幂等矩阵的性质研究

1、滨州学院毕业设计（论文） 题 目幂等矩阵的性质研究系 （院）数学系专 业数学与应用数学班 级2010级1班学生姓名崔世玉学 号1014070124指导教师田学刚职 称 讲师 二一四年六月十日独 创 声 明本人郑重声明：所呈交的毕业设计(论文)，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本设计（论文）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本声明的法律后果由本人承担。  作者签名： 二一四年 月 日  毕业设计（论文）使用授权声明

2、本人完全了解滨州学院关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定。本人愿意按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版，同意学校保存学位论文的印刷本和电子版，或采用影印、数字化或其它复制手段保存设计（论文）；同意学校在不以营利为目的的前提下，建立目录检索与阅览服务系统，公布设计（论文）的部分或全部内容，允许他人依法合理使用。（保密论文在解密后遵守此规定） 作者签名： 二一四年 月 日幂等矩阵的性质研究摘要幂等矩阵是一类非常特殊的矩阵，不仅在矩阵论中有着重要的应用，而且在其它许多领域也有广泛的应用.本文的主要内容是探讨幂等矩阵性质及其应用，首先对幂等矩阵性质进行分析整理并作简单的推广；然后利

3、用分类讨论的思想研究幂等矩阵线性组合的幂等性，在一定条件下给出3个幂等矩阵的线性组合幂等的充要条件；最后研究幂等矩阵的线性组合的可逆性，给出其可逆的具体刻画.本文研究内容能够丰富幂等矩阵的相关结论，有利于矩阵在其它领域的应用。关键词: 幂等矩阵；线性组合；可逆矩阵；矩阵的秩Research on the properties of idempotent matrix AbstractIdempotent matrix is a very special class of matrices, which having important applications not only in matr

4、ix theory, but also in many other fields .The main content of the paper is to investigate the properties of idempotent matrix and its application.Firstly, the properties of idempotent matrix are analyzed and promoted.By using the category talk and the idempotent matrix idempotency of linear combinat

5、ions.In some conditions three idempotent matrices the necessary and sufficient conditions in which the linear combination is also idempotent are given.The last research idempotent matrix of the linear combination of reversibility, gives its reversible specific features.In this paper, the research co

6、ntent to enrich the idempotent matrix related conclusions, which is helpful for the application of matrix in other areas.Key words: idempotent matrix; linear combination; invertible matrix;rank matrix I滨州学院本科毕业设计（论文） 目 录第一章 幂等矩阵的概述11.1研究背景11.2基本概念介绍2第二章 幂等矩阵的性质42.1幂等矩阵的主要性质42.2幂等矩阵的等价命题7第三章 幂等矩阵线性组合

7、的幂等性123.1 3个幂等矩阵线性组合的幂等性123.2 3个立方幂等矩阵的线性组合的幂等性14第四章 幂等矩阵线性组合的可逆性164.1 幂等矩阵线性组合的可逆性164.2 三个三次幂等矩阵的线性组合的可逆性问题18小结20参考文献21谢辞22 滨州学院本科毕业设计（论文）第一章 幂等矩阵的概述1.1研究背景 幂等矩阵是矩阵中非常特殊的一类矩阵，也是非常重要且非常常见的一类矩阵，很多其他特殊矩阵都与幂等矩阵有着密切的联系，如对合矩阵及投影矩阵.幂等矩阵在数学领域及其他许多领域的应用都非常广泛，幂等矩阵更是矩阵论中的一个基础部分，幂等矩阵在可对角化矩阵的分解中具有重要作用.近年来有关此问题的

8、研究吸引了国内外许多研究学者的关注，关于幂等矩阵的研究已经成为矩阵论中的活跃的研究领域.幂等矩阵在研究广义逆矩阵中占有非常重要的位，研究幂等矩阵的性质是研究其他特殊矩阵的基础.广义逆的思想可追溯到1903年(E.) i. Fred Holm的工作，他讨论了关于积分算子的一种广义逆(他称之为伪逆)。1904年，D. Hilbert broadly在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。而任意矩阵的广义逆定义最早是由E.H. Moore在1920年提出的，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上.当时人们对此似乎很少注意。这一概念在以后30年中没有多大发展.曾远荣在1933年，F.J.

9、Murray 和J. von Neumann在1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆作过讨论。T.N.E. Greville, C.R. Rao和其他人也作出了重要的贡献.1955年，Penrose证明了存在唯一的满足前述性质，并以此作为的定义.1956年，R. Colorado证明了彭罗斯定义的广义逆与穆尔定义的广义逆是等价的，因此通称为穆尔-彭罗斯广义逆矩阵。幂等矩阵是国内外学者都非常感兴趣的一类矩阵，如文1中研究了幂等矩阵的可对角化性质，证明了幂等矩阵是可对角化的；文2研究了幂等矩阵的伴随矩阵的幂等性等等。本文在接下来的章节中，我们将先给出幂等矩阵的定义及几个简单命题，并证明.然后给

10、出幂等矩阵的一系列性质，在前人的基础上进行总结以及推广，并进行证明。再给出幂等矩阵的等价命题，并给出证明。然后讨论幂等矩阵的线性组合的相关性质并对幂等矩阵进行深入研究。1.2 幂等矩阵的概念 定义1.1 若有性质, 则称为幂等矩阵. 为了更好地了解幂等矩阵, 现在来看以下几个命题: 引理1.1 若阶方阵是幂等矩阵, 则与相似的任意n阶方阵是幂等矩阵. 证明 设(即矩阵与矩阵相似),则使得且 , 又 ,所以 ，所以是幂等矩阵. 定理1.1也可以表述为: 若是幂等矩阵, 则对于任意可逆阵, 也 为幂等矩阵. 引理1.2 若阶方阵是幂等矩阵, 则的转置, 的伴随矩阵及 都是幂等矩阵. 证明 , 即为

11、幂等矩阵;对, 先证明对任意两个幂等矩阵, 有关系式. 由公式有: 矩阵的第行第列的代数余子式 所以, ，对, 有 . 引理1.3 若是幂等矩阵, 的次幂仍是幂等矩阵.证明 可用数学归纳法证明. 当时, 显然成立.假设当时, 命题成立, 现考虑情形: ，即当时命题仍成立, 由数学归纳法知, 对任意命题都成立.第二章 幂等矩阵的性质2.1 幂等矩阵的主要性质性质2.1 矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵. 证明 由和的定义可知命题成立. 性质2.2 幂等矩阵满足: . 证明 , . 性质2.3 若矩阵均为幂等矩阵, 且, 则与也是幂等矩阵. 证明 ,同理, 也是幂等矩阵. 性质2.4 若幂等矩阵可逆,

12、则.证明 因为.所以. 性质2.5 幂等矩阵的特征值只能为0或1. 证明 设是幂等矩阵, 即, 再设的特征值为, 则(由特征值的性质), 故. 由这个性质可以知道幂等矩阵是半正定矩阵. 性质2.6 幂等矩阵可对角化. 证明 设是幂等矩阵, 为的最小多项式, 由性质2.5知:或或,最小多项式是互素的一次因式的乘积, 从而可对角化.另证明 当(即)时, 显然成立.当时, 的特征值全为0, 1. 的属于1的特征子空间的维数等于齐次线性方程组的解空间的维数. 属于0的特征子空间的维数等于齐次线性方程组的解空间的维数.由幂等矩阵的性质有 故可对角化, 设, 则由幂等矩阵的性质得, 因此的相似标准型为.

13、性质2.7 若是幂等矩阵, 则, 是可逆矩阵.证明 因为，所以,又因为, 所以,故可逆, 且. 性质2.8 幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩, 即.证明 设分别为A 的特征值及其相应的特征向量, 于是有: ,从而有. 由此可推得结果. 性质2.9 若满足, 则是幂等矩阵. 证明 设的基础解系为(其实它们都是特征值0的特征向量), 再设的基础解系为(它们都是特征值为1的特征向量), 且, 设矩阵(可逆)满足, 而是幂等矩阵, 故也是幂等矩阵. 例2.1 设都是幂等矩阵, 且, 证明是幂等矩阵. 证明 由题意可知, 且, 于是: . 例2.2 设为阶幂等矩阵, 且, .证明 (1) 若则或. (2)

14、若则或.证明 (1) , 由题设知, 则有 . 对上式两边同乘于得.移项得 .从而有, 即或.同理可证. 例2.3 设是阶实对称阵, 且, 证明正交矩阵,使得. 证明 设是属于的特征向量, 那么,，又, 从而,但，所以，故或0，(由幂等矩阵的性质也可以得知), 故的特征值不是0就是1. 故正交矩阵,使得(可由特征向量构造, 将转化为标准型即为所求).2.2 幂等矩阵的等价命题幂等矩阵的等价命题在实数域内与复数域内基本是一致的, 故在此只考虑幂等矩阵在实数域内的等价命题.定理2.1 以下命题等价:（1） ; （2） , ;（3） ; （4） ;（5） , ; （6） , ;（7） , ;（8）

15、;（9） 非奇异矩阵, , 其中. 证明 （1）、（2）、（3）的等价性是易证的.（1）（4）因为, 由性质5知, 的特征值只能为0或1,即为对应特征值1的特征子空间.所以. （1）（5） “” 因为，所以.故的列向量都满足.从而,又, 有 .由的任意性可知.综上, . “” 对有,即.于是有.由的任意性得. 同理可证. （1）（6） 若, 即对某两个成立, 则, 故.同理可证后面一个式子，从而（4）成立. 反之, 若（6）成立, 则对任一, 有 是的唯一分解. 但又有唯一分解 ,又，于是对任何成立着, 从而. （6）（7） 注意到对任何成立, 故总有, 故(vi)与(vii)等价. （7）（

16、8） 总是成立的. 由维数公式知 .由性质2.8可知, 若, 则. 另外, 利用矩阵的满秩分解, 我们可以具体的找出(ix)中的变换阵. 设,均为满秩分解, 则有,且均为方阵. 从而，由此可知, , , .于是可证明. 从此式还可以看出, 与的列向量分别是的属于特征值1与0的特征向量. 最后,矩阵的满秩分解可用来判定幂等性: 若是满秩分解, 则当且仅当. 另一方面, 常用此特殊性来构造幂等矩阵. 下面给出几个构造幂等矩阵的定理: 定理2.2 设非零列向量, 则阶矩阵为幂等矩阵.证明 “”因为,所以,即,从而,因为, ,因此, .“”因为, 所以 .推论2.1 令, 其中: 为非零列向量. 若,

17、 则阶方阵不可逆.证明 设可逆, 则由幂等矩阵的性质可知, 当时, 由定理2.2可知为幂等矩阵,即,但, 所以, 得,与矛盾, 所以不可逆. 定理2.3 若和是同阶幂等矩阵, 则为幂等矩阵.证明 因为,所以 . 定理2.4 若和是同阶幂等矩阵, 且,则为幂等矩阵. 证明 由题意可得 , 即为幂等矩阵. 定理2.5 若为幂等矩阵, 且, 则不可逆.证明 设,则有. 若可逆, 则,在的两边同时乘以, 得,即.与题设矛盾, 故不可逆. 定理2.6 若是幂等矩阵, 且, 则矩阵方程有非零解.证明 由定理2.5可知, 不可逆, 即.故矩阵方程有非零解. 定理2.7 若和是同阶幂等矩阵, 则是幂等矩阵.证

18、明 “”因为是幂等矩阵, 所以 ,将两边分别左乘和右乘得: , 即. （2.1） , 即. （2.2） 两式相减可得, 从而. “” .第三章 幂等矩阵线性组合的幂等性3.1 3个幂等矩阵线性组合的幂等性 设，是3个不同的非零的两两相互可交换的幂等矩阵，对于非零复数，我们将讨论 （3.1）是幂等矩阵的一些充分条件.首先，我将给出以下2个引理。引理3.1 设，是3个不同的非零的两两相互可交换的幂等矩阵并且，是非零复数，那么（3.1）是幂等矩阵当且仅当 （3.2）我们定义矩阵如下：= .引理3.2 设，是3个不同的非零的两两相互可交换的幂等矩阵并且，是非零复数，那么（3.1）是幂等矩阵当且仅当其中

19、分别是，的特征值.下面给出（3.1）是幂等矩阵的一些充分条件.定理3.1 设，是3个不同的非零的两两相互可交换的幂等矩阵并且，是非零复数.如果下列情形之一成立，则（3.1）是幂等矩阵.（1）并且，；（2），并且，；（3），并且（4），并且；（5），并且；（6）并且.证明 通过引理1知道（3.1）是幂等矩阵当且仅当=0. 如果（1）成立，我们有 = =+ =0.所以在（1）成立下，是幂等矩阵. 如果（2）成立，我们有 = =+ =0.同理，.所以在（2）成立下，是幂等矩阵. 如果（3）成立，我们有 =0.同理，=0，=0.所以在（3）成立下，是幂等矩阵. 如果（4）成立，我们有 = =.同理，.

20、所以在（4）成立下，是幂等矩阵. 如果（5）成立，我们有 = =0.同理，.所以在（5）成立下，是幂等矩阵. 如果（6）成立，我们有 =0，所以在（6）成立下，是幂等矩阵.证明完毕.3.2 3个立方幂等矩阵的线性组合的幂等性 定义3.1 任意矩阵，如果，则称为立方幂等矩阵. 定理3.2 设非零矩阵，满足，且，令是 的线性组合，即，且矩阵是立方幂等矩阵的充要条件是（1）（）=（）（2）（）=（）证明 （1）必要性因为矩阵是立方幂等矩阵，所以 （3.3）又，所以（3.3）等价于 =0 （3.4）由可得 +=0.因为是非零矩阵，是非零复数，所以（）=（）或（）=（）. （2）充分性因为（）=（），所

21、以 = =+, +=0当，时， =.同理可证（2）的充分性.第4章 幂等矩阵线性组合的可逆性4.1 幂等矩阵线性组合的可逆性 在本节中, 我们讨论两幂等矩阵线性组合的可逆性. 引理4.1 设矩阵是阶方阵, 则可逆.定理4.1 设矩阵均是幂等矩阵, 即. 若存在两个非零复数, 且使得可逆, 则对所有的复数, 满足, 则线性组合都是可逆的. 证明 设.对 , 有.于是 . （4.1） 将上式两边依次左乘, 可得: . (4.2)由(4.1)、(4.2)可得 . (4.3)又,所以.将代入上式可得 所以 .由于可逆,将上式两边同时左乘得 . (4.4)再左乘得: .即. 代入可得.注意到(4.3)式

22、有, 因此由(4.4)式可得.因此. 由引理1知是可逆的.在定理4.1中令, 立即可以得到: 推论4.1设矩阵均是幂等矩阵, 即. 若可逆,则, 满足, 线性组合都是可逆的. 定理4.2设矩阵均是幂等矩阵, , 下列命题等价: （1） 可逆. （2）及是可逆的. 证明 (1)(2) 对由定理4.1的证明过程知.从而又 可逆, 所以. 即. 由引理4.1知 可逆. 同样地, 对 .两边同时左乘, 得.所以 .又 可逆, 所以. 所以.由引理4.1知可逆. （2）（1） 对, 有从而有 .所以 .推出.又及是可逆的. 知.由引理4.1知可逆. 定理证毕.在定理4.2中令, 立即可以得到: 推论4.

23、2设矩阵均是幂等矩阵, 下列两个命题等价: （1）可逆. （2）及可逆. 4.2 三个三次幂等矩阵的线性组合的可逆性问题 引理4.2 设，满足,则相似于的充要条件为等价于. 引理4.3 设是一可对角化的矩阵族.则是可换族等价于是同时可对角化族. 定理4 设,为非零数，则当可逆时，在下述几种情况下，线性组合是可逆的：（1） ，且为任意非零复数；（2） ,且；（3） ,且,；（4） ,且；（5） ,且；（6） ,且；（7） ,且；证明 对于幂等可换的矩阵,存在可逆矩阵,使得同时可对角化：,且的对角元分别为的特征值，其重数计算在内，从而可得到, （4.5）进而.于是当矩阵可逆时，既有=，其中分别为矩

24、阵的对角元.另一方面三次幂等矩阵的特征值只有.因此(1) 当时，由等式(4.5)可知，,于 是每行对应的数对只可能为(O，0，1)，(O，1，O)，(1，0，O)，(O，0，一 1)，(O，一 1，O)， (一 1，0，O)所以对任意非零数，矩阵 都是可逆的 ；(2) 当，时，即,对应的数对最多有以下可能:(0，0，一 1)，(O，一 1，O)，(一 1，0，O)，(0，0，1)，(O，1，O)，(1，0，O)，(0，1，1)，(O，一 1，一 1).此时只要非零数满足，矩阵即是可逆的；同理可证(3)(4)(5)(6)(7).证毕.小结幂等矩阵是一种特殊的矩阵，它在数学领域以及其他许多领域应用

25、都非常广泛，且具有较好的性质和实际应用，幂等矩阵在可对角化矩阵的分解中具有重要的作用；在代数学中，线性变换的许多问题都可以转化为幂等矩阵来解决.本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广.本文首先对幂等矩阵的一些基本概念的介绍，接着对幂等矩阵的相关性质和等价命题进行归纳总结并做简单的推广.最后本文研究了幂等矩阵的幂等性和线性组合的可逆性有关的性质.方法的运用在于灵活，很多方法都是相通的.一种方法本身的价值是有限的，更有意义的是讲方法进行推广，以解决更多的问题.通过研究幂等矩阵，不仅是我掌握了很多方法，更重要的是培养了我的数学思维，让我对幂等矩阵有了更深刻的认识.我认为

26、这是最宝贵的收获. 参考文献1 张凯院, 徐仲, 陆全. 矩阵论典型题解及自测题M. 西北工业大学出版社, 2003.2 T. Akasaki, idempotent ideals of integral group ringsJ. Algebra, 1972,23:343-346.3 朱军辉，程春蕊.幂等矩阵的性质J.宜宾学院学报,2008（6）：26-27.4 王世恒.幂等矩阵的广义逆J.南阳师范学院学报，2012,11（12）：20-22.5 Baksalary O M. Idempotency of linear combinations of three idempotent matrices,two of which are disjointJ. Linear Algebra Appl.,2004,388:67-78.6 王月清，王爱丽. 3个幂等矩阵线性组合的幂等性J.宝鸡文理学院学报,2005，25（3）：167-168.7 J