示例三︰运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数

1、初中数学修订课程过渡期学与教材料示例三运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数一、课题基本资料学习范畴：数与代数学习重点：运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数。学生不须认识其原理。已有知识：1. 学生已在2000年版小学数学课程学习单位4N5公倍数和公因数中，学会透过列举两个数的倍数，求该两个数的公倍数及最小公倍数；以及透过列出两个数的因数求该两个数的公因数及最大公因数。学生已认识最大公因数和最小公倍数简称分别为“H.C.F.”和“L.C.M.”。2. 另外，学生已在2000年版小学数学课程学习单位4N2除法（二）中认识整除性，除数为2、5和10。3. 学生在初中数学修订课程学习单位1

2、基础计算的学习重点1.1中，认识4、6、8和9的整除性判别方法。4. 学生亦应已透过过渡期学与教材料，学习3的整除性判别方法。5. 学生在初中数学修订课程学习单位1基础计算的学习重点1.3中，认识正整数的质因数分解。备注：部分学生可能在小学阶段曾经学习运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数。规划建议：教师可把此课题融入初中数学修订课程学习重点1.4求最大公因数和最小公倍数的教学当中，教师亦可在其他合适地方引入此课题。二、建议教学内容1. 教师可与学生重温小学阶段所学的列举法。w 例1：运用列举法，求12和18的最大公因数。首先由小至大，列举12和18的所有因数，并圈出12和18的所有公因数

3、。12的因数： 4 1218的因数： 9 18从圈出的公因数中，可见6是12和18的最大公因数。w 例2：运用列举法，求12和18的最小公倍数。首先由小至大，列举12和18的首几个倍数，并圈出12和18的公倍数。12的倍数：12 24 48 60 18的倍数：18 54 从圈出的公倍数中，可见36是12和18的最小公倍数。2. 教师可与学生讨论上述列举法的优点和缺点，从而引入短除法。3. 教师与学生进行以下活动，探究如何运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数。探究活动：1. 运用整除性判别法，列出30和42的所有质数公因数（即同时为质数的公因数）。猜想30和42的最大公因数是甚么。2. 进

4、入网页/m/BKxeO3At。输入数值a = 30，b = 42，向右拉动红色滑杆一下，如下图。图中用橙色圈着的数2与30、42有甚么关系？_图中两对数15、21和30、42有甚么关系？_3. 再次向右拉动红色滑杆一下，如下图。图中用绿色圈着的数3与15、21有甚么关系？_ 4. 30和42同时除以质数公因数 _ 和 _后，得到用蓝色圈着的数 _和 _。由此可见，_ ´_ = _是30和42的其中一个公因数。用蓝色圈着的数 _ 和 _ 还有质数公因数吗？_我们有可能找到一个更大的30和42的公因数吗？（可能不可能）5. 尝试点选上图中的最

5、大公因数(HCF)的勾选框，30和42的最大公因数 = _ = _。6. 尝试点选上图中的最小公倍数(LCM) 的勾选框，30和42的最小公倍数 = _ = _。7. 与同学讨论网页如何得到30和42的最大公因数及最小公倍数。8. 利用上述网页，尝试找出其他两个数的最大公因数和最小公倍数。参考答案1. 30和42的质数公因数为2和3。30和42的最大公因数是2 ´ 3 = 6。2. 用橙色圈着的数2是30和42的质数公因数。15和21是30和42分别被2除的结果（商）。3. 用绿色圈着的数3是15和21的质数公因数。4. 30和42同时除以质数公因数 2 和 3 后，得到用蓝色圈着的

6、数 5 和 7 。由此可见，2 ´ 3 = 6是30和42的其中一个公因数。用蓝色圈着的数 5 和 7 还有质数公因数吗？没有。我们不可能找到一个比6更大的30和42的公因数。5. 30和42的最大公因数 = 2 ´ 3 = 6。6. 30和42的最小公倍数 = 2 ´ 3 ´ 5 ´ 7 = 210。教师注意事项：1. 以上探究亦可以纸笔形式进行。使用GeoGebra网页版的课业可减少学生的计算量，让学生集中认识短除法及其中的关系，及增加所探究的数的数量。唯无论以任何形式探究，学生均须运用相关数的整除性判别方法，进行短除法。2. 由于学生已学

7、习正整数的质因数分解，教师可将例子中的30和42以质因数形式表示如何求最大公因数及最小公倍数。22 ´ 3 ´ 52 ´ 3 ´ 72304233 ´53 ´ 73152157573. 教师须强调使用短除法时必须除尽所有公因数，即例子中的2和3，直至两个商没有大于1的公因数，如例子中的5、7，短除法方为完成。教师可用更多例子说明此要求。4. 教师可因应学生的能力，解释上述短除法的原理。唯解释并非课程所需。短除法是求两个并非互质的正整数的最大公因数和最小公倍数的一种便捷方法。短除法可帮助学生不须将两数进行质因数分解，也能求最大公因数及最

8、小公倍数。其原理是将两数同时除以质数公因数（即上述例子中的2和3），直至两个数没有质数公因数为止（即上述例子中的5和7）。因为5和7互质，30和42的最大的公因数是 2 ´ 3 = 6。学生亦可从2 ´ 3 ´ 5和2 ´ 3 ´ 7中，观察到2 ´ 3为两数的最大的公因数。对30和42，即2 ´ 3 ´ 5和2 ´ 3 ´ 7，其最小公倍数为2 ´ 3 ´ 5 ´ 7 = 210。5. 教师可向学生解释除数并非一定为质数，如上述例子中除数可以为6，而非分别为2和3

9、。除数为质数的目的是令短除法可以扩展至求3个或以上正整数的最小公倍数。6. 对于能力较佳学生，教师可与学生讨论除数2、3（即30和42的公因数）的先后次序会否影响结果，和若将30和42直接被公因数6除（而非分别被2和3除）时，对于计算最大公因数和最小公倍数有没有影响。7. 教师可比较短除法和列举法的优点和缺点。三、练习1. 运用短除法，求a和b的最大公因数和最小公倍数。ab最大公因数最小公倍数6151218203528562. 凯玲运用短除法计算60和90的最大公因数和最小公倍数。请在适当位置填上合适数。26090101560和90的最大公因数 = 2 ´ _ ´ _ =

10、_。60和90的最小公倍数 = 2 ´ _ ´ _ ´ _ ´ _ = _。3. 伟伦运用短除法计算48和84的最小公倍数。步骤如下：2488422442122148和84的最小公倍数 = 2 ´ 2 ´ 12 ´ 21 = 1008。伟伦的运算正确吗？若不正确，有甚么错误？请修正伟伦的错误。4. 运用短除法，求a和b的最大公因数和最小公倍数。ab最大公因数最小公倍数3045486072120110165参考答案1.ab最大公因数最小公倍数615330121863620355140285628562.2609033045510152360和90的最大公因数 = 2 ´ 3 ´ 5 = 30 。60和90的最小公倍数 = 2 ´ 3 ´ 5 ´ 2 ´ 3