三角形中的几何计算

1、§2三角形中的几何计算学习目标：1.进一步理解正、余弦定理中所蕴含的边角之间的关系(易混点)2.掌握通过正、余弦定理进行边角转化的方法，以及解决有关三角形中的几何度量问题(重点)3.深刻体会数形结合思想、方程思想以及转化与化归思想在三角形度量问题中的应用(难点)4.了解正弦定理与余弦定理在三角形中的重要作用，培养学生灵活运用知识的能力自 主 预 习·探 新 知三角形中的几何计算阅读教材P54P55“练习”以上部分完成下列问题(1)三角形中的几何计算主要涉及长度、角度、面积问题(2)在ABC中，有以下常用结论：abc，bca，cab；abABsin Asin B；ABC，；s

2、in(AB)sin C，cos(AB)cos C，sincos，cossin.思考：(1)若角A是三角形ABC中最大的角，则角A的范围是什么？提示A.(2)在ABC中，若A，则角B的取值范围是什么？提示0B.基础自测1判断正误(1)若ABC的外接圆半径为R，其三边长为a，b，c，则ABC的面积S.()(2)存在ABC，使sin Asin Bsin C()(3)在ABC中，cos C2sin21.()解析(1)，(3)正确，(2)错误因为abc，由正弦定理可得sin Asin Bsin C.答案(1)(2)×(3)2在ABC中，a2，A30°，则ABC外接圆的半径为()A4

3、B2C2D.B由正弦定理得2R4，故R2.3在ABC中，BC边上的高为AD，且AD2，又ccos Bbcos C3，则ABC的面积为_. 【导学号：91022165】解析如图所示，ccos Bbcos CBDDCBC3，又AD2，则SABC×3×23.答案3合 作 探 究·攻 重 难计算线段的长度和角度在ABC中，已知B30°，D是BC边上的一点，AD10，AC14，DC6. 【导学号：91022166】图2­2­1(1)求ADC的大小；(2)求AB的长解(1)在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得cosADC，ADC1

4、20°.(2)由(1)知ADB60°，在ABD中，AD10，B30°，ADB60°，由正弦定理得，AB10.规律方法求线段的长度与角度的方法(1)求线段的长度往往归结为求三角形的边长，解决此类问题要恰当地选择或构造三角形，利用正、余弦定理求解；(2)求角度时，把所求的角看作某个三角形的内角，利用正、余弦定理求解，或利用ABC求解.跟踪训练1如图2­2­2所示，在四边形ABCD中，ADCD，AD10，AB14，BDA60°，BCD135°，求BC的长图2­2­2解在ABD中，由余弦定理，得AB2A

5、D2BD22AD·BD·cosADB，设BDx，则有142102x22×10xcos 60°，x210x960，x116，x26(舍去)，BD16.在BCD中，由正弦定理知，BC·sin 30°8.利用正弦、余弦定理解决平面几何中的面积问题已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2)(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；(2)若mp，边长c2，角C，求ABC的面积解 (1)证明mn，asin Absin B，a·b·，其中R是三角形ABC外接

6、圆半径，a2b2，ab，ABC为等腰三角形(2)由题意可知m·p0，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab) 23ab，即(ab)23ab40，ab4(舍去ab1)Sabsin C·4·sin.规律方法三角形面积问题的解决方法涉及三角形面积问题通常选用Sabsin Cbcsin Aacsin B，这个公式中含有正弦值，可以和正弦定理建立关系，又由正弦值还可求出余弦值，这就可以与余弦定理建立关系，另外面积公式中有两边的乘积，在余弦定理中也有，所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换，关键是根据题中的条件选择正确的变换方向.跟

7、踪训练2ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Acos A0，a2，b2. 【导学号：91022167】(1)求C；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积解(1)由已知可得tan A，所以A，在ABC中，由余弦定理得284c24ccos，即c22c240，解得c4(c6舍去)(2)由条件得CAD，所以BADBACCAD，故ABD面积与ACD面积的比值为1，又ABC的面积为×4×2sinBAC2，所以ABD的面积为.正、余弦定理与三角恒等变换的综合应用探究问题1在ABC中有哪些常用的结论？(三条即可)提示(1)sin(AB)sin C；(2)

8、sincos；(3)cos(AB)cos C.2在ABC中，如何用sin A，cos A，sin B，cos B表示sin C?提示sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. 【导学号：91022168】(1)证明：sin Asin Bsin C；(2)若b2c2a2bc，求tan B.解(1)证明根据正弦定理，可设k(k0)，则aksin A，bksin B，cksin C，代入中，有，变形可得sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB)在ABC中，由ABC，有sin(AB)sin(C

9、)sin C所以sin Asin Bsin C.(2)由已知，b2c2a2bc，根据余弦定理，有cos A.所以sin A.由(1)知，sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin Bcos Bsin B.故tan B4.母题探究：1.(变结论)在例3中，若a2，求ABC的面积解由例3(2)解答可知sin Bcos Bsin B，即cos Bsin B，又sin2Bcos2B1，解得sin B，由正弦定理得b，则SABCabsin Cabsin Asin B×2×××.母题探究：2.(变条件)把例3的条件变为“cos 2Cco

10、s 2A2sin·sin”，(1)求角A的值；(2)若a且ba，求2bc的取值范围解(1)由已知得2sin2A2sin2C2，化简得sin A±，因为A为ABC的内角，所以sin ，故A或.(2)因为ba，所以A.由正弦定理得2，得b2sin B，c2sin C，故2bc4sin B2sin C4sin B2sin3sin Bcos B2sin.因为ba，所以B，则B，所以2bc2sin，2)规律方法正、余弦定理综合应用技巧(1)理清题目所给条件，利用正、余弦定理沟通三角形中的边与角之间的数量关系；(2)紧紧抓住正、余弦定理，依托三角恒等变换和代数恒等变换，将复杂的三角式或

11、代数式转化为简单问题来计算或证明当 堂 达 标·固 双 基1在ABC中，周长为7.5 cm，且sin Asin Bsin C456，下列结论：abc456；abc2a2 cm，b2.5 cm，c3 cm；ABC456其中成立的个数是()A0个B1个C2个D3个C由正弦定理知abc456，故对，错，错；结合abc7.5，知a2，b2.5，c3，对，选C.2ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为() 【导学号：91022169】A BCD9C设a2，b3，cos C，则c2a2b22abcos C492×2×3×9，即c3，又由co

12、s C得sin C，则2R，R.3若平行四边形两邻边的长分别是和，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长分别是()A和B2和2C和 D和C如图所示，设AB，AD，DAB45°，则在ABD中，BD2AD2AB22AD·AB·cos 45°362×××3，即BD，在ADC中，AC2DA2DC22×DA×DC×cos 135°362×××15，即AC.4在ABC中，三个角A、B、C的对边边长分别为a3，b4，c6，则bccos Aaccos Babcos C的值为_解析bccos Acaco