平行四边形及特殊的平行四边形

1、平行四边形 与特殊的平行四边形一.选择题共20小题1. 2021?以下判断错误的选项是A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形B. 四个角都相等的四边形是矩形C. 四条边都相等的四边形是菱形D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形分析根据平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的判定以与正方形的判定对各选 项分析判断即可得解.解答解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；B、四个角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确. 应选D.点评此题考查了正

2、方形的判定，平行四边形、矩形和菱形的判定，熟练掌握各四 边形的判定方法是解题的关键.2. 2021 ?江以下命题中，真命题是A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形分析A、根据矩形的定义作出判断；B、根据菱形的性质作出判断；C、根据平行四边形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断.解答解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；D、对角线互相垂直平分且相等

3、的四边形是正方形；故本选项错误； 应选C.点评此题综合考查了正方形、矩形、菱形与平行四边形的判定.解答此题时，必 须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系.3. ( 2021 ?)如图，正方形ABCD的面积为1，那么以相邻两边中点连线EF为边正方形 A.； "B. 2 . p.5+1 D . 2 W分析由正方形的性质和条件得出BC=CD= , 1=1 , / BCD=90 , CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长， EFGH的周长.CE=CF=1 ,得出即可得出正方形解答解：正方形ABCD的面积为1 , BC=CD= =1，/ BCD=90 ,/ E、 F分

4、别是BC、CD的中点， CE丄 BC丄,CF=LCD=L,2 2J 22 CE=CF CEF是等腰直角三角形， EF= >CE=,2正方形EFGH的周长=4EF=4<乎=2也;应选：B.点评此题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，由等腰直角三角形的性质求出EF的长是解决问题的关键.4. ( 2021 ?)如图，在正方形ABCD中，连接BD,点0是BD的中点，假设 M N是边 AD上的两点，连接MO NO,并分别延长交边BC于两点M 、N',那么图中的全等三 角形共有()J一讨VT>(/8cA. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对

5、分析可以判断 AB医 BCD MD M BO NOD N' OB MO>N M ON 由此即可对称结论.解答解：四边形ABCD是正方形， AB=CD=CB=AD / A=Z C=Z ABCM ADC=90 ,AD/ BC在 ABD和 BCD中，:,I AD二CD AB医 BCD/ AD/ BC M MDON M BO在 MOD和 M OB中，BO ZM0D=Z.H.J" OB， MD越 M BQ 同理可证厶 NO坠 N OB / MO>N M ON 全等三角形一共有4对.应选C.4_V D73¥AfC点评此题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题

6、的关键是熟练掌握 全等三角形的判定方法，属于根底题，中考常考题型.5. 2021 ?如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG,其中E点在AD上.假设那么/ B的度数为何？A. 50 B . 55 C . 70 D . 75分析由平角的定义求出/ CED的度数，由三角形角和定理求出/ D的度数，再由平 行四边形的对角相等即可得出结果.解答解：四边形CEFG是正方形， / CEF=90 ,/ / CED=180 -/ AEF- / CEF=180 -15° 90° =75°, / D=180 - / CED- / ECD=180 -75°- 35

7、76; =70°,四边形ABCD为平行四边形， / B=Z D=7C°平行四边形对角相等.应选C.点评此题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形角和定理等知识；熟 练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形角和定理求出/ D的度数是解决问题的 关键.6. 2021 ?呼和浩特如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH,其中E、F、G分别在AB、BC、FD 上 .那么小正方形的周长为A.“ ' B.8分析先利用勾股定理求出DF,再根据 BE可 CFD得EF：DPDC求出EF即可解决问题解答解：四边形ABCD是正方形，面积为24 , BC=CD=2

8、T / B=Z C=90 ,四边形EFGH是正方形，EFG=90 ,EFB亡BEF=/ZZZDFC=90 ,/ BEF亡 EFB=90 ,DFC / / EBF=/ C=90 , CFDBEFEFBFDF fDCCF=P, DF=/ BF=正方形EFGH的周长为7 . ( 2021 ?)女口图，/ AEB2 CFD=90 ,点评此题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正 确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型.在正方形ABCD中， ABE和 CDF为直角三角形，AE=CF=5 , BE=DF=12 ,贝U EF 的长是(A. 7 B . 8 C

9、 . 7 ： D. 7 j分析由正方形的性质得出 / BAD=/ ABCM BCDM ADC=90 , AB=BC=CD=AD,由 SSS 证明 AB妾 CDF 得出/ ABEM CDF 证出/ ABEM DAGM CDFM BCH 由 AAS 证 明 ABE ADG 得 出 AE=DG, BE=AG ,同 理：AE=DG=CF=BH=5 , BE=AG=DF=CH=12 ,得 出EG=GF=FH=EF=7 ,证出四边形EGFH是正方形，即可得出结果.解答解：如下列图：/四边形ABCD是正方形， M BADM ABCM BCDM ADC=90 ,AB=BC=CD=AD, M BAE+M DAG

10、=90 ,在 ABE和 CDF中， ABE CDF( SSS), M ABEM CDF/ M AEBM CFD=90 , M ABE+M BAE=90 , M ABEM DAGM CDF同理：M ABEM DAGM CDFM BCH, M DAGM ADGM CDFM ADG=90 ,即 M DGA=90 ,同理：M CHB=90 ,在 ABE和 ADG中，rZABE=ZDAG 二ZDGA二90“， ABE ADG( AAS), AE=DG BE=AG,同理:AE=DG=CF=BH=5 , BE=AG=DF=CH=12 , EG=GF=FH=EF=425=7 ,/ M GEH=180 -90&

11、#176; =90° ,四边形EGFH是正方形， EF=EG=7 .】；应选：C.点评此题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方 形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键.8. ( 2021 ?)如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上 的点E处，折痕为GH.假设BE: EC=2:1，那么线段CH的长是()A. 3 B . 4 C . 5 D . 6分析根据折叠的性质可得DH=EH,在直角 CEH中，假设设CH=x ,那么DH=EH=9 - x , CE=3cm ,可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长.解答解：由题意设 C

12、H=xcm ,贝U DH=EH= ( 9 - x) cm,/ BE EC=2 : 1 , CE=BC=3cm在 Rt ECH 中,EH =EC +CH ,即(9 - x ) 2=3 2+x 2,解得：x=4 ,即 CH=4cm .点评此题主要考查正方形的性质以与翻折变换，折叠问题其实质是轴对称性质： 对应线段相等，对应角相等.找到相应的直角三角形，利用勾股定理求解是解决此 题的关键.9 . ( 2021 ?)以下关于矩形的说法中正确的选项是()A.对角线相等的四边形是矩形B. 矩形的对角线相等且互相平分C. 对角线互相平分的四边形是矩形D. 矩形的对角线互相垂直且平分分析根据矩形的性质和判定定

13、理逐个判断即可.解答解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误； 应选B.点评此题考查了矩形的性质和判定的应用，能熟记矩形的性质和判定定理是解此 题的关键.10 . ( 2021 ?)以下说法： 三角形的三条高一定都在三角形 有一个角是直角的四边形是矩形 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 两边与一角对应相等的两个三角形全等 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形其中正确的个数有()A. 1个 B. 2个

14、C. 3个 D. 4个分析根据三角形高的性质、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判 定方法、平行四边形的判定方法即可解决问题.解答解：错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外. 错误，理由：有一个角是直角的四边形是矩形不一定是矩形，有三个角是直角的 四边形是矩形. 正确，有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 错误，理由两边与一角对应相等的两个三角形不一定全等. 错误，理由：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形有可 能是等腰梯形.正确的只有，应选A.点评此题考查三角形高，菱形、矩形、平行四边形的判定等知识，解题的关键是 灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型.11

15、. ( 2021 ?)矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如下列图，点B的坐标为(3, 4),)C. ( 3, J)D. ( 3 , 2)AB上，当 CDE的周长最小时，点E的坐标为()分析如图，作点D关于直线AB的对称点H,连接CH与AB的交点为E,此时 CDE 的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题.解答解：如图，作点D关于直线AB的对称点H,连接CH与AB的交点为E,此时 CDE的周长最小. D (学，0) , A ( 3 , 0),二 H<,0),直线CH解析式为y - _Lx+4 ,g x=3 时，y=,3点E坐标(3 ,3点评此题考查矩形的性

16、质、坐标与图形的性质、轴对称-最短问题、一次函数等 知识，解题的关键是利用轴对称找到点E位置，学会利用一次函数解决交点问题， 属于中考常考题型.12 . ( 2021?)如图，在矩形 ABCD 中，AD=6 , AE! BD 垂足为 E, ED=3BE ,点 P、Q 分别在BD, AD上，贝U AP+PQ的 最小值 为()A. 2 '二B. ?C. 2 JD. 3 .分析在Rt ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的长，设A点关于BD的对称 点A ，连接A D,可证明 ADA 为等边三角形，当PQL AD时，那么PQ最小，所以 当A Q! AD时AP+PQ最小，从而可求得AP+PQ

17、的最小值等于DE的长，可得出答案.解答解：设 BE=x，那么 DE=3x，/四边形ABCD为矩 形，且AE! BD ABE DAE2 2 2 AE =BE? DE，即 AE =3x ， AE=R：x，2 2 2 2 2 2在Rt ADE中，由勾股定理可得AD =AE +DE ,即6 = ( T；x)+ ( 3x )，解得x=：, AE=3 DE=3 逅,如图，设A点关于BD的对称点为A ,连接A D, PA ,贝U A A=2AE=6=AJDAD=A D=6 AA d是等边三角形，/ PA=PA ,当A 、P、Q三点在一条线上时，A P+PQ最小，又垂线段最短可知当PQL AD时，A P+PQ

18、最小， AP+PQ=A P+PQ=A Q=DE=3 '：,应选D.点评此题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A的对称点，从 而确定出AP+PQ的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明 A DA是等边三角 形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算.BD DE/ AC 假设13 . ( 2021?)如图，矩形ABCD的对角线 AC、BD相交于点O, CE/ ( )分析由四边形ABCD为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到OD=OC,再利用两 对边平行的四边形为平行四边形得到四边形DECO为平行四边形，利用邻边相等的平 行四边形为菱形得到四边形DECO为菱形，根据AC的长求出O

19、C的长，即可确定出其 周长.解答解：四边形ABCD为矩形， OA=OC OB=OD,且 AC=BD, OA=OB=OC=OD=2/ CE/ BD DE/ AC四边形DECO为平行四边形，/ OD=OC四边形DECO为菱形， OD=DE=EC=OC=2那么四边形OCED的周长为2+2+2+2=8 ,应选B点评此题考查了矩形的性质，以与菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解 此题的关键.14 . ( 2021 ? 威海)如 图，在矩形 ABCD中，AB=4 , BC=6，点 E为BC的中点，将 ABE 沿AE折叠，使点B落在矩形点F处，连接CF,那么CF的长为()分析连接BF，根据/ FE=BE

20、=EC AE=z| _.，=5 , / BFC=90 ,应选：D.5三角形的面积公式求出BH,得到BF，根据直角三角形的判定得 到/ BFC=90 , 根据勾股定理求出答案.解答解：连接BF, BC=6 点E为BC的中点， BE=3又/ AB=4点评此题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它 属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是 解题的关键.15 . ( 2021 ?)如图，矩形ABCD中，AD=2 , AB=3 ,过点A, C作相距为2的平行线段AE, CF,分别交CD, AB于点E, F,那么DE的长是()A.' B. L

21、C. 1 D . L6 6分析过F作FFU AE于H,根据矩形的性质得到AB=CD, AB/ CD 推出四边形AECF 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AF=CE，根据相似三角形的性质得到 匕丄，于是得到AE=AF，列方程即可得到结论.AF_FH解答解：过F作FH! AE于H,四边形ABCD是矩形， AB=CD AB/ CD/ AE/ CF,四边形AECF是平行四边形， AF=CE DE=BF AF=3- DE, AE= “ ，/ / FHA2 D=Z DAF=90 , / AFH+Z HAF2 DAE+/ FAH=90 , / DAEM AFH AD0 AFH AE=AF、=3 - D

22、E,应选D.点评此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形 的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键.16 . ( 2021 ?)如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC 的长分别是6和8 ,那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是()A. 4.8 B . 5 C . 6 D . 7.2分析首先连接0P,由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得0A=0D=5, AOD 的面积，然后由 S aod=Sa aop+S dopOA? PE+OD? PF 求得答案.解答解：连接op,/矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8

23、 ,-S 矩形 abcd=AB ? BC=48 , OA=OC, OB=OD, AC=BD=10 , OA=OD=5Sa acd=-S 矩形 abcd=24 ,2 Sa aod=SA ACD=12 ,21 1Sa aod=S aop+S dop=-OA?PE+丄 0D?PF=_ X 5X PE+X 5X PF=丄一 (PE+PF) =12 ,22222解得：PE+PF=4.8点评此题考查了矩形的性质以与三角形面积问题.此题难度适中，注意掌握辅助 线的作法以与掌握整体数学思想的运用是解题的关键.17 . 2021 ?资阳如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O,且EG/ BC 将矩形折

24、叠，使点C与点0重合，折痕MN恰好过点G假设AB=."，EF=2 , / H=120 , 那么DN的长为DrA.亠无 2- 7 分析延长EG交DC于P点，连接GC FH,那么 GCP为直角三角形，证明四边形0GCM 为菱形，那么可证0C=0M=CM=0G=：气，由勾股定理求得GP的值，再由梯形的中位线定 理CM+DN=2GP,即可得出答案.解答解：长EG交DC于P点，连接GC、FH;如下列图： GCP为直角三角形，/四边形EFGH是菱形，/ EHG=120 , GH=EF=2/ 0HG=6° ,EGL FH, OG=GH? sin60 ° =2X由折叠的性质得：C

25、G=OG£，OM=CM / MOG/ MCG PG=严，/ OGI CM / MOG/ OMC=180 , / MCG/ OMC=180 , OMZ CG四边形OGCM为平行四边形，/ OM=C,M四边形OGCM为菱形， CM=OG= ；,根据题意得：PG是梯形MCD N的中位线， DN+CM=2PG= ',， DN= _ :-二应选：C.Dr点评此题考查了矩形的性质、菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、梯形中 位线定理、三角函数等知识；熟练掌握菱形和矩形的性质，由梯形中位线定理得出 结果是解决问题的关键.18 . ( 2021 ?)如图，以矩形ABCD的A为圆心，AD长为半径画弧，交 AB于F点；再 以C为圆心，CD长为半径画弧，交AB于E点.假设AD=5 , CD，那么EF的长度为何？分析连接CE，可得出CE=CD，由矩形的性质得到BC=AD，在直角三角形BCE中，利 用勾股定理求出BE的长，由AB - AF求出BF的长，由BE- BF求出EF的长即可.解答解：连接CE,贝U CE=CD亠,BC=AD=5 , BCE为直角三角形， BE=又/ BF=A- AF=2上-5=Z EF=BE- BF=2点评此题考查了矩形的性质，以与勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解此题的关19.( 2021 ?)如图，矩形 ABCD 的