(完整版)必修4大题：三角综合和向量综合含答案word

1、高一必修 4 三角函数和向量大题训练（晓出）一、三角函数的化简和求值问题：学习要求： 这是基本功， 也是高考的第一大道题目，务必要拿分；公式要默写记忆，特别是“奇变偶不变，符号看象限”；解题方法要把握“高次降低次（用二陪角公式） 、不同名化同名” （和差公式的逆向使用、构造法求值、平方法求值） 、解方程思想（知一求二） ；指定范围和不指定范围求值问题。1(本题 12 分 ) f ( x) 2 sin xcos xcos2 x sin 2x ，求 (1)f (x) 最小正周期；(2) f (x) 最大值以及相应的 x 值；1解答：（ 1） T=；（ 2） x=k+时， f(x)| max= 2

2、.82（本小题满分 12 分）已知函数 fx2 x2 3 sinxcosx1.求：( )2sin（ 1） f (x) 的最小正周期； （ 2） f ( x) 的单调递增区间； （ 3） f (x) 在 0, 上的最值 .2解：（）因为fx)2sin2 x2(1 cos 2x3 sin 2x2sin( 2x所以 f ( x) 的最小正周期2T223 sin x cos x123 sin xcos x1cos2x 2)2,6.（）因为f ( x) 2 sin( 2x) 2,6所以由 2k2x2k(kZ ),262得 k6xk(kZ)3所以 f ( x) 的单调增区间是 k, k( k Z ).63

3、（）因为0x,所以2x65 .1266所以sin( 2x)1.26所以 f ( x)2 sin(2 x) 21,4.6即 f ( x) 的最小值为1，最大值为4.（2010 年） 3（本小题满分14 分）设函数 fx 3sinx6， 0， x,，且以为最小正周期2（ 1）求 f 0；（2）求 fx的解析式；（ 3）已知 f4129 ，求 sin的值53.解：（ 1）由已知可得：f (0)3sin32，即 26（ 2） f ( x) 的周期为224故 f ( x)3sin( 4x)（ 3） f ( a( a6) 3sin 4)63sin( a) 3cosa4124122由已知得：3cos a9

4、即 cos a355 sin a1cos2 a1(3)24故 sin a 的值为4 或455554(本题 12 分 )已知向量 a= cos, sin ,0, , 向量 b= 3, 1(1)当 a b 时，求；(2)当 a b 时，求；(3) 求 2a b的最大值和最小值4解答：（1） 5；（ 2）；（ 3）最大值为4；最小值为2(3 1).63（2009年） 5( 本小题满分 12分）已知向量 a(sin,2) 与 b(1,cos ) 互相垂直，其中(0,) （ 1）求 sin和 cos2的值；（ 2）若5 cos()35 cos， 02，求 cos 的值vv vvsin2cos0，即 si

5、n2cos5. 【解】（ 1） Q ab ,agb又 sin 2cos1, 4cos 2cos21 ，即 cos21， sin 2455又(0,)sin255， cos525（ 2） 5cos()5(coscossinsin)5 cos25 sin3 5 coscossin,cos2sin 21cos2，即 cos212又 0, cos2226(本题满分 10分 )已知向量a =（ cos，sin），b =（ cos，sin），| ab 2 5 5（）求 cos（）的值；（）若，且 sin 5，求 sin 的值2213vvcos，sin6 解：（）（5 分）Q acos ，sin，b，vv，1

6、 分abcoscossinsin-vv25Q ab5，coscos2sinsin225 -2分5即22cos4-1分3 5cos-1分5（）（5 分） 0,20 ， 0. -1分324 . cos，sin-1分55 sin5，cos12 .-1分1313 sinsinsincoscossin4123533 -2分51351365二三角函数的图象问题：（学习要求：做到能会识图、画图、关键是用图来把握性质，要默出三个基本三角函数图；把握图象的平移（方法是只“对x”进行移或伸） ，要区别“先移动后伸缩”与“先伸缩后平移”一般选择前者做题好点；按向量平移是难点，要作图理解移动方向；学会五点法作图（有时

7、包括边界点不止五点），关键是指定范围的作图问题，要用整体思想。）7已知函数y= 1 cos2x+3 sinx· cosx+1 （ x R）,2 2（ 1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（ 2）该函数的图像可由y=sinx(x R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？7解：（ 1） y= 1 cos2x+3 sinx·cosx+1= 1(2cos2x 1)+1 +3 （2sinx· cosx） +122444= 1 cos2x+3 sin2x+ 5 = 1(cos2x· sin +sin2x· cos)+ 54442664= 1 s

8、in(2x+6)+5 24所以 y 取最大值时，只需2x+=+2k ,（ k Z），即 x=+k ,（ k Z）626所以当函数 y 取最大值时，自变量x 的集合为 x|x=+k ,kZ6（ 2）将函数 y=sinx 依次进行如下变换：（ i）把函数 y=sinx 的图像向左平移，得到函数 y=sin(x+)的图像；66（ ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的1 倍（纵坐标不变） ，得到函数 y=sin(2x+ )26的图像；（ iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的1 倍（横坐标不变） ，得到函数2y= 1 sin(2x+)的图像；26（ iv）把得到的图像向上平移5 个单位长

9、度，得到函数y= 1 sin(2x+)+5 的图像 4264综上得到 y= 1 cos2 x+3 sinxcosx+1 的图像 22*8 设函数 f(x)=a ·b,其中 a=(2cosx,1), b=(cosx,3 sin2x), x R.（1）若 f(x)=1 3,且 x , ,求 x；33（2）若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m,n)(| m|<)平移后得到函数 y= f(x)的图象 ,求实数 m、2n 的值 .8 解答 (1) f(x)=a·b=1+2sin(2x+),由 1+2sin(2x+)=1 3 ,得 sin(2x+)=3 ，6662x

10、,，2x+65 . 2x+=，即 x=.3326634(2)函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m,n)平移后得到函数y=2sin2(x m)+n 的图象 ,即函数 y= f(x)的图象 .由(1) 得 f(x)= 2sin2( x+)+ 1, | m|<,m=,n=1.（可以12212作图理解）9 设函数f (x)sin(2x) (0), yf ( x) 图像的一条对称轴是直线x。8（）求；（）求函数yf (x) 的单调增区间；（）画出函数yf (x) 在区间 0, 上的图像。9 解：（）x是函数 yf (x) 的图像的对称轴，8sin(28)1,3 .4k,kZ.又0,323

11、 ).4（）由（）知,因此 ysin(2x434由题意得2k2x, kZ.22k42所以函数 ysin(2 x3 )的单调增区间为 k, k5 , k Z.3488（）由 ysin( 2x)知4357x08888y2 1010222故函数 yf (x)在区间 0,上图像是三平面向量与解析几何综合（学习要求：要把图形和向量结合分析；重点是综合求平行、垂直、长度（即模长） 、角度（角度）问题；把握数形结合、解方程思想；估计出现中等题以上。）1(本题满分 10 分 )已知 a(1,2), b( 3,2) ，当 k 为何值时， kab与 a3b平行？平行时它们是同向还是反向？1 解 :因为 kab(

12、k3,2k2) ， a3b(10, 4) -2 分当 ka b与 a 3b平行 时，则 (k3)( 4)(2k 2) 10 0 -2 分解得： k1-2分3此时 a3b(10,4) ，kab(k3,2k2)=(13,2(1) 2)=(10,4)3333=1 (10,4)1 (a3b ) -2分33所以 ka b与 a3b 反向 -2分另解： 当 kab 与 a3b 平行 ，存在唯一实数，使 ka b(a3b)即 (k3,2k 2)(10,4)得：k310242k解得： k1 ,1，即当 k1， kab与 a3b平行333这时因为1b与 a3b 反向，所以 ka32、(本题满分 14 分 )四边

13、形 ABCD 中， AB(6,1), BC( x, y), CD(2,3)（1）若 BC / DA ，试求 x 与 y 满足的关系式；（2）满足（ 1）的同时又有ACBD ，求 x, y 的值及四边形ABCD 的面积。2解： BC(x, y) DAAD( ABBCCD )( x4, y2) (x 4, y 2)（1） BC / DA则有x(y2)y (x4)0化简得： x2 y02'（2） ACABBC(x6, y1)BDBCCD( x2, y3)又 ACBD则( x6)( x2)( y1)( y3)0化简有： x2y 24x2 y1504'x2y0联立2y 24x2y150x

14、x6x26'解得3或y1yBC / DAACBD则四边形 ABCD 为对角线互相垂直的梯形x6AC(0,4)BD( 8,0)当3y此时 SABCD1ACBD162x2AC(8,0) BD(0, 4)当1y此时 SABCD1ACBD168'23、已知平面上一个定点C（ 1， 0）和一条定直线l ： x 4，P 为该平面上一uuuruuuruuuruuur动点，作 PQl ，垂足为 Q ，（ PQ 2PC ）（ PQ 2PC ） 0.（1）求点 P 的轨迹方程；uuuruuur（2）求 PQ · PC 的取值范围uuuruuuruuuruuuruuuruuur23、解：（

15、 1）由（ PQ 2 PC ）（ PQ 2 PC ） 0， PQ 24 PC 设 P（x， y），得 x42 4（x1）2 y2， 3x2 4y212.22点 P 的轨迹方程为 x y；43uuuruuur（ 2）设 P（x，y）， PQ （ 4x，0）， PC （ 1 x， y）uuuruuurPQ · PC （ 4x，0）·（ 1x， y）52x25x4 x 9 24uuuruuur由 x 2，2，故有 PQ · PC 2， 184 平面内有向量 OA =（1，7）， OB =（5，1）， OP =（ 2，1），点 X 为直线OP上的一个动点 .（1）当 XA

16、 · XB 取最小值时，求 OX 的坐标；（2）当点 X 满足（ 1）的条件和结论时，求cosAXB的值 .4解：（1）设 OX =（ x， y），点 X 在直线 OP上，向量 OX 与 OP 共线 .又 OP =（2，1）， x2y=0，即 x=2y. OX =（2y，y）. 又 XA =OA OX ， OA =（ 1， 7）， XA =（12y， 7 y） .同样 XB =OB OX =（52y，1y）.于是 XA · XB =（12y）（ 5 2y）+（7y）（ 1y）=5y2 20y+12=5（y2）28.当 y=2 时， XA · XB 有最小值 8，此时 OX =（4，2）.（ ）当OX（，），即y=2时，有 XA（，），XB（，）2= 4 2=3 5=11.| XA |= 34， |XB |=2 .cosAXBXA XB4 17.=|XA|XB|=17评述：（1）中最值问题不少都转化为函数最值问题解决， 因此解题关键在于寻找变量，以构造函数 . 而（ 2）中即为数量积定义的应用 .5（本小题满分13 分）如图4，已知点 A(1, 1) 和单位圆上半部分上的动点B 若OAOB ，求向量 OB ；y求 |OA OB | 的最大值BA图 4 Ox1依题意，B(cos, sin) ， 0（