椭圆知识点总结与经典习题

1、.专业.专注.word可编辑圆锥曲线与方程-椭圆知识点.椭圆及其标准方程1 .椭圆的定义：平面内与两定点Fi, F2距离的和等于常数2a(> F1F2 )的点的轨迹叫做椭圆，即点集 M=P| |PFi|+|PF2|=2a , 2a>|FiF2|=2c;这里两个定点Fi, F2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2co(2a =怛干2时为线段F1F2, 2a < F1F2无轨迹)2.标准方程:焦点在x轴上:焦点在y轴上:22a2b222L 9a2 b21 (a>b>0)；=1 (a>b>0);注意：在两种标准方程中，总有a>b>0,焦点

2、F (±c, 0)焦点 F (0,±c)并且椭圆的焦点总在长轴上；(1)椭圆的顶点：Ai (-a, 0) , A2 (a, 0) , Bi (0, -b) , B2 (0, b)(2)线段A1A2, B1B2分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b, a和b分别叫做 椭圆的长半轴长和短半轴长。4.离心率(D我们把椭圆的焦距与长轴长的比 生，即£称为椭圆的离心率,2a a2 c j , b 兽记作 e(0<e<1) , e = = =1一(一). a ae =0是圆;e越接近于0 (e越小)，椭圆就越接近于圆；e越接近于1 (e越大)，椭圆越扁；注意

3、：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关小结一：基本元素(1)基本量：a、b、c、e、(共四个量)，特征三角形(2)基本点：顶点、焦点、中心(共七个点)(3)基本线：对称轴(共两条线),x0_y0: 1a2b222X0_y02,2ab5 .椭圆的的内外部22(1)点P(x0,y、)在椭圆1+4=1(a>bA0)的内部已a b22(2)点P(x°,y°)在椭圆与+4=1(a>b>0)的外部人a b6 .几何性质(1)点P在椭圆上，最大角HF1PF2)max=/F1B2F2,(2)最大距离，最小距离7 .直线与椭圆的位置关系(1)位置关系的判定

4、：联立方程组求根的判别式；(2)弦长公式：(3)中点弦问题：韦达定理法、点差法例题讲解： 一.椭圆定义：1 .方程 v;(x -2 f + y2 + v(x+2? +y2 =10化简的结果是2 .若AABC的两个顶点A(-4,0 ),B(4,0 ), &ABC的周长为18,则顶点C的轨迹方程是223.已知椭圆、+L=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为169二.利用标准方程确定参数221 .若方程上 + 上 =1 (1)表示圆，则实数k的取值是.5-k k-3(2)表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 .(3)表示焦点在y型上的椭圆，则实数k的取值范围是.

5、(4)表示椭圆，则实数k的取值范围是.2 .椭圆4x2+25y2 =100的长轴长等于,短轴长等于,顶点坐标是，焦点的坐标是，焦距是 二离心率等于,223.椭圆'十匕=1的焦距为2,则m=。4 m4 .椭圆5x2 +ky2 =5的一个焦点是(0,2),那么k =。三.待定系数法求椭圆标准方程1 .若椭圆经过点(-4,0) , (0,-3),则该椭圆的标准方程为 。2 .焦点在坐标轴上，且a2 =13, c2 =12的椭圆的标准方程为 3 .焦点在x轴上，a:b=2:1, c = 76椭圆的标准方程为 4 .已知三点P (5, 2)、匕(一6, 0)、F2 (6, 0),求以F1、F2为

6、焦点且过点P的椭圆的标准方程；变式：求与椭圆4x2 +9y2 =36共焦点，且过点(3, -2)的椭圆方程。四.焦点三角形221.椭圆L十匕=1的焦点为匕、F2, AB是椭圆过焦点F1的弦，则AABF2的周长是。9252.设F1, F2为椭圆16x2 +25y2 =400的焦点，P为椭圆上的任一点，则&PF1F2的周长是多少？ APF1F2的面积的最大值是多少？223.设点P是椭圆十匕=1上的一点,匕12是焦点,若/F1PF2是直角,则AF1PF2的面积25 16为。.专业.专注.变式：已知椭圆9x2 +16y2 =144,焦点为Fi、F2 , P是椭圆上一点.若/FiPF2=60&#

7、169;,求APFiF2的面积.五.离心率的有关问题2211 .椭圆2+ L = 1的离心率为1,则m =4m22 .从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为 120°,则此椭圆的离心率e为3 .椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为 4 .设椭圆的两个焦点分别为Fj、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若FFE为等 腰直角三角形，求椭圆的离心率。5 .在4ABC中，/A = 3°°,| AB|=2,S&bc =43 .若以A, B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆 的离心率e_.六、最值问题：21、已知椭圆 工+ y2=1, A

8、(1, °), P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值最小4值。22.椭圆工+ y2 =1两焦点为、F2,点P在椭圆上，则|PF1|PF2|的最大值为4七、弦长、中点弦问题1、已知椭圆4x2 +y2 =1及直y = x + m线.(1)当m为何值时，直线与椭圆有公共点？(2)若直线被椭圆截得的弦长为 名”，求直线的方程.522已知椭圆±+y2=1 ,2(1)求过点(1,0)且被椭圆截得的弦长为2行的弦所在直线的方程(2)求过点P.i1)且被P平分的弦所在直线的方程；2 2同步测试1已知曰(-8, 0), F2(8, 0),动点P满足|PF1|+|PF2|=16 ,则点P的轨

9、迹为()A圆B椭圆 C线段D直线222、椭圆二-工=1左右焦点为F1、F2, CD为过F1的弦，则ACDF1的周长为169 23已知方程+一=1表示椭圆,则k的取值范围是()1k 1kA -1<k<1B k>0C k *d k>l 或 k<-l4、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为10,短轴长为6(2)长轴是短轴的2倍，且过点(2, 1)(3)经过点(5, 1), (3, 2) 225.椭圆t% = i(a >b a 0)的左右焦点分别是 曰、F2,过点F1作x轴的垂线交椭圆于P点 a b若/FFF2=60。，则椭圆的离心率为 226已知椭圆的方程

10、为 土+L=1 P点是椭圆上的点且/PF2=60，求APFE的面积 437.若椭圆的短轴为AB,它的一个焦点为F1,则满足4ABF1为等边三角形的椭圆的离心率为22P到它的右焦点的距离是=8,弦AB过点F1 ,则8.椭圆工+匕=1上的点P到它的左焦点的距离是12,那么点 100 36229.已知椭圆 勺+匕=1(a >5)的两个焦点为F1、F2,且F1F2 a 25ABF2的周长10、2222椭圆7 V1与椭圆于心0)有word可编辑(D)以上都不对(D)有相等的长轴、短轴(A)相等的焦距(B)相同的离心率(C)相同的准线222211、椭圆 X-+j=1 与+11=1 (0<k&l

11、t;9)的关系为259925(A)相等的焦距(B)相同的的焦点(C)相同的准线2212.点P为椭圆x-+匕=1上的动点 ,后 为椭圆的左、右焦点，则而,而 的最小值为 2516：,时点P的坐标为.感受高考1.分别过椭圆x2 y21+ b2=1(a>b>0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线11、L它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是()x2y22.椭圆而 十 £=1的焦点为F1、F2,椭圆上的点P满足/FPF2= 60 °则FFE的面积是（）64 ：3A.391、B. 3C.一364D.一33.已知椭圆E的短轴长为6,焦点F到长轴的一个端点

12、的距离等于 9,则椭圆E的离心率等于（）4已知点Fx2 y2A分别是椭圆了+?1（a>b>0）的左焦点、右顶点，B（0, b）满足由AB =0,则椭圆的离心率等于（45TBr231cr2K+1Dr25.已知椭圆'+匕=142A. 3B. 2C.D. 06.已知圆（x+ 2）2+y2 = 36的圆心为 M设A为圆上任一点，N（2,0）,线段AN的垂直的左右焦点分别为Fl、F2,过F2且倾角为45。的直线l交椭圆于A、B两点，以下结论中：AABFi的周长为8;原点到l的距离为1;|AB|=8；正确结3论的个数为（）平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是（A.圆B.椭圆C.双曲线D

13、.抛物线x2+y2 = b2的两条切线，切点分别为7.过椭圆C: x；+ y2=1（a>b>0）的一个顶点作圆a2 b2A, B,若OB= 90 O(为坐标原点)，则椭圆C的离心率为8若椭圆工:+二=1(a>b>0)与曲线x2+y2 = a2b2无公共点，则椭圆的离心率e的取值 a2 b2上，则sinA+sinCsinB范围是9 .已知4ABC顶点A( 4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆上+ =1 25 910 .已知椭圆C: j+y；=1(a>b>0)的长轴长为4.a2 b2若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y = x+ 2相切求椭圆C的焦点坐标;11 .椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴，焦点Fi, F2在x轴上，离心率e=1.求椭圆E的方程；22两种标准方程可用一般形式表示：=1或者 mx2