd ， dca ， bac ，那么abcdA.-1B.-5C.0D.1( 全国初中数学联赛试题)7.已知 x y a, zy 10, 则代数式 x2y2z2xy yz xz 的最小值是（）.A.75B.80C.100D.105(江苏省竞赛试题)8.y， z 均为非负数，且满足x y z=30，3xy z 50，又设M5x 4 y 2Z，已知 x ，则 M 的最小值与最大值分别为（） .A.110 ，120B.120 ， 130C.130 ， 140D.140 ， 1509.x ，y， z 满足x 12 yz 3，记w3x 4 y 5z .已知非负实数求 w 的最大值和最小234值（“希望杯”邀请赛试题）10.某童装厂现有甲种布料38 米，乙钟布料26 米，现计划用这两种布料生产L ， M 两种型号的童装共 50 套，已知做一套L 型号的童装需用甲种布料0.5 米，乙种布料1 米，可获利