线性代数期末复习题

1、线性代数复习题一、判断题(正确在括号里打V,错误打X)1.把三阶行列式的第一列减去第二列，同时把第二列减去第一列，这样得到的新行列式与原行列式相等，亦即abcabbacabcabbac()abcabbac2.若一个行列式等于零,则它必有一行(3%兀素全为零，或有两彳-亍(列)完全相同，或后两行(列)元素成比例.()3 .若行列式D中每个元素都大于零，则D>0.()4 .设A,B,C都是n阶矩阵，且ABCE,则CABE.()5 .若矩阵A的秩为r，则A的r1阶子式不会全为零.()6 .若矩阵A与矩阵B等价，则矩阵的秩R(A)=R(B).()7 .零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合.

2、()8 .若向量组内,02,.,&线性相关，则0cl一定可由oc2,.,as线性表小.()9 .向量组内,%,，%中，若火与&对应分量成比例，则向量组四,02,.,&线性相关.()10 .o1,oc2,.,os(s3)线性无关的充要条件是：该向量组中任意两个向量都线性无关.()11 .当齐次线性方程组的方程个数少于未知量个数时，此齐次线性方程一定有非零解.()12 .齐次线性方程组一定有解.()13 .若为可逆矩阵A的特征值，则1为A1的特征值.()14 .方程组(EA)x0的解向量都是矩阵A的属于特征值的特征向量.()15 .n阶方阵A有n个不同特征值是A可以相似于对

3、角矩阵的充分条件16.若矩则R(A)R(B)、单项选择题1.设行列式(A)m2.行列式(A)333.4.5.6.7.a11a21a12a22m,a13a23a12a21n,则行列式alla12a13a21a22a23(B)(mn)(C)nm(D)m四阶行列式(A)的元素(B)a21的代数余子式A21的值为33(C)56(D)56中x的一次项系数为（(D)a11a12.a1naman2a21.a22.a2n.,D2an1,1.an1,2.an1an2.anna11a12(C)4(B)1Di设Di(A)D2Din阶行列式(A)an已知A1(A)1(B)D2(C)D2Dnbn(B)an(B)2设A是

4、n阶方阵且A|5,(A)5n1(B)5n1bn(C)2则(5AT)annan1,na1n，则D2与D的关系是（）n(n1)1)=Di的值为（）(D)D2(1)n(n1)Di(C)an(1)n1bn(D)n(ab)(D)3(C)5n1(D)5nm阶方阵的是()8 .设A是mn矩阵，B是nm矩阵(mn),则下列运算结果是(A)AB(B)ATBT(C)BA(D)(AB)T9 .A和B均为n阶方阵，且(AB)2A22ABB2,则必有(A) A E(B) B E(C) A B(D) AB BA10.设A B均为n阶方阵，满足等式AB O,则必有()(A) A O 或 B O (B) A B O(C) A

5、 。或 B 0(D)|A B 011.设A是方阵，若有矩阵关系式AB AC ,则必有()(A) A O (B) B C 时 A O (C) A 。时 B C(D) A 0时 B C12.已知方阵Aaiia12a13a22a21a11a22a12a23a13,以及初等变换矩阵a31a32a33a31 a11 a32 a12 a33 a13P1010100,P2001(A) AP1P2 B(B)AP2PlB(C)P2RAB(D)P1P2AB13 .设A、B为n阶对称阵且B可逆，则下列矩阵中为对称阵的是()_1_1_1_1_1_2(A)AB1B1A(B)AB1B1A(C)B1AB(D)(AB)214

6、 .设A、B均为n阶方阵，下面结论正确的是()(A)若A、B均可逆，则A+B可逆(C)若A+B均可逆，则 A- B可逆(B)若A、B均可逆，则AB可逆(D)若A+B可逆，则A B均可逆15 .下列结论正确的是()(A)降秩矩阵经过若干次初等变换可以化为满秩矩阵(B)满秩矩阵经过若干次初等变换可以化为降秩矩阵(C)非奇异阵等价于单位阵(D)奇异阵等价于单位阵16 .设矩阵A的秩为r,则A中()(A)所有r1阶子式都不为0(B)所有r1阶子式全为0(C)至少有一个r阶子式不为0(D)所有r阶子式都不为017 .设A、RC均为n阶矩阵，且ABC=E,以下式子BCA=E,(2)BAC=E,(3)CAB

7、=E,(4)CBA=E中，一定成立的是()(A)(1)(3)(B)(2)(3)(C)(1)(4)(D)(2)(4)18 .设A是n阶方阵，且AsO(s为正整数)，则(EA)1等于()112ss1(A)(B)EA1(C)AA2.As(D)EA.As1EA31219.已知矩阵A101,A*是A的伴随矩阵，则A*中位于(1,2)的元素是()214(A)6(B)6(C)2(D)-220 .已知A为三阶方阵，R(A)=1,则()(A)R(A)3(B)R(A)2(C)RA)1(D)R(A)021 .已知34矩阵A的行向量组线性无关，则矩阵AT的秩等于()(A)1(B)2(C)3(D)422 .设两个向量组

8、如物.，%和0,份，.，3s均线性无关，则()(A)存在不全为。的数1,2,.,s使得1的2a2.s%。和102份.s所0(B)存在不全为0的数1,2,.,s使得1(的31)2(“2fe).s("s用0(C)存在不全为0的数1,2,.,s使得1(的31)2(“2fe).s(%用)0(D)存在不全为0的数1,2,.,s和不全为0的数1,2,.,s使得，s,ss %0 和 1 团 222.s 3s023 .设有4维向量组小02,.,%,则()(A)的，“2,.,a6中至少有两个向量能由其余向量线性表示(B)可，物,依线性无关(C)1,0C2,.,06的秩为4(D)上述说法都不对24 .设

9、外“2,曲线性无关，则下面向量组一定线性无关的是()(A)0,也，口(C)的初，82的，的的(D)182，绝口3，的的25 .n维向量组如如，%(3sn)线性无关的充要条件是()(A)如”2,，出中任意两个向量都线性无关(B)的，a，2,.,as中存在一个向量不能用其余向量线性表不'(C)3,孙，0s中任一个向量都不能用其余向量线性表示(D)冷物，中不含零向量26. 下列命题中正确的是( )(A) 任意 n 个n+1 维向量线性相关(C) 任意n+1 个 n 维向量线性相关a11x1a12 x2 . a1nxn27. 已知线性方程组a21x1a22x2 . a2nxn.an1 x1an

10、2x2. annxn(A) 一定有唯一解(C) 一定无解(B) 任意n 个 n+1 维向量线性无关(D) 任意n+1 个 n 维向量线性无关00 的系数行列式D =0，则此方程组( )0(B) 一定有无穷多解(D) 不能确定是否有解28. 已知非齐次线性方程组a11x1a12x2.a1nxna21 x1a22x2.a2nxnb1b2 的系数行列式D =0，把D 的第一列an1 x1an2 x2.a nn xnbn换成常数项得到的行列式D10 ，则此方程组( )(A) 一定有唯一解(B) 一定有无穷多解(C) 一定无解(D) 不能确定是否有解29.已知A为m n矩阵，齐次方程组 Ax 0仅有零解

11、的充要条件是 ()(A) A的列向量线性无关(C) A的行向量线性无关(B) A的列向量线性相关(D) A的行向量线性相关30.已知A为m n矩阵，且方程组 Axb 有唯一解，则必有( )(A)R(A,b)m(B)R(A,b)n(C)R(A,b)m(D)R(A,b)n31 .已知n阶方阵A不可逆，则必有()(A)R(A)n(B)R(A)n1(C)A0(D)方程组Ax0只有零解32 .n元非齐次线性方程组Axb的增广矩阵的秩为n+1,则此方程组()(D) 不能确定其解的(A)有唯一解(B)有无穷多解(C)无解数量33 .已知飞b是非齐次线性方程组Axb的任意两个解，则下列结论错误的是()(A)

12、n 也是Ax 0的一个解1(B) -(ri电)是Ax b的一个解 2(C) i 正是Ax 0的一个解(D) 2 m 正是Ax b的一个解34.若Vi, V2, V3M4是线性方程组 Ax0的基础解系，则Vi V2 V3 V4是该方程组的()(A)解向量 (B)基础解系(C)通解(D) A的行向量35.若刀是线性方程组Ax b的解,E是方程Ax0的解，则以下选项中是方程Axb的解的是()(C为任意常数)(A) y CE36.已知m n矩阵A的秩为n 1,(B)CrCE(C)CrCE(D)Cye级,“2是齐次线性方程组Ax0的任意两个不同的解，k为任意常数，则方程组Ax0的通解为(M)(D) k(

13、 小 的)()(B) A 0(D) A的特征值都不等于零A的三个特征值分别为1,2, 3,则下列矩阵中是可(C) A 3E (D) A 2E(A)k认(B)k“2(C)k(出37 .n阶方阵A为奇异矩阵的充要条件是(A)A的秩小于n(C)A的特征值都等于零38 .已知A为三阶方阵，E为三阶单位阵，逆矩阵的是()(A)AE(B)AE39 .已知i,2是n阶方阵A的两个不同特征值，对应的特征向量分别为3,&,则()(A)&和&线性相关(B)&和&线性无关(C)8和a正交(D)自和&的内积等于零40 .已知A是一个n(3)阶方阵，下列叙述中正确的是()

14、(A)若存在数和向量“使得Aaa,则a是A的属于特征值的特征值(B)若存在数和非零向量a使得(EA)a0,则是A的特征值(C)A的两个不同特征值可以有同一个特征向量(D)若1,2,3是A的三个互不相同的特征值，小Q,%分别是相应的特征向量，则出,“2,"3有可能线性相关41 .已知°是矩阵A的特征方程的三重根，A的属于0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有()(A)k3(B)k3(C)k3(D)k342 .矩阵A与B相似，则下列说法不正确的是()(A) RA)= RB) (B) A = B43. n阶方阵A具有n个线性无关的特征向量是(A)充分条件(B)必要条件必要条件4

15、4. n阶方阵A是正交矩阵的充要条件是()(A) A相似于单位矩阵E(C) AT A 145.已知A是正交矩阵，则下列结论错误的是2(A) A 1(B) A 必为 1(C) A |B (D) A与B有相同的特征值A与对角阵相似的()(C)充要条件(D)既不充分也不(B) A的n个列向量都是单位向量(D) A的n个列向量是一个正交向量组()(C)A1AT(D)A的行(列)向量组是单位正交组46.n阶方阵A是实对称矩阵，则()(A)A相似于单位矩阵E(B)A相似于对角矩阵(C)A1AT(D)A的n个列向量是一个正交向量组47.已知A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵,B CTAC，则()(A) A与B相

16、似(B) A与B不等价(C) A与B有相同的特征值(D) A与B合同三、填空题1 .已知a31a2ia13a5ka44是五阶行列式中的一项且带正号，则i=,k=.1232 .已知三阶行列式D456,Aj表示元素aij对应的代数余子式，则与aA21bA22CA23789对应的三阶行列式为1313 .已知05x0,则x=一1224 .已知A,B均为n阶方阵，且Aa0,|Bb0,则T1“1(2A)B,-AB.5 .已知A是四阶方阵，且A1/3,则Aa11 a1211.矩阵Aa21 a22的行向量组线性 关.a31 a 3212. 一个非齐次线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大13.设A是3

17、4矩阵，R(A) 3,若小也为非齐次线性方程组 Ax b的两个不同的解，则该方程的通解为n),则齐次线性方程组 Ax 0的一个基础解系中含有解的个数为 21 x115.已知方程组 2 3a 2 x21 a 2x3iXi x2 x30x1 x2 x3 0只有零解，则 需要满足x1 x2 x3 0,3A*4A1.6 .已知三阶矩阵A的三个特征值分别为1,2,3,则4A13A*.a11a12a137 .设矩阵A111213,B是方阵，且AB有意义，则B是阶矩阵，AB是行a21a22a23列矩阵.8 .已知矩阵A,B,C(Cj)sn,满足ACCB,则A与B分别是,阶矩阵.9 .可逆矩阵A满足A 0 1

18、 1 x可相似对角化，则 x = 0 5A2E。，则A114.已知A是m n矩阵，R(A) r(12无解，贝U a =.316.若齐次线性方程组17.已知矩阵A18 .已知向量“、3的长度依次为1419 .已知向量a 0 ,b 2 .2312120.已知x1为A5 a11 b2和3,则向量内积a 8 a 3 c与a正交，且b a c,贝U23 的特征向量，则 a =, b =210 .已知出(1,1,1)1“2(x,0,y)T,%(1,3,2)T,若g,如“3线性相关，则x,y满足关系式21 .已知三阶矩阵A的行列式A8,且有两个特征值1和4,则第三个特征值为.22 .设实二次型f(Xi，X2

19、，X3，X4，X5)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形f(Zi,Z2,Z3,Z4,Z5)为.23 .二次型f(x1,x2,x3)2x1x24x2x33x32的矩阵为.12024. 已知二次型 f(x,y,z)的矩阵为235,则此二次型050f(x,y,z).2xi&是正定的，则t要满足25.已知二次型f(x1,x2,x3)2x23x2tx22x1x2四、行列式计算1.已知A,B为三阶方阵,1，B2,求行列式(2AB*)1A.2.已知行列式D3.计算n阶行列式2369Dn是1,其它元素都是0.求5A11A214A31A41.,其中主对角线上的元素都是2,另外两个角落的元素4.计算n阶行

20、列式Dn210.00121.005.计算n阶行列式Dn012.00000.12xabcdaxbcdabxcdabcx6.计算行列式d7.计算行列式8.计算行列式Dnx1x1x2x2xnxnx1X2xn五、矩阵计算1.设AABT;(2)4A2.已知且AX3.设AB均为三阶方阵,E为三阶单位阵，且ABEA2B,求B.44.设BX满足关系式3,E为四阶单位阵，且矩阵1X(CB)T5.已知A123k6.设A12k3,问：当k取何值时，有(1)R(A)1;(2)R(A)2;(3)R(A)3.k23六、向量组的线性相关性及计算1.设的13451412,y,a3c,"411232231并判断g,&

21、quot;2,“3,%是线性相关还是线性无关,求向量组内,如%,a4的秩和一个最大线性无关向量组,2.设小4,109,133107余向量用该最大无关组线性表示3.当a取何值时，向量组22,求此向量组的秩和一个最大无关组，并将其,83121/2线性相关?a14.将向量组g2110七、线性方程组的解2130、，”11.第7E向重组级,宠3,01tX3八,M02243419合；若是，则求出线性表达式.4x12x2x322.求解非齐次线性方程组3x1x22x310.11x13x28为x23x3x413.求解非齐次线性方程组3x1x23x34x44.x15x29x38x40规范正交化.,0C2,03,试

22、判断04是否为知02,%的线性组XiX22X3k4 .当k满足什么条件时，线性方程组x12x2kx3k2有唯一解，无解，有无穷多解？并在22xiX2kX30有无穷多解时求出通解.kx1(k1)x2x315 .当k满足什么条件时，线性方程组kXikX2X32有唯一解，无解，有无穷多解？2kxi2(k1)x2kx32并在有无穷多解时求出通解.XiX2X3X4X526 .已知非齐次线性方程组Axb为3X12X2X3X43X5a,问：当a、b取何值时，方x22x32x46x535x14x23x33x4x5b程组Axb有无穷多个解？并求出该方程组的通解.X1X2X307.设方程组X12x2ax30与方程

23、X12x2x3a1有公共解，求a的值.28.设四元非齐次线性方程组X14x2ax30Axb的系数矩阵A的秩为3,已知小刀2,4是它的三个解向量,2 13 2,、，出刀3,求该万程组的通解4 35 49.设非齐次线性方程组 Ax b的增广矩阵AA b , A经过初等行变换为11012A0113则(1)求对应的齐次线性方程组Ax 0的一个基础解系;(2)取何值时，方程组 Axb有解？并求出通解.八、方阵的特征值与特征向量2001 .已知 A001, B01x2 000 y 0 ,若方阵A与B相似，求X、y的值.0 012.0、，1设方阵A 100100000的一个特征值为3,求y的值.123.已知三阶方阵A的特征值为1、2、3,求行列式A13A2E的值.4.求方阵A020的特征值与对应的特征向量5 .设A01 1101,求可逆矩阵 P,使得P 1AP为对角矩阵.1106 .设A22 0212 ,求正交矩阵 P,使得P 1AP为对角矩阵02 07 .已知矩阵A1 1 04 3 0,判断是否存在一个正交矩阵P,使得P 1AP为对角矩阵8 .已知矩阵A022234的特征值为1、1、 8 ,求正交矩阵P,使得P 1AP为对角阵.243九、二次型1 .当t取何值时,f(X1,X2,X3) x2 4x2 4x22tx1X2 2x1