Jordan标准型在求解线性微分方程组的应用

1、Jordan 标准型在求解线性微分方程组的应用姓名：XXXX 远学号：2009242620092426 班级：20091212009121摘要：该应用在于矩阵不能对角化的时候利用 JordanJordan 标准型这种最简化的结果来做题。证明关于一般方阵（不能保证对角化）的某些命题，需要用到 JordanJordan 标准型，比如用 JordanJordan标准型求解线性微分方程组。关键字：JordanJordan 标准型，线性微分方程组，特征值矩阵内容，是大学学习中必须学习的知识点！其广泛的应用性，还有在处理数据上的优越性，矩阵是学习很多知识体系的支柱，在数据结构，自动控制原理，常微分计算等等

2、上都是基础！矩阵的对角化用处很大，因为对角化后，对矩阵加乘等等运算都可以简单很多，尤其在涉及特征值的方面！但是许多时候矩阵不能对角化。这时候相似变换的最好结果就是 JordanJordan标准型的形式，因为矩阵的 JordanJordan 标准型是最间的！JordanJordan 标准型的用处就在于矩阵不能对角化的时候利用 JordanJordan 标准型这种最简化的结果来做题。证明关于一般方阵（不能保证对角化）的某些命题，需要用到比如用 JordanJordan 标准型求解线性微分方程组。一.JordanJordan（约当）标准型定义：形如右图的由主对角线为特征值，次对角线为 1 1 的约旦

3、块按对角排列组成的矩阵称为 JordanJordan 形矩阵，而主对角线上的小块方阵 JiJi 称为JordanJordan 块. .求法： （1 1）由特征值 W W 的代数重数确定主对角线元素是的力的 JordaJordan n矩阵 J J（川）的阶数。（2 2） ? ?由特征值制对应的线性无关的特征向量的个数确定（3 3） J J（初中 JordanJordan 块的个数由特征向量（4 4）求得的 JordanJordan 链条的长度确定 JordanJordan 块的阶数链条中的向量合起来构成可逆矩阵巳JordanJordan 块构成 JAJA二.线性微分方程组:重视的一部分，在物理、

4、化学等领域（例如二个或二个以上回路电流变化规律，几个互相作用的质点的运动等等）的。但有的一些线性微分方程组，不需要考虑到复数领域，但同时又需要简化一些步骤！而这里所讨论的主要是一阶线性微分方程组：x；=a”(t)x1a12(t)X2,am(t)xn,3(t)X2=a21(t)X1-a22(t)X2-a2n(t)Xn-f2(t)Xn=an1(t)X1,an2(t)X2,ann(t)Xn-fn(t)1 1）一阶微分方程组的标准型含有n个未知函数X1,X2，Xn及其一阶导数的微分方程组JordanJordan 标准型,JQ)J1(九2)O|Jm(/.m入1八1J(九)=11线性微分方程组，即两个或多

5、个微分方程的集合,其理论是微分方程理论中非常值得Xi=fl(t,Xi,X2，L,Xn)X2f2(t，X1，X2，L，Xn)LLLLLLLLLLJXn-fn（t,X1,X2,L,Xn）称为一阶微分方程组的标准型，其中1（t,X1,X2，Xn）（i=1,2，n）是定义在n+1维空间（t,Xi,X2，Xn）的某区域D内已知的连续函数，t是自变量。2 2）初值问题5.15.1）及初值条件Xi（to）=Q,X2（to）=打2，Xn（to）=L的解的问题称为一阶微分方程组的初值问题（或柯西问题）。表示如下Xi=fi(t,Xi,X2，,Xn)X2=f2(t,Xi,X2，,Xn)Xnfn(t,Xi,X2,Xn

6、)及Xi(to)=i,X2(to)=2,，Xn(to)=n3 3）通解方程组（5.i5.i）含有n个独立的任意常数C1,C2,，Cn的解Xi=0(t,Ci,C2，Cn)X2=(t,Ci,C2L,Cn)Xn=-：n(t,Ci,C2,Cn)称为它的通解。三：用 JordanJordan 标准型求解线性微分方程组现实的很多问题，都可以用现行微分方程组近似的去模拟，但很多的死后，不需要用到复数去求解，这个时候，如果使用 JordanJordan 标准型就可以迅速的解决问题！1 1）, ,方程组 x=Axx=Ax 的基本解矩阵为tJ1etJ2eexp(At)=T求满足方程组是ni阶的若当块，i=1,2，

7、m,必+久+nm=n,而m为矩阵A_汇的初等因子的个数，九i,i=1,2，m为矩阵A的特征根，T为n阶非奇异矩阵，使得Td；1dt=-；1二22）,以d员/dt=-4a+3君2为例，对于这类问题，一般有两种思路：一种思路是利dS3/dt=a+2期用高阶线性微分方程的理论与常系数高阶线性微分方程的求解方法如常数变易法齐次化原理算子解法等可以得到方程（1 1）的特解和通解另一种思路就是将它化为与之等价的一阶线性微分方程组计算相应的齐线性方程组的基解矩阵在给微分方程组施行一个非奇异线性变换，即：X=PY1二2对A求约当标准型，先求其的特征值，得到特征值J%=1200然后，JordanJordan 标

8、准型得到得到：J=011：。01一所以：=27,心出=工dtdtdt其中，J注：矩阵中空白的地方为零,T称为过渡矩阵。首先把微分方程组该写成矩阵形式:dxdt-不dtd3dt001001- -p p中苴(p p一一Ax1 1- -p p一一dxdx- -祖其中:一|d”dt哓=d”，dt,103002123-123-Y其一般解分别为：，=cie2t,%=C2e+c3te，1=c3e,再由 X X= =FVFV，求的原微分方程的一般解：t&=c?e+C3tett162=2c2e+c3（2t+1）e2teeI.-3=oe-c?ec3（t-1）eL由此，可以得到用 JordanJordan 标准型求解线性微分方程组出的答案，即是 JordanJordan 标准型在求解线性微分方程组的应用！用 JordanJordan 标准型，对于一些方程，可以大大的简化步骤！在许多的实际问题中，使用复数往往没有多大的意义，因此，需要在实数域 R R 上来求标准型！化矩阵为 JordanJordan 标准型，实际上就是适当选择线性空间的基或者坐标系，使得在新坐标系之下，问题的数学形式最为简单，从而研究！正因为线性微分方程组的此类解法的加入，无疑大大的扩展了，线性微分方程组的应用