多元函数微分法及其应用隐的

1、第五节隐函数的微分法一、主要内容二、典型例题三、同步练习四、同步练习解答第八章一、主要内容（一）由一个方程确定的隐函数的微分法F ( x, y) = 01.？问题的提出：F ( x, y) = 0y =f ( x)x2 +y + C = 0例如, 方程当 C < 0 时, 能确定隐函数;当 C > 0 时, 不能确定隐函数;问题1. 在何种条件下，能确定一个隐函数？在方程（或方程组）能确定隐函数时, 即F ( x, y) = 0F ( x, f ( x) º 0,y =f ( x)x Î I问题2. 在何种条件下， f ¢( x ) 存在？求导方法？

2、求导公式？dy = ? dxF ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内满足定理8.7 设函数具有连续偏导数;注意公式里的负号, y ) = 0; F ( x00Fy ( x0 , y0 ) ¹ 0则方程F ( x, y) = 0在点( x0 , y0 )的某邻域内能唯一y0 =f ( x0 ),确定一个函数 y = f (x) ,满足条件并有连续导数d y = - Fx 隐函数求导公式dxFy若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有二阶导数 :d2Fxx Fy 2 - 2Fx y Fx Fy + Fy y Fx 2y = -d x2F 3y求二阶导数时，要

3、注意y是x的函数！F ( x, y, z) = 02.定理8.8满足:若 F ( x, y, z) 在点( x0, y0, z0 )的某邻域内具有连续偏导数 ,F( x0 , y0, z0 ) = 0Fz ( x0 , y0, z0 ) ¹ 0则方程 F ( x, y, z) = 0 在点( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内可z0 =f ( x0 , y0 ),唯一确定一个函数 z = f (x , y)满,并有连续偏导数足注意公式里的负号¶z¶ x¶z¶ yFyF= -x ,= -FzFz¶z = - Fx 中注在公式&#

4、182; xFzFx : 将 F ( x, y, z )中的y, z暂视为常数，对x求偏导数；Fz :将 F ( x, y, z )中的x, y暂视为常数，对z求偏导数；(二)由方程组确定的隐函数微分法以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,即ìu = u( x, y)ìF ( x, y, u,v) = 0í v = v( x, y)íG( x, y, u,v) = 0îî由函数F、G 的偏导数组成的行列式J = ¶(F ,G) =FuGuFvGv¶(u,v)称为函数F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.定理8

5、.9设函数 F ( x, y, u,v), G( x, y, u,v)满足: 在点 P( x0, y0, u0 ,v0 ) 的某一邻域内具有连续偏导数； F ( x0 , y0, u0,v0 ) = 0,G( x0 , y0 , u0 ,v0 ) = 0;= ¶(F ,G)¹ 0J¶(u,v)PP则方程组 F ( x, y, u, v) = 0,G ( x, y, u,v) = 0在点( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一邻域内能唯一确定u0 = u( x0 , y0 ), v0 = v( x0 , y0 ),一对满足条件具有连续偏导数的函数u = u(

6、x, y), v = v( x, y),且有FxGxFvGv¶u = - 1 ¶(F ,G) = -1FuGuFvGv¶ xJ ¶( x, v )FyGyFvGv¶u = - 1 ¶(F ,G) = -1¶ yJ ¶( y, v )FuGuFvGvFuGuFxGx¶v = - 1 ¶(F ,G) = -1FuGuFvGv¶ xJ ¶( u, x )FuGu¶v = - 1 ¶(F ,G) = -1FyGyFuGuFvGv¶ yJ ¶(

7、u, y )注情形二的特例：若方程组F( x, y, z) = 0,G ( x, y, z) = 0满足定理8.9的条件,则¶(F ,G),= - 1d y¶( x, z)d xJd z = - 1 ¶(F ,G ) .J ¶( y, x)d x函数个数=方程个数;自变量个数=方程组所含变量个数方程个数二、典型例题d2yd yyx+ y= arctan，求x例1 已知 ln22d x2 .及d x解(方法1)公式法F ( x, y) = lnx2 + y2 - arctan y令x= 1 ln( x2 + y2 ) - arctany,2xy-x2 x

8、+ y 1 2xFx ( x, y) = 2 × x2 + y2 -=,x2 + y2则 y21 + ()xFx ( x, y) = x + y ,y - xF ( x, y) =,yx2 + y2x 2 + y2x= - x + y .d y = - Fxy - xd xFyyx求二阶导数时，要注意y是x的函数！d2 yFdx + yd(- x ) = -=()2d xFyd xy - xd x(1 + d y )( y - x) - ( x + y)(d y - 1)22+ y ) .= 2( xd xd x= -( y - x)2( x - y)3(方法2)复合函数求导法x2

9、+ y2 = arctan ylnx用此法求导数时， 要注意y是x的函数！1 ln( x2 + y2 ) = arctan y即2x两端同时对 x求导 ,得y¢x - y1 × 2 x + 2 yy¢ =1×1 + ( y )2x2x2 + y22xd y = x + y .x + yy¢ =xy¢ -y ,x - yd x(方法3)全微分法1 ln( x2 + y2 ) = arctan y一阶全微分形式不变性，2两端同时取全微分，得x1 ×11d( y )d( x2 + y2 ) =1 + ( y )2x2 + y22x

10、x1 × 2xd x + 2yd y =× xd y - yd xd y = x + y .1解得yx - yx2 + y2x2d x221+()x例2 设 z = z( x , y ) 由方程：F ( x + z , y + z ) = 0(1)yx所确定，证明： x ¶z + y ¶z = z - xy¶x¶y证方程（1）两边同时取全微分得d F ( x + z , y + z )yx= F ¢ × d( x + z ) + F ¢ × d( y +z )12yx= F ¢ 

11、15;d x + d( z ) + F ¢ ×d y + d( z )12yx= F ¢ ×d x + d( z ) + F ¢ ×d y + d( z )12yx= F ¢ × (d x + y d z - z d y ) + F ¢ × (d y + x d z - z d x )12y2x2¢¢zzFF¢F ¢ )d x + (F ¢ -F ¢)d y= 0-12=+(F() d z2112y2x 2yxzF1¢ - F

12、2¢ )(y2dz =dx +dyF ¢F ¢ 1y+ 2x¶ z¶ z¶ y¶ x( z F ¢ - F ¢) x221 F1¢ + F2¢yxzzF ¢ - F ¢F ¢ - F ¢12y 221¶z¶zx 2+ y ×故x ¶x + y ¶y = x ×F ¢F ¢F ¢F ¢1+21+2yxyxz( F1¢ + F2¢

13、) - xy ( F1¢ + F2¢ )yxyx=¢¢F1F+2yx= z - xy.xu - yv = 0， yu + xv = 1，例3设¶u¶u¶v¶v，和.¶x¶y¶x¶y求解（方法1）直接套公式（方法2）复合函数求导法将所给方程的两边对 x 求偏导数，并移项ì x ¶u - y ¶v = -u- yxxyïí¶x¶u¶x¶x¶v¶xJ = x2 + y2 ,

14、ï y+ x= -vî在J ¹ 0的条件下，解此方程组得- u- yx- u- v- yxyyu - xv ,= - xu + yv ,¶u = - v¶v =- yx+ y2¶xxyx2¶xxy+ y2x2x将所给方程的两边对 y 求偏导数，并解方程组得¶u = xv - yu ,¶v = - xu + yv .¶y+ y2¶y+ y2x2x2ì z =x 2y 2 ,+ 3 z+d yd zd 2 z例4 设í求,d xd xd x 2.222+ 2 y= 20

15、 ,î x分析本题目方程组中包含两个方程，故有两个函数.由题目知 y、z 是函数,x是自变量,故 y, z 均是由方程组确定的自变量x的一元函数.函数个数=方程个数;自变量个数=方程组所含变量个数方程个数的两端同时关于 x求对方程组中每一个方程导数 , 得解ì z =íx 2+ y 2 ,d z= 2 x + 2 y d y ,ì2+ 2 y 2+ 3 z 2 = 20 ,xîï d xd xíïî 2 x + 4 yd y + 6zd z= 0.d xd xd z求二阶导数时，要注意y是x的函数！d y

16、 =- x(1 + 6z),x=.解得y(1 + 3z)1 + 3zd xd x(1 + 3z) - x × 3 d zd2 z22dx= (1 + 3z)- 3 xd x2=) =(.dx 1 + 3zd x2(1 + 3z)(1 + 3z 2 )3设 u = f ( x, y, z ), ( x 2 , e y , z ) = 0, y = sin x,例5)，且 ¶ ¹ 0, 求 du .( f , 具有一阶连续偏导数¶zdxd u = ¶f + ¶f × dy + ¶fx y z解ux¶x

17、2;ydxd xd yxyx= cos x,d x由j ( x 2 , e y , z) = 0 ，两边对x 求导数, 得j ¢ × 2 x + j ¢ × e y d y + j ¢d z= 0123 d xd xd zd x¶z于是可得,d z1j 3¢(2 xj ¢ + esin x × cos x × j ¢ )= -12d xdu = ¶f + ¶f × d y + ¶f d z故¶x¶y d x¶z d

18、xd x= ¶f+ (cos x) ¶f) ¶f .- 1 (2xj¢ + esin x × cos x × j¢j3¢12¶x¶y¶z设 y =f ( x,t), 其中t = t( x, y) 由F( x, y,t) = 0例6所确定， f , F有一阶连续的偏导数， 求d y .d x解（方法1）由方程组确定的隐函数求导法ì y = f ( x, t )ì y = y( x)ít = t( x)íF ( x, y, t ) = 0î

19、îì y( x ) º f x, t( x )íF x, y( x ), t( x ) º 0 ,îìd y =d tf x +×d xftïd xíd yd ty,t都是x的函数ïFx+ Fy ×+ Ft ×= 0îd xd xìd y -× d t=ffïd x即txd xíd yd tïFy ×+ Ft ×= - Fxîd xd x- ft Ftfx- Fxd y =-

20、ft Fxfx Ft=.d xF +f F- fFt1Fyttyt（方法2）全微分法ìd y = d f ( x, t )ì y = f ( x, t )ídF ( x, y, t ) = 0由íF ( x, y, t ) = 0，得îd tîìï d y =f x d x +f tíïîFx d x + Fy d y + Ft d t = 0d y = fx Ft -ft Fx .ìd y - ft d t =fx d xFt +ft FyíFd xd y + F

21、 d t = -Fd xîytxx（方法3）复合函数求导法y ( f )xy =f ( x, t ),tyx× ( ¶t + ¶t × d y )d yf+f=d xxt¶x¶y d xQ t = t( x, y)由F ( x, y, t ) = 0所确定Fy= - ¶t¶t= - Fx ,¶x¶yFtFtf+ f × (- Fx - Fy × d y )d y =故xtFtFtd xd xd y =× (- Fx - Fy × d y )f+f

22、故xtd xFFd xttft Fy ) d y =ft Fx(1 +-fxFtd xFtfx Ft -ft Fxd y =.Ft +d xft Fy三、同步练习1.设 z = f ( x + y + z , x yz) , 求¶ z ,¶ x ,¶ x .¶ x¶ z¶ y设函数 x = x (u ,v), y = y (u ,v)在点(u,v) 的某一2.¶( x, y) ¹ 0邻域内有连续的偏导数,且¶(u,v)ì x = x(u,v)1) 证明函数组í y = y(u,v)在与

23、点 (u, v) 对应的点î( x, y) 的某一邻域内唯一确定一组单值、连续且具有u = u( x, y ) , v = v ( x, y ).连续偏导数的反函数2) 求 u = u( x, y ) , v = v ( x, y )对 x , y 的偏导数.sin y + ex - x y - 1 = 03.验证方程在 (0,0)点某邻域可确定一个单值可导隐函数d2 yd yy =f ( x),并求dx2x = 0x = 0dx¶ 2zx2 + y2 + z2 - 4z = 0,4.设2 .求¶ x¶ 2 zxz- ln=5.0, 求.设¶x

24、¶ yzy已知方程F( x , y) = 0,6.设F( u , v)具有连续偏导数,求dz .zzf= (+ vuvìux,), 其y 中f,g具有一阶连续设í7.2î g=-,x(uv ),y偏导数,求uy.y =( y, z = z是)由方程 z = x f(x + y )和)xx(8.设所0确定的函数 , 求d z . (99y, z )=( F ,x)d xu = (fx,x),e xy ,z有) 连续的一阶偏导数 ,9.设又函数 y =( y及 z = z (x分) 别由下列两式确定 :zsin td u . (2001x -òx-

25、y=y=2d t求,)extd x0四、同步练习解答z = f ( x + y + z , x yz) , 求¶ z ,¶ x ,¶ x .1.设¶ x¶ z¶ y解（方法1）f ¢ × ( yz + x y ¶z )¶z =f1¢ × (1 + ¶z )+2¶x¶x¶xf1¢ + yz f2¢1 - f1¢ - x y f2¢¶z =¶xf1¢× ( &#

26、182;x + 1 )+f ¢× ( yz ¶x + x y )1 =2¶z¶z1 - f1¢ - x y f2¢ f1¢ + yz f2¢¶x =¶zf ¢ × ( yz ¶x + xz )0 = f ¢× ( ¶x + 1 ) +21¶y¶yf1¢ + xz f2¢ f1¢ + yz f2¢¶x¶y= -（方法2）全微分法z =f ( x +

27、y + z , x yz)f2¢ × ( yz dx + xzdy + x yd z )d z = f1¢× ( dx + dy + dz )+解出dx :dx = - ( f1¢ + xz f2¢ )dy+ (1 -f1¢ - x y f2¢ )dzf1¢ + yz f2¢dx = - ( f1¢ + xz f2¢ )dy+ (1 -f1¢ - x y f2¢ )dzf1¢ + yz f2¢¶ x¶ xd y, d

28、 z 的系数分别是 ¶ y ,¶ z .¶ z ？如何用全微分法求问题¶ x¶ z¶ x .将d z进行整理 ，其中 d x的系数就是设函数 x = x (u ,v), y = y (u ,v)在点(u,v) 的某一2.¶( x, y)¶(u,v) ¹ 0邻域内有连续的偏导数,且ì x = x(u,v)1) 证明函数组í y = y(u,v)在与点 (u, v) 对应的点î( x, y) 的某一邻域内唯一确定一组单值、连续且具有u = u( x, y ) , v = v (

29、x, y ).连续偏导数的反函数2) 求 u = u( x, y ) , v = v ( x, y )对 x , y 的偏导数.令 F ( x, y, u,v) º x - x (u,v) = 0G( x, y, u,v) º y - y (u,v) = 0解 1)J = ¶ (F ,G) = ¶ ( x, y ) ¹ 0,则有¶ ( u,v )¶ ( u,v )由定理 3 可知结论 1) 成立.2) 求反函数的偏导数.ì x º x(u( x, y),v( x, y)í y º y(

30、u( x, y),v( x, y)î式两边对 x 求偏导数, 得1 = ¶ x × ¶ u + ¶ x × ¶ v¶ x¶ v¶ u¶ x¶ v¶ y¶ u¶ y0 = ¶ u × ¶ x+ ¶ v × ¶ x注意J ¹ 0,从方程组解得¶ x¶ v¶ x¶ u11¶ v = 1= - 1 ¶ y¶ u =

31、1 ¶ y ,1J¶ y¶ y¶ uJ ¶ u¶ xJ ¶ v¶ xJ00¶ v同理, 式两边对 y 求偏导数, 可得¶ u = - 1 ¶ x ,¶ v = 1 ¶ x¶ yJ ¶ v¶ yJ ¶ u计算极坐标变换 x = r cos , y = r sin 本题的应用:的逆变换的导数 .- r sinr coscossinJ = ¶ ( x, y) = r由于¶ (r, )¶ r = 1 &#

32、182; yx= 1 r cos= cos =所以¶ xJ ¶ x2 + y2r¶ = - 1 ¶ yy= - 1 sin = -J ¶ rx2 + y2¶ xr¶ r¶ yx¶ y =¶ y = x2 + y2同样有x2 + y2¶ r = 1 ¶ y¶ xJ ¶¶ = - 1 ¶ y¶ xJ ¶ rsin y + ex - x y - 1 = 03.验证方程在 (0,0)点某邻域可确定一个单值可导隐函数d2 yd

33、 yy =f ( x),并求x = 0dx2x = 0dx令 F ( x, y) = sin y + ex - x y - 1, 则解= cos y - x= ex- y, FxFy连续, F (0,0) = 0,Fy (0,0) = 1 ¹ 0由定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可导的隐函数 y =f ( x), 且x-ey= - Fxd yx = 0 = -= -10cos y - xx = 0Fdxx =0 , y =yd2 ydx2x = 0ex- yd= -()dx cos y - xx = 0 ,y = 0 , y ¢ = - 1( ex -

34、 y¢)(cos y - x) - (ex - y)(-sin y × y¢ - 1)= -x = 0y = 0y ¢ = - 1( cos y - x )2= -3 复合函数求导法导数的另一求法sin y + ex - x y - 1 = 0,两边对 x 求导cos y × y¢ + ex - y - x y¢ = 0两边再对 x 求导- sin y × ( y¢)2 + cos y × y¢ + ex- y¢ - y¢ - x y¢ = 0y = 0

35、, y¢ = -1令 x = 0 , 注意此时d2 y= -3dx2x = 0y¢x = 0= -ex - ycos y - x (0,0)= -1¶ 2zx2 + y2 + z2 - 4z = 0,4.设2 .求¶ x解 （方法1） 复合函数求导法¶z =2x + 2z ¶z - 4 ¶z = 0x2- z¶ x¶ x¶ x再对 x 求导¶ 2z¶ 2z¶z)2+ 2z- 4= 02+ 2(22¶ x¶ x¶ x1 + ( ¶

36、;z )2¶ 222= (2 - z)+ xz =¶ x¶ x22 - z(2 - z)3注意本方法中， 始终将 z 看作x与y的函数（方法2）公式法F ( x, y, z) = x2 + y2 + z2 - 4z用公式法求Fx时, 先不将z看作x与y 的函数！ 应暂视 y, z为常数设则Fx = 2x , Fz= 2z - 4¶z = - Fx = -2 x2z - 4x2 - z=¶ xFz对¶z =x2 - z两端关于 x 求偏导数，得¶x¶ z(2 - z)- x ( - ¶ x )¶

37、2z = ¶(2 - z)2 + x2x¶ x (2 - z )=¶ x2(2 - z)2(2 - z)3求二阶导数时，要视z是x, y的函数！¶ 2 zxz- ln=5.0, 求.设¶x¶ yzy: zdx - xdz - y × ydz - zdy = 0,解方程两端取全微分z2y2zzy 2 zdx +yz 2dy¶ zdz =,解得y 2 ( x + z )¶ xx + zz 2¶z=y ( x + z ) .¶ y¶z¶z¶y ( x + z)

38、- z × ¶y¶ 2 z¶z¶zx=¶y ( x + z ) = ¶y × ( x + z)2 .( x + z)2¶x¶ yxz 2=y( x + z )3 .已知方程F( x , y) = 0,6.设F( u , v)具有连续偏导数,求dz .zzf ( x, y) 是由方程设 z =解（方法1） 先求偏导数F ( x , y) = 0 确定的隐函数, 则zz¶zF1¢ × 1z F ¢z1x F1¢ + y F2¢= -F &#

39、162; × (- x ) + F ¢ × (- y )¶ x¶z¶ yz212z2F2¢ × 1z F ¢= -z= 2x F1¢ + y F2¢F1¢ × (- x ) + F2¢ × (- y )z2z2zx F1¢ + y F2¢dz = ¶z dx + ¶z d y =(F ¢dx + F ¢d y)故12¶ x¶ y（方法2） 全微分法对方程两边求全微分:

40、F ( x , y) = 0zzF ¢ × d( x) + F ¢ × d( y) = 021zzF ¢×( zdx - xdz) + F ¢ × ( zd y - ydz) = 012z2z2- xF1¢+ yF2¢ dz + F1¢dx +F2¢d y = 0z2zz(F ¢dx + F ¢d y)dz =12x F1¢ + y F2¢ìu =f (ux, v + y),7. 设í其中 f , g具有一阶连续&#

41、238;v = g(u - x,v2 y),偏导数,求uy.解（方法1）复合函数求导法对每一个方程关于 y求偏导数,f ¢× x u+ f ¢× (vì uy=+ 1),得12yyív= g ¢ × u+ g ¢î22 (2 yv vy + v).1yy解此关于uy , v y的二元一次方程组v 2 f2¢g2¢ + f2¢(1 - 2 yvg2¢ )uy =f ¢g¢ - (1 - xf ¢)(1 - 2 yvg¢

42、 ) ,得2112f2¢g1¢ + v 2 g2¢ (1 - xf1¢)=(1 - xf ¢)(1 - 2 yvg¢ ) -v yf ¢g¢ .1221ìu =íf (ux, v + y),g(u - x,v y),（方法2）全微分法2v =î取全微分对每一个方程两端同时f1¢ (u d x + x d u) +f2¢ (d v + d y),ì d u =得íî d v = g1¢ (d u - d x ) + g2¢(v 2 d y + 2vy