线代习题答案陈万勇版

1、线性代数习题解答陈万勇 习题一1.1 利用对角线法则计算下列三阶行列式. (1); 解：=2´(-4)´3+0´(-1)´(-1)+1´1´8-0´1´3-2´(-1)´8-1´(-4)´(-1) =-24+8+16-4=-4. (2); 解：=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc=3abc-a3-b3-c3.(3); 解：=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2=(a-b)(b-c)(c-a).(4). 解：=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx

2、-y3-(x+y)3-x3 =3xy(x+y)-y3-3x2 y-x3-y3-x3 =-2(x3+y3). 1.2 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数.(1)1 2 3 4; 解：逆序数为0(2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32.(3)3 4 2 1; 解：逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.(4)2 4 1 3; 解：逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.(5)1 3 × × × (2n-1) 2 4 × × × (2n); 解：逆序数为: 3 2 (1个

3、)5 2, 5 4(2个)7 2, 7 4, 7 6(3个)× × × × × ×(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, × × ×, (2n-1)(2n-2) (n-1个)(6)1 3 × × × (2n-1) (2n) (2n-2) × × × 2. 解：逆序数为n(n-1) : 3 2(1个)5 2, 5 4 (2个)× × × × × ×(2n-1)2, (2n-1

4、)4, (2n-1)6, × × ×, (2n-1)(2n-2) (n-1个)4 2(1个)6 2, 6 4(2个)× × × × × ×(2n)2, (2n)4, (2n)6, × × ×, (2n)(2n-2) (n-1个)1.3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 解：含因子a11a23的项的一般形式为：(-1)ta11a23a3ra4s,其中r、s是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. 所以含因子a11a23的项分别是(-1)ta11a23a

5、32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,(-1)ta11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42.1.4 计算下列各行列式. (1); 解：. (2); 解：. (3); 解： . (4). 解： =abcd+ab+cd+ad+1. 1.5 证明:(1)=(a-b)3;证明：=(a-b)3 . (2);证明：. (3);证明：(c4-c3, c3-c2, c2-c1得)(c4-c3, c3-c2得) . (4)=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);证明： =(a-b)(a-c

6、)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d). (5)=xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an . 证明：用数学归纳法证明. 当n=2时, , 命题成立. 假设对于(n-1)阶行列式命题成立, 即 Dn-1=xn-1+a1 xn-2+ × × × +an-2x+an-1, 则Dn按第一列展开, 有 =xD n-1+an=xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an .因此, 对于n阶行列式命题成立. 1.6 设n阶行列式D=det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋

7、转90°、或依副对角线翻转, 依次得 , , , 证明, D3=D . 证明：因为D=det(aij), 所以 . 同理可证. . 1.7 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式).(1), 其中对角线上元素都是a, 未写出的元素都是0; 解：（按第n行展开) =an-an-2=an-2(a2-1). (2)解：将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得, 再将各列都加到第一列上, 得=x+(n-1)a(x-a)n-1.(3);解：根据第6题结果, 有此行列式为范德蒙德行列式. . (4);解：(按第1行展开). 再按最后一行展开得递推公式 D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2,

8、 即D2n=(andn-bncn)D2n-2. 于是 . 而 , 所以 . (5) D=det(aij), 其中aij=|i-j|;解：aij=|i-j|, =(-1)n-1(n-1)2n-2. (6), 其中a1a2 × × × an¹0. 解：. 1.8 用克莱姆法则解下列方程组. (1) 解：因为, , , ,所以 , , , . (2). 解：因为 ， 所以, , , , .1.9 问l, m取何值时, 齐次线性方程组有非零解？解：系数行列式为 . 令D=0, 得 m=0或l=1. 于是, 当m=0或l=1时该齐次线性方程组有非零解. 1.10

9、问l取何值时, 齐次线性方程组有非零解？解：系数行列式为 =(1-l)3+(l-3)-4(1-l)-2(1-l)(-3-l)=(1-l)3+2(1-l)2+l-3. 令D=0, 得l=0, l=2或l=3. 于是, 当l=0, l=2或l=3时, 该齐次线性方程组有非零解. 习题二2.1 已知，求解： 3A-2B=3-2 =2.2 已知，且，求解： A+2X=B 2X=B-A X=(B-A)/2 B-A= X=2.3 计算下列各题（1）； （2）；（3） ； （4）解： (1) 当n=2时 2= 假设当n=k时 k= 当n=k+1 时 k+1=k= n= (2) = (3) 原式= （4） 原

10、式= = = 原式=3n-1 2.4 设，A是一个矩阵，B是矩阵，求AB与BA及 解： AB= ATBT 2.5 设A、B均为阶矩阵，且A为对称矩阵，证明也是对称矩阵 证： ()T=BTAT(BT)T=BTATB AT=A ()T=BTAB 即 也是对称矩阵2.6 求下列矩阵的逆矩阵（1）; （2）；（3）； （4） 解：(1) -1 (2) -1 (3) -1 (4) 2.7 求下列分块矩阵的逆矩阵（1） ； （2） 解：（1） 原式 -1 -1 -1 A -1= (2) -1 -1 A -12.8 已知，求 解： 2.9 利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵（1） ; （2） 解：（1） A-1

11、 (2) A-12.10 求下列矩阵的秩（1） ； （2） 解： （1） (2) 2.11 设方阵A满足，证明A与都可逆，并求它们的逆矩阵证： A2-A-2E=0 A(A-E)=2E A-1 (A-E)-12.12 解下列矩阵方程（1）；（2）；（3） 解：（1） (2) = =2.13 求的逆矩阵解： -1 -1 A-1习题三3.1解： (1).对系数矩阵A施以初等行变换，化为行最简形 即得原方程组的同解方程组 ，即，令,原方程组的同解方程组写成向量形式如下(2). 对系数矩阵A施以初等行变换，化为行最简形 即得原方程组的同解方程组 令原方程组的同解方程组写成向量形式如下(3). 则有(4)

12、. 即 3.2 解：(1). 对增广矩阵（A，b）施以初等行变换，化为行最简形 (A,b)= R(A)<R(A,b) 无解（2） . 即得原方程组的同解方程组 ， 令，原方程组的同解方程组写成向量形式如下（3） ，同解方程组为 ， 通解为 （4） ，即，令， 即 3.3解：（1）. 对增个矩阵B=（A，b）作初等变换化为行阶梯形 ，因此 时，R（A）<R(A,b),无解 时，R（A）=R（B）=1 且时，有唯一解 ， （2）.，有唯一解，有无穷多解， 3.4解;，当时，有解，通解为：3.5解：（1）. 由， 知线性无关 而， 则线性相关 其中是一个最大线性无关组 故可由线性表示（2

13、）假设可由线性表示， 由（1）可设 则可由线性表示 与矛盾 假设不成立3.6 解:对矩阵施以初等行变换，化为行阶梯形则等价.3.7解：由题意知则，而故.3.8 解： =(1) 时，线性无关(2) 时，线性相关 3.9解：（1）.，线性相关.（2）. ， 线性无关（3）. ， 线性相关3.10解：，时，线性无关3.11解;存在1，-1，1，-1使的线性组合为3.12证：， 又是线性无关的，故也是线性无关的.3.13解：（1） 秩为2，为一个最大无关组，也为一个最大无关组（2） 秩为2， 最大无关组为或3.14解;（1） （2）. 为最大无关组 3.15解： ， 3.16解：（1）. 即 令 则基

14、础解系为 ，（2） 基础解系为 3.17解：（1）. 所以，令，基础解系为， 特解为。（2）令基础解系为 ， 特解.3.18解：（1）因,而，,故得,即,利用P的可逆性，用左乘上式两端，则得.(2)由已知条件以及（1）知，从而.3.19证：， 则3.20解; 3.21证：由代入知，都是的解假设线性相关，则存在不全为0的n-r+1个数.由都为AX=0的解，则由的线性无关知：而，则同理可证：是线性无关3.22证：线性无关，有t个向量，故是AX=0的一组最大无关的解向量，即为基础解系。3.23解： 习题四4.1 解 记，设，因与都正交，所以，即是：，方程组为：，其基础解系为：，取即可。4.2解(1)

15、根据施密特正交化方法:令，故正交化后得: (2)根据施密特正交化方法令故正交化后得 4.3解(1) 该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵 (2) 第一个行向量非单位向量,故不是正交阵4.4证 因为是阶正交阵，故，故也是正交阵4.5 证 =4.6解 (1)故的特征值为当时,解方程,由 得基础解系所以是对应于的全部特征值向量当时,解方程,由 得基础解系 (2)故的特征值为当时，解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量.当时,解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量当时，解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量（3）因 所以得方阵的特征根为：， 当时，对应的特征向

16、量应满足齐次线性方程组： 即 ， 而 故对应的方程组为： ，得其一个基础解系为：， 所以方阵对应于特征根的全部特征向量为：， 其中为任意非零实数。 当时，对应的特征向量应满足齐次线性方程组： 即 ， 而 故对应的方程组为： ，得其一个基础解系为：， 所以方阵对应于特征根的全部特征向量为：， 其中为任意非零实数。4.7证因为，所以与的特征值相同.4.8 证 因为，所以，所以的特征值只能取2，-3.4.9 证与相似.存在可逆阵，使得，有因为， 4.10. 解，.4.11. 解与相似，与特征值相同，的特征值为2，3，4，5， 4.12解的特征值为1，2，3，特征值为1，2，3为3，2，3.所以4.1

17、3 解 已知3阶行列式的特征值为1，2，-3，而 ，4.14解(1)特征值 , (2)有三个线性无关的特征向量,故可角化 4.15（1）解：令得时， ；，；，将所得向量正交化、单位化得：令，则有4.15（2）解：时，对应矩阵的基础解系为正交化：单位化：，时，对应方程组的基础解系为，令，则有4.16 4.17解 条件说明(1,1,1)T=(3,3,3)T,即=(1,1,1)T是的特征向量,特征值为3.又，都是的解说明它们也都是的特征向量,特征值为0.由于线性无关, 特征值0的重数大于1.于是的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c , c¹0.属于0的特征向量:c11+c22, c1

18、,c2不都为0. 将0单位化,得h=(,)T.对，作施密特正交化,的h=(0,-,)T, =(-,)T.作则是正交矩阵,并且 . 解得. 4.18 因为它们相似于同一对角阵.习题五5.1 (1) f(x，y，z) =(x，y，z) ， A =.(2) .5.2 (1) f (x1，x2，x3) =；(2).5.3 (1) f(x，y)=；(2) f (x1，x2，x3，x4) =.5.4首先作出二次型的矩阵A=，做初等变换A.令r(A)=2，得到.5.5 (1) 解得: .所以可用正交变换将原二次型化成以下标准形:. (2) 解得: 所以可用正交变换将原二次型化成以下标准形:.5.6 (1) =2(x12+2x1x2+x22) +3x22 =2(x1+x2) 2+3x22令即， ，x=Cy，可逆变换矩阵,标准形为 g(y)=(2) 令则 = =. 5.7 f (x)的矩阵A=因为A的特征值等于1，2，5，所以| A | =18-2a2=10.得到a=2A=，E-A=，1=1，2=2，3=5，1E-A=，x1=，p1=；2E-A=，