三角函数知识点汇总

1、考点二、弧度制1 .弧长公式与扇形面积公式：弧长/=|回,扇形面积品j形=?,='/囱其中是圆的半径,a是弧所对圆心角的弧度数.222 .角度制与弧度制的换算：180 =4：V=rad«0.01745rad；rad=°«57.300=5718'180n要点诠释：要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式.考点三、任意角的三角函数1 .定义：在角a上的终边上任取一点Px,记/=|OP|=J7寿nilvxyxrrWiJsina=ycoscr=,tana=,cota=,seca=,esca=rrxyxy2 .三角函数线：如图,单位圆中的有向线段M

2、P,OM,AT分别叫做a的正弦线,余弦线,正切线.3 .三角函数的定义域：y=sina,y=cosa的定义域是aeR；y=tana,y=seca的定义域是aak+,keZ：y=cota,y=csca的定义域是alawk/r,攵eZ.24 .三角函数值在各个象限的符号：考点四、同角三角函数间的根本关系式1 .平方关系：sin2a+cos2a=1;sec2a=1+tan2a;esc2a=1+cot2a.、,/sinacosa2 .冏数关系：tana=;cota=.cosasina3 .倒数关系：tanacota=1;sinaesca=1;cosa-seca=1要点诠释；同角三角函数的根本关系主要用

3、于：1某一角的三角函数,求其它各三角函数值；2证实三角恒等式：3化简三角函数式.三角变换中要注意“1的妙用,解决某些问题假设用“1代换,如l=sia+cos2a,l=sec2a-tan2a=tan45=.,那么可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法、消去法及方程思想的运用.考点五、诱导公式1. 2k*akwZ,一a,4土a,2/ra的三角函数值等于a的同名三角函数值,前面加上一个把a看成锐角时原函数值所在象限的符号.2. -±a,二的三角函数值等于a的互余函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值所在22象限的符号.要点诠释：诱导公式其作用主要是将三角函数值转化为.90.角的

4、三角函数值,本节公式较多,要正确理解和记忆,诱导公式可以用“奇变偶不变,符号看象限奇、偶指的是巳的奇数倍、偶数倍这个口诀进行2记忆.同角三角函数根本关系式和诱导公式【知识网络】【考点梳理】考点一、同角三角函数根本关系式1.平方关系：sin2a+cos2a=1;sec2a-=1+tan2a;esc2a=l+cot2a2.商数关系：sinafnnci一cosacotCi-cosasina3.倒数关系：tanacota=1;sinaesca=1;cosaseca=1要点诠释：同角三角函数的根本关系主要用于：1某一角的三角函数,求其它各三角函数值：2证实三角恒等式：3化简三角函数式.三角变换中要注意“

5、1的妙用,解决某些问题假设用“1代换,如l=siifa+cos2a,1=sec2a-tan2a=tan45=.,那么可以事半功倍:同时三角变换中还要注意使用“化弦法、消去法及方程思想的运用.考点二、诱导公式sin(/r+a)=-sina,cos(4+.)=-cosa,tan(7r+a)=tana.sin(a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana.sin(4一a)=sina,cos(乃-a)=-cosa.tanQr.)=-tana.sin(-a)=cosa,2sin(+a)=cosa.sin(cos(y-tz)=sina.-cosa,sin(-+a)=-cosa,-

6、sina.cos(-+a)=sina.要点诠释:1两类诱导公式的记忆,经常使用十字口决：“奇变偶不变,符号看象限工“奇变是指所涉及的轴上角为:的奇数倍时包括4组：-±a,江±.函数名称变为原来函数222的余函数：其主要功能在于改变函数名称.“偶不变是指所涉及的轴上角为的偶数倍时包括5组：2k九+a、1乃±12笈一a,函数名称不变,其主要功能在于：求任意角的三角函数值,化简及某些证实问题.2诱导公式的引申：sink/r+a=-1'sina,cosk冗+a=-1/cosa,tank/r+a=tana.keZ3正弦、余弦的图象和性质【知识网络】正弦函数的图象与性

7、质余弦函数的图象与性质正切函数的图象与性质应用角数图与质三函的象性【考点梳理】考点一、“五点法作图在确定正弦函数,=4门在0,21上的图象形状时,最其关键作用的五个点是0,0,37t巴0,-,-12/r,0考点二、三角函数的图象和性质名称y=sinxy=cosxy=tanx定义域xeRxeRxxk7t+.keZ2值域-14-U(-co,4-qo)图i10i1y加/I;象o£Z2九：/I-/：奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性单调增区间：2攵4(keZ)22单调减区间：2A/Td,2k7TH22keZ)单调增区间：2Z万一,2k乃A£Z单调减区间：AeZ2k.2k+keZ单调增区

8、间：K7：次乃+一22keZ周期性T=2tt7=24T=4对称性对称中央:(k4,keZ对称轴：x=+keZ2对称中心：女7T4,0,AeZ2对称轴：x=k九、keZ对称中k九心:,0,女£Z2对称轴：无最值x=2kz+,kez时,2y*=1:x=2k7T+二,kez时,23min=Tx=2k九,kez时,>max=1；x=2k冗+时,>mm=T无要点诠释:三角函数性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、最大值和最小值、对称性等,要结合图象记忆性质,反过来,再利用性质稳固图象.三角函数的性质的讨论仍要遵循定义域优先的原那么,研究函数的奇偶性、单调性及周期性都要考虑函

9、数的定义域.研究三角函数的图象和性质,应重视从数和形两个角度熟悉,注意用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题.考点三、周期一般地,对于函数/X,如果存在一个不为0的常数T,使得当X取定义域的每一个值时,都有fx+T=fX,那么函数/.就叫做周期函数,非零常数丁叫做这个函数的周期,把所有周期中存在的最小正数,叫做最小正周期函数的周期一般指最小正周期.要点诠释：应掌握一些简单函数的周期：函数y=4§E8+0或丁=Acos5+°的周期T=:：同函数y=Atansr+cp的周期T=,；函数,=|sinx|的周期丁=九：网函数y="mx|的周期丁二江.三角函数的性质及其应

10、用【知识网络】【考点梳理】考点一、函数,=Asini+eA>0,6y>0的图象的作法1 .五点作图法：作,=44.5+.的简图时,常常用五点法,五点的取法是设,=5+.,由/取0、£、4、：笈、4乙24来求相应的x值及对应的y值,再描点作图.2 .图象变换法：1振幅变换:把y=sinx的图象上各点的纵坐标伸长A>1或缩短OA<1到原来的A倍横坐标不变,得到y=4sinx的图象；2相位变换：把y=Asinx的图象上所有点向左夕>0或向右夕0平行移动p个单位,得到y=Asinx+p的图象：3周期变换:把y=Asinx+0的图象上各点的横坐标缩短21或伸长0&

11、lt;3<1到原来的,倍纵co坐标不变,可得到,=4sin5+0的图象.4假设要作y=Asinx+夕+,可将y=Asinx+p的图象向上b>0或向下<0平移回个单位,可得到y=4sin(x+8)+的图象.记忆方法仍为“左加右减,上正下负,纵伸(A>1)横缩(31)二要点诠释：由,=$足入的图象利用图象变换作函数y=Asin(Gx+e)的图象时要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象沿x轴的伸缩量有区别.考点二、y=4sin(0x+.)的解析式1 .y=Asn(cox+(p)的解析式y=Asin(ox+0)(A>0,g>0),xw0,+s)表示

12、一个振动量时,A叫做振幅,7=三叫做周期,CD/=1=名叫做频率,0工+夕叫做相位,x=0时的相位?称为初相.T2)2 .根据图象求.¥=Asin(d?x+)的解析式求法为待定系数法,突破口是找准五点法中的第一零点(-£,0).co求解步骤是先由图象求出4与丁,再由手算出口,然后将第一零点代入5+8=0求出要点诠释：假设图象未标明第一零点,就只能找特殊点用待定系数法计算.考点三、函数,v=Asin(6+/)(A>0,.>0)的性质1 .定义域：入£k,值域:y£-A,A.2 .周期性：T=co3 .奇偶性：°=攵汗+£时为

13、偶函数：0=攵)时为奇函数,keZ.2乃乃2k九(p2ktt+(p4 .单调性:单调增区间：Z-,Z一,keZcoco2k兀+-<p2k兀+-(p单调减区间：Z-,Z,keZcoco,7t卜_K7T+(p5 .对称性:对称中央(0,0),AeZ：对称轴x=5,keZcoco乃2k冗吟(p6 .最值：当0x+8=2k/r+即工=时,y取最大值A2coc/兀n2攵*5-8当x+(p=2k九即工=时,y取最小值-A.(A:eZ).2CD要点诠释：求周期、单调区间、最值时一般先将函数式化为y=4sin/x+.,要特别注意A、.的正负,再把血看作一个整体,并结合根本三角函数的图象和性质解出即可：利

14、用单调性比拟三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；整体代换和数形结合是三角函数学习中重要的思想方法,在学习中,很多三角函数的问题都是通过整体代换并观察根本三角函数的图象而得到的.三角函数的最值与综合应用【知识网络】【考点梳理】考点一、三角函数的最值求三角函数的值域,除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外,结合三角函数的特点,还有如下常用方法：1 .涉及正、余弦函数以及4弦ne+以cos6=+从sinJ+夕,其中tane=2,都可以考虑利用有界a性处理.2 ,y=4sin°x+/?sinxcosx+cos2x+C型,经过降次、整理,D得到,=4仙12工+3852工+.=

15、,72X+夕+.,其中皿夕=一,再利用有界性处理.A3 .形如y=asin2x+Z?sinx+c或y=6/cos2x+sinx+c的函数求最值时都可以通过适当变换,通过配方来求解.4 .形如sinx±cosx,sinxcosx在关系式中时,可考虑换元法处理,如令,=sinx+cosx,那么t2_1sinx-cosx=,把三角问题化归为代数问题解决.25 .形如y="smV+型的函数的最值,可考虑数形结合常用到直线斜率的几何意义.bcosx+d6 .形如x+幺型或能确定所给函数在某些区间上单调,可考虑利用单调性求解.x要点诠释：三角函数的最值问题,其本质是对含有三角函数的符合

16、函数求最值,因此求函数最值的方法都能使ffl.当然也要掌握上述的特殊的方法.考点二、y=Asin(公r+p)(A>0,<y>0)的性质1 .定义域：xeR,值域:y£-A,A.2 .周期性：T=co3 .奇偶性：/=攵江+1时为偶函数：0=攵；r时为奇函数,keZ.2k九一一一2k兀+_一夕4 .单调性:单调增区间：Z-,Z一,keZcoco2k兀+-(p2k兀+-(p单调减区间：Z-,keZcocof7C._k兀+(p5 .对称性:对称中央(然二,0),AeZ：对称轴x=5一,keZcoco汽2k+-(p6 .最值：当s+°=2k;r+即工=时,y取最大

17、值A2co乃2k一(p当.x+°=2攵乃一一即工=时,y取最小值-A.(AeZ).2CD要点诠释：求三角函数的单调区间、周期,及判断函数的奇偶性,要注意化归思想的运用,通过恒等变换转化为根本三角函数类型,注意变形前后的等价性.考点三、用三角函数解决一些简单的实际问题三角函数的知识产生于测量、航海和天文学,还在机械制造、电工学、物理学等学科中有着广泛的应用.对于测量中的问题,要理解有关仰角、俯角、方位角、方向角的概念：对几何问题,特别是立体几何中的问题,要依据题意,画出示意图或立体直观图,将问题归结到三角形中去处理.一般情况下,只要构成三角形就可直接应用三角函数的概念和解三角形的知识解

18、决问题,对于一些较为复杂的应用题那么需综合应用代数、立体几何或解析几何知识来解.此外,有些应用题在解答过程中使用三角代换可以简化解题过程,使对数值的处理更为方便.三角恒等变换【知识网络】【考点梳理】考点一、两角和、差的正、余弦公式sin(a±尸)=sinacosp±cosasinp(5(a±/;)cos(a±p)=cosacosp+sinasin夕(Cg±.)tan(<z±/7)=tan±tan1-tancrtanp力士.)要点诠释:1 .公式的适用条件定义域：前两个公式Sg+m,Go+m对任意实数.,B都成立,这说明

19、该公式是R上的恒等式：公式中0.夕£凡且.、尸、a±/wg+kkeZ22 .正向用公式Sg±m,士,能把和差角a±/7的弦函数表示成单角a,B的弦函数；反向用,能把右边结构复杂的展开式化简为和差角2±/的弦函数.公式4.士心正向用是用单角的正切值表示和差角a±尸的正切值化简.考点二、二倍角公式1.在两角和的三角函数公式Sg.m,GA6,7；Am中,当a=/?时,就可得到二倍角的三角函数公式sin2a=2sinacosa_(S2a)；cos2a=cos?a-sin2a(C2er)；tan2a=1-tan2a要点诠释:1 .在公式S,.“中,角a没有限