立体几何垂直证明题常见模型及方法

1、立体几何垂直证明题常见模型及方法证明空间线面垂直需注意以下几点：由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。垂直转化：线线垂直=线面垂直Q面面垂直；基础篇类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1）共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直（只需要同学们掌握以下几种模型）©等腰（等边）三角形中的中线.（2菱形（正方形）的对角线互相垂直勾股定理中的三角形（4i：i：2的直角梯形中D利用相似或全等证明

2、直角。例：在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1,求证：A。OE（2）异面垂直（利用线面垂直来证明，高考中的意图）例1在正四面体ABCD中，求证ACBD底面ABCD是矩形，已知D变式1如图，在四棱锥PABCD中，AB3,AD2,PA2,PD22,PAB证明：ADPB;变式2如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点,将AED/DCF分别沿DE,DF折起，使A,C两点重合于A.求证：ADEF；变式3如图，在三棱锥PABC中，/PAB是等边三角形，/PAC=/PBC=90o证明：ABXPC类型二：线面垂直证明方法（1）利用线面垂直的判断定

3、理例2：在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1,求证:AO平面BDE变式1：在正方体ABCDAB1cD）中，求证：AC平®BDC1变式2:如图：直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1=2,/ACB=90.E为BB1的中点，D点在AB上且DE=y3.求证：CD,平面A1ABB1；变式3:如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CACBCDBD2,ABAD.2.求证：AO平面BCD;变式4如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中,1求证：BD 平面PAC2利用面面垂直的性质定理ADIIBC,ABC90°,PA平面ABC

4、D.PA3,AD2,AB2击，BC6例3:在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC,面PAC方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。变式1,在四麴tPABCD,底面ABCD是正方形，侧面PAB是等腰三角形，且面PAB底面ABCD，求证：BC面PAB类型3:面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)例1如图，已知AB平面ACD,DE平面ACD,ACD为等边三角形,BADDE2AB,F为CD的中点.求证：AF平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE；例2如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCDABAD,ACCD,ABC60°,PAABBC,E是PC的中点.(1)证明CDAE；(2)证明

5、PD平面ABE；变式1已知直四棱柱ABCDA'B'CD'的底面是菱形，ABC60,E、F分别是棱CC'与BB'上的点，且EC=BC=2FB=2.(1)求证：平面AEF，平面AA'C'C;举一反三1.设M表不平面,a、b表示直线，给出下列四个命题: a/b a Mb±M.A.过不在a、b上的一点 B.过不在a、b上的一点CA.DPL平面 PEFB.D4.设a、b是异面直线，不:一条直线和 个平面和列TF口华卸PEFD C.Pbb -轴垂直PF，平面DEFC.过a 一定可以作一个平面与b垂直 第3题图D.过a 一定可以作一个平面与b

6、平行、5.如果直线l,m与平面“，3, 丫满足：l=pn 丫，l/ a,ma和m± Y，那么必有（）A. a，丫且 l ±m6.AB是圆的直径， P到AB的距离为B. a，丫且 m”3 C.m"3且l，m D. a ”3且 a，丫C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若 BC=1,AC=2,PC=1 ,则A.1B.2)2.5 C.5D.355aMa/Ma/bb/Mabab其中正确的命题是（）D.A.B.C.2 .下列命题中正确的是（）A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平

7、面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3 .如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把AADE、ACDF和BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P-DEF中，必有（）7 .有三个命题：垂直于同一个平面的两条直线平行;个平面与a垂直;过平面a的一条斜线l有且仅有一异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直其中正确命题的个数为A.0B.1C.2D.38 .d是异面直线a、b的公垂线，平面a、3满足a±

8、a,b13,则下面正确的结论是（）A. a与3必相交且交线m/d或m与d重合B. a与3必相交且交线m/d但m与d不重合C. a与3必相交且交线m与d一定不平行D. “与3不一定相交9 .设1、m为直线，a为平面，且l，a,给出下列命题若m，a,则m/1;若m±1,则mHa;若m/a,则m±1;若m/1,则m±a,其中真命题的序号是（）A.B.C.D.10 .已知直线1，平面a,直线但平面3,给出下列四个命题：若“/3,则1，m;若则1/m;若1/m,则a，3;若Um,则a.其中正确的命题是（）A.与B.与C.与D.与、思维激活11 .如图所示，ABC是直角三角形

9、，AB是斜边，三个顶点在平面a的同侧，它们在a内的射影分别为A,B',C',如果A'B'C'是正三角形，且AA'=3cm,BB'=5cm,CC'=4cm,则A'B'C'的面积是5第11题图日。第13题图第18题图12 .如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件时,有A1CB1D1（注:填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）13 .如图所示，在三麴隹VABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件时,有VCLAB.（注：填上你认为正确的一种条件即可）三、能

10、力提高14 .如图所示，三棱锥V-ABC中,AHL侧面VBC,且H是VBC的垂心，BE是VC边上的高.（1）求证:VC±AB;（2）若二面角EABC的大小为30°,求VC与平面ABC所成角的大小.15 .如图所示，PA，矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN/平面PAD.(2)求证：MNLCD.(3)若/PDA=45°,求证：MNL平面PCD.16 .如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形,=4,AD=2,侧棱PB=尺，PD=33.(1)求证：BDL平面PAD.第16题图(2)若PD与底面ABCD成60°

11、的角，试求二面角P-BC-A的大小.第15题图a, M是AD的中点，N是BD'17 .已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ZACB=90°,ZBAC=30°,BC=1,AA1二T6,M是CC1的中点，求证：AB1XA1M.18 .如图所示，正方体ABCDA'B'C'D'的棱长为上一点，且D'N：NB=1：2,MC与BD交于P.(1)求证：NPL平面ABCD.(2)求平面PNC与平面CC'D'D所成的角.求点C到平面D'MB的距离.第4课线面垂直习题解答1 .A两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面

12、垂直，垂直于同一平面的两直线平行.2 .C由线面垂直的性质定理可知.3 .A折后DP，PE,DP，PF,PELPF.4 .D过a上任一点作直线b'/b,则a,b'确定的平面与直线b平行.5 .A依题意，m，丫且ma,则必有a,丫，又因为1=3C丫则有l丫，而m,丫则Um,故选A.6 .D过P作PD±AB于D,连CD,则CD±AB,AB=VAC2BC2V5,CDAC BC 2PD= . PC2 CD23.57 .D由定理及性质知三个命题均正确.8 .A显然a与3不平行.9 .D垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.10

13、 .Ba/3,11a,11m11.W3cm2设正三角A'B'C'的边长为a.2AC2=a2+l,BC2=a2+1,AB2=a2+4,32322Saa b c = a cm -又AC2+BC2=AB2,a2=2.4212 .在直四棱柱AiBiCiDiABCD中当底面四边形ABCD满足条件AC，BD(或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD是正方形，菱形等)时，有AiC，BiDi(注:填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形).点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一，要求思维应灵活.13 .VCX

14、VA,VCXAB.由VCVA,VCLAB知VCL平面VAB.14 .(1)证明：:H为4VBC的垂心， .VCLBE,又AHL平面VBC, BE为斜线AB在平面VBC上的射影，ABVC.(2)解:由(1)知VC±AB,VC±BE, VC，平面ABE,在平面ABE上，作EDLAB,又AB，VC,AB±WDEC.AB±CD,.ZEDC为二面角E-AB-C的平面角， ./EDC=30°JAB,平面VCD,VC在底面ABC上的射影为CD. /VCD为VC与底面ABC所成角，又VC,AB,VCLBE, .VS面ABE,.-.VC±DE, ./C

15、ED=90°，故/ECD=60°,VC与面ABC所成角为60°.15.证明：（1）如图所示，取PD的中点E,连结AE, EN,则有 EN / CD /AB /AM, EN= 1 CD = 1AB=AM ,故 AMNE 为平行四边形22MN / AE.AE 平面 PAD, MN 平面 PAD, . MN /平面 PAD.(2) PAL平面 ABCD, PAX AB.又 ADAB,，AB，平面 PAD. ABXAE,即 AB± MN.又 CD / AB, MN LCD.(3)PA，平面 ABCD, PAXAD.又/ PDA = 45° , E为PD

16、的中点. AEXPD,即 MN，PD.又MN，CD, .MN,平面 PCD.第15题图解16.如图(1)证：由已知 AB = 4, AD=2, / BAD = 60° , 故 BD2= AD2+AB2-2AD - ABcos60° =4+16-2X2X4X1 = 12.2又 AB2 = AD2+BD2, . ABD是直角三角形，/ ADB=90° ,即 ADBD.在4PDB 中，PD =, PB=厢，BD = <12 ,第16题图解PB2= PD2+BD2,故得 PDBD.又 PDAAD = D, .BDL平面 PAD.(2)由BDL平面PAD, BD鼻平面

17、 ABCD. 平面 PAD,平面 ABCD.作 PEXAD 于 E,又PE平面PAD,PE，平面 ABCD,PDE是PD与底面 ABCD所成的角. ./ PDE = 60° ,PE = PDsin60° = 43 -22 -作 EF，BC 于 F ,连 PF,贝U PFXBF,/PFE是二面角 PBCA的平面角.又 EF= BD= J12 ,在 RtAPEF 中,tan/PFE =PEEF32 上2.34故二面角P BCA的大小为arctan 色417.连ZACi,AC菽CC1Ci AiRtMCCisRMCiAi,1/ACiC=ZMAiCi,，/AiMCi+ZACiC=ZA

18、iMCi+ZMAiCi=90°.AiMLACi,又ABC-AiBiCi为直三棱柱，CCiXBiCi,又BiCiAiCi,.BiCi,平面ACiM.由三垂线定理知ABiXAiM.点评：要证ABiAiM,因BiCi,平面ACi,由三垂线定理可转化成证ACiXAiM,而ACiXAiM一定会成立.i8.(i)证明：在正方形ABCD中，MPDs、CPB,且MD=1BC2，DP:PB=MD:BC=i：2.又已知D'N：NB=i：2,由平行截割定理的逆定理得NP/DD',又DD'，平面ABCD,.NP,平面ABCD.(2) .NP/DD'/CC',.NP、C

19、C'在同一平面内，CC'为平面NPC与平面CC'D'D所成二面角的棱.又由CC'，平面ABCD,得CC'±CD,CC'±CM,MCD为该二面角的平面角.在RtAMCD中可知/MCD=arctan1,即为所求二面角的大小.2由已知棱长为a可得，等腰MBC面积Si=a-,等腰MBD'面积S2=a2,设所24求距离为h,即为三棱锥CD'MB的高.ii二棱锥D-BCM体积为1slDD1s2h33'S2.,Sia.6h-a.3空间中的计算基础技能篇类型一：点到面的距离方法1:直接法一把点在面上的射影查出来

20、，然后在直角三角形中计算例1:在正四面体ABCD中，边长为a,求点A到面BCD的距离。变式1在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD边长为a侧棱长为b.求顶点V到底面ABCD的距离。变式2在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD边长为a侧棱长为b.求顶点A到底面VCD的距离。方法2:等体积法求距离一在同一个三棱锥中利用体积不变原理，通过转换不同的底和高来达到目的。例2已知在三棱锥VABC中，VA,VB,VC两两垂直，VA=VB=3,VC=4,求点V到面ABC的距离。AEGF所截而得到的，其B变式1:如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面中AB4,BC2,CC13,BE1.(1)求BF的长

21、；(2)求点C到平面AEC1F的距离.ABC - , OA4变式2如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是四边长为1的菱形，ABCOA面ABCD,OA2,.求点B到平面OCD的距离.变式3在正四面体ABCD中，边长为a,求它的内切求的半径类型二：其它种类的距离的计算（点到线，点到点）例3如图，在四锥OABCD中，底面ABCD是四边长为1的菱形,面ABCD,OA2,M为OC的中点，求AM和点A到直线OC的距离.举一反三1 .正三棱锥P-ABC高为2,侧棱与底面所成角为45°,则点A到侧面PBC的距离是A.4忑B.6<5C.6D.4、用2 .如图，已知正三棱柱ABCARG的底面边长为1,高为8,一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周.到达A点的最短路线的长为A.10B.20C.30D.40二、填空题：3 .太阳光照射高为J3m的竹竿时，它在水平地面上的射影为1m,同时，照射地面上一圆球时，如图所示