一元一次不等式的解法(提高)知识讲解

1、一元一次不等式的解法（提高）知识讲解【学习目标】1 .理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；2 .能够熟练解一元一次不等式；3 .掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.【要点梳理】要点一、一元一次不等式的概念只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如,2-x>50是一个一元一次不等式.3要点诠释：（1） 一元一次不等式满足的条件：左右两边都是整式（单项式或多项式）；只含有一个未知数；未知数的最高次数为1.（2） 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1, “左边”和“右边”都是整式.不同点：一元一次

2、不等式表示不等关系，由不等号“V”、"W”、“2”或连接，不等 号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“=”连接，等号没有方向.要点二、一元一次不等式的解法1 .解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式.2 . 一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：x<a （或x>a）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项: （4）化为（或的形式（其中aWO）： （5）两边同除以未知数的系数，得到不 等式的解集.要点诠释：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运

3、用.（2）解不等式应注意：去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项：移项时不要忘记变号：去括号时，若括号前而是负号，括号里的每一项都要变号；在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变.要点三、不等式的解及解集1 .不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集.要点诠释：不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围不等式的解集是一个集合，是一个范围.其含义：解集中的每一个数值都能使不等式成立：能够使不等式成立的所有数值都在解集中3,不等式的解集的表示方法(1)用最简的不等式表示:一般地

4、，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范 围，这个范围可用最简单的不等式来表示.如：不等式X-2W6的解集为工8.(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个 解.如图所示：力。xv。xWa1>匚AI1aaaa要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注 意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向.(1)确定“边界点”：若边界点是不等 式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈：(2)确定“方向”：对边 界点a而言，x>a或x>a向右画：对边界点a而言，xa或xWa

5、向左画.注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点.【典型例题】类型一、一元一次不等式的概念眇 1.下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？为什么？1 3(1) X >0(2) ->-1(3) X >2(4) x + y > -3(5) x = -lx【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断.【答案与解析】解：(1)是一元一次不等式.(2) (3) (4) (5)不是一元一次不等式，因为：(2)中分母中含 有字母，(3)未知数的最高次数不是1次，(4)不等式左边含有两个未知数，(5)不是不等 式，是一元一次方程.【总结升华】一元一次不等式的定义主要由

6、三部分组成：不等式的左右两边分母不含未知 数：不等式中只含一个未知数：未知数的最高次数是1,三个条件缺一不可.类型二、解一元一次不等式2.求不等式°.4X - 1 -203 。-02x的非负整数解,并把它的解在数轴上表 0.520.03示出来.【思路点拨】首先应对不等式的左右代数式化简，使得分子、分母上的小数化成整数，然后 根据不等式的性质2去掉分母等进行求解不等式，再在解集中求出符合条件的非负整数.【答案与解析】解：原不等式可化为：士三丝-1二口殳子去分母， 523得 6 (4x- 10) - 15 (5-X)W10 (3 - 2x)去括号，得 24x - 60 - 75+15xW

7、30 - 20x移项，得 24x+15x+20xW30+60+75合并同类项，得5%W165把系数化为1，得xW笙，59解集x忘空的非负整数解是：0, 1, 2,59数轴表示是：J一 Li_IL r。I 谭 4 5【总结升华】本题主要考查了不等式的解法，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据 不等式的基本性质.举一反三：3 2 x【变式1】解不等式：-(l)-2-x<22 3 4【答案】解：去括号，得二一 1 3 XV243移项、合并同类项得：一二x<64系数化1，得x>8故原不等式的解集是x>-8.【变式2】代数式1-二工的值不大于=2工的值，求X的范围. 23【答

8、案】3v - 11 - 9v解：根据题意得：解不等式1-三"w一23去分母得：6-3 (3x-l) W2 (l-2x),去括号得：6 - 9x+3W2 - 4x,移项得：4x - 9xW2 - 6 - 3,合并同类项得：-5xW-7,解得：工上. 5E'B.m为何值时，关于x的方程：土一处4=x-网的解大于1? 632【思路点拨】从概念出发，解出方程(用m表示x),然后解不等式.【答案与解析】解：x-l2m+2=6x-l5m+35x=3m-l3m - 1x =53m - 1 1由>15解得m>2【总结产华】此题亦可用x表示m,然后根据x的范围运用不等式基本性质推导

9、出m的范围.举一反三：2x m 2 X【变式】已知关于x方程x-一=二一的解是非负数，m是正整数，则m= . 33【答案】1或2.4. (2016 杭州模拟)若关于x, y的二元一次方程组，2"片一了"2的解满足x-y>-3.5,求出满足条件的m的所有正整数解.【思路点拨】先解出方程组再解不等式.【答案与解析】2x4-v= - o解：由方程组一 2的两个方程相减得：x - y= - 0.5m - 2、x+2y=4/ - 05m - 2> - 3.5,Am<3,.满足条件的m的所有正整数解为m=l, m=2.【总结升华】本题考查了巧解二元一次方程组，有时根据

10、具体问题，可以不必解出x,y的 具体值,能得出关于m的不等式是解此题的关键.类型二、不等式的解及解集V 5.若关于x的不等式x« a只有三个正整数解，求a的取值范围.【思路点拨】首先根据题意确定三个正整数解，然后再确定a的范闱.【答案】3<a<4.【解析】解：.不等式x< a只有三个正整数解，三个正整数解为：1, 2, 3,3 < a < 4,【总结升华】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好三个正整数 解.举一反三：【变式】已知x< a的解集中的最大整数为3,则a的取值范围是.【答案】3<a<4.类型四、逆用不等式的解集C 6.若关于x的不等式mx > n的解集为x <之，则关于x的不等式(2m - n)x + m -5n > 0 的解集.【思路点拨】先根据第一个不等式确定m,n的关系或符号，再代入第二个不等