(完整版)容斥原理题库教师版

1、7-7 容斥原理教学目标1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用知识精讲知识点说明一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成： A U B A B A I B ( 其中符号“ U ”读作“并” ，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ I ”读作“交” ，相当于中文“且”的意思 ) 则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理图示如下: A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C

2、表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B ，即阴影面积图示如下: A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A I B ，即阴影面积1先包含 A B重叠部分 A IB 计算了 2 次，多加了 1次；2再排除 AB A IB把多加了 1次的重叠部分AI B减去包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B 的并集 A U B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步： 分别计算集合 A、B 的元素个数， 然后加起来， 即先求 A B ( 意思是把 A、B 的一切元素都 “包含”进来，加在一起 ) ；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A IB ( 意思是

3、“排除”了重复计算的元素个数) 二、三量重叠问题A 类、B 类与 C 类元素个数的总和A 类元素的个数B 类元素个数C 类元素个数既是 A 类又是 B类的元素个数 既是 B 类又是 C 类的元素个数 既是 A 类又是 C 类的元素个数 同时是 A 类、 B 类、 C 类的元素个数用符号表示为： AUBUC A B C AI B BI C AI C AI BI C图示如下：2010 年·暑假 .三年级 . 第 3 讲 . 重叠问题教师版page 1 of 13图中小圆表示 A 的元素的个数，中圆表示 B 的元素的个数，大圆表示 C 的元素的个数1先包含： A B C重叠部分 A IB、

4、BI C、CIA 重叠了 2 次，多加了 1 次2再排除： AB CA I BBIC AIC重叠部分 A IB I C 重叠了 3次，但是在进行A B CA I BB I CA IC 计算时都被减掉了3再包含： AB CA I BBIC AICAI BI C在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图( 韦恩图 ) 来帮助分析思考例题精讲板块一、两量重叠问题【例 1】两张长 4厘米，宽2 厘米的长方形纸摆放成如图所示形状把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？4厘米2厘米图 32 厘米的正方【解析】 两 个长方形如图摆放时出现了重叠( 见图中的阴影部分 ) ，重叠部分恰好是边长为形，如果利用两

5、个 4 2 的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了所以，被覆盖面积长方形面积之和 - 重叠部分于是，被覆盖面积4 2 2 2 2 12(平方厘米 )【巩固】 把长 38厘米和 53厘米的两根铁条焊接成一根铁条已知焊接部分长4 厘米，焊接后这根铁条有多长？【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长 38 53 4 87(厘米)【巩固】把长 23厘米和 37厘米的两根铁条焊接成一根铁条已知焊接部分长3 厘米，焊接后这根铁条有多长？【解析】 焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除

6、法知，焊接后这根铁条长：2337357 ( 厘米 ) 【例 2】实验小学四年级二班， 参加语文兴趣小组的有 28人，参加数学兴趣小组的有 29 人，有 12人两个小组都参加 这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？【解析】如图所示， A 圆表示参加语文兴趣小组的人， B 圆表示参加数学兴趣小组的人， A 与 B 重合的部分 C ( 阴影部分 ) 表示同时参加两个小组的人 图中ACBA 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有 28 12 16( 人 ) ；图中 B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的2010 年·暑假 .三年级 . 第

7、3 讲 . 重叠问题教师版page 2 of 13人，有 291217 (人)方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16 12 17 45(人)方法二：根据包含排除法，直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人参加语文兴趣小组的人参加数学兴趣小组的人两个小组都参加的人，即：2829 12 45 (人) 【巩固】 芳草地小学四年级有 58 人学钢琴，43 人学画画，37 人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？【解析】 解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的对象与不同的区域对应清楚建议教师帮助学生画ACB图分析，清楚的分析每一部分的含义

8、如图， A 圆表示学画画的人，B 圆表示学钢琴的人，C 表示既学钢琴又学画画的人，图中 A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43 37 6 ( 人 ) ，图中 B 圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：58 37 21( 人) 【例 3】一个班 48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了已知做完语文作业的有37 人；做完数学作业的有 42人这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？【解析】 不妨用下图来表示：线段 AB 表示全班人数，线段AC 表示做完语文作业的人数，线段DB 表示做完数学作业的人数，重叠部分

9、 DC 则表示语文、数学都做完的人数根据题意，做完语文作业的有37人，即 AC37 做完数学作业的有 42人，即 DB42AC DB 374279(人)LLLLAB 48(人)LLLL式减式，就有 DC 79 48 31( 人)所以，数学、语文作业都做完的有31人【巩固】 四年级科技活动组共有 63 人在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人每个同学都至少完成了一项活动问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【解析】 因 42 34 76， 76 63 ，所以必有人同时完成了这两项活动由于每个同学都

10、至少完成了一项活动，根据包含排除法知，4234( 完成了两项活动的人数 )全组人数，即 76( 完成了两项活动的人数 ) 63由减法运算法则知，完成两项活动的人数为76 63 13 ( 人 ) 也可画图分析【巩固】 实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10 人，能表演跳舞的有18 人，两种都能表演的有 7 人这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？【解析】 根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：10 18721( 人) 【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32 人，参加军棋比赛的有28 人，有 18人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？【解析】 如图，

11、A 圆表示参加象棋比赛的人，B 圆表示参加军棋比赛的人，A 与B 重合的部分表示同时参加两项比赛的人图中A 圆不含阴影的部分表只参两项只参加象比赛加军2010 年·暑假 .三年级 . 第 3 讲 . 重叠问题教师版棋比都参棋比page 3 of 13加的赛的赛的AB示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人，有 321814 ( 人 ) ；图中 B 圆不含阴影的部分表示只参加军棋比赛不参加象棋比赛的人，有 281810( 人) 由此得到参加棋类比赛的人有14181042( 人) 或者根据包含排除法直接得：32 2818 42( 人) 【例 4】( 第二届小学迎春杯数学竞赛) 有 100位旅客

12、，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语， 83人懂俄语问既懂英语又懂俄语的有多少人？【解析】 方法一：在 100人中懂英语或俄语的有：100 10 90( 人) 又因为有 75 人懂英语，所以只懂俄语的有： 90 7515 ( 人 ) 从 83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的83 1568( 人) 就是既懂英语又懂俄语的旅客方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：AUB A B AI B 75 83 90 68(人)【巩固】 47 名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95 分以上的 14 人，数学得分95 分以上的21 人，两门都不在 95分以上的有22人

13、问：两门都在 95分以上的有多少人？【解析】 如图，用长方形表示这47名学生， A 圆表示语文得分95分以上的人数， B 圆表示数学得95分以上的人数，A 与 B 重合的部分表示两门两门数学都在 95 分以上的人数， 长方形内两圆外的部分表示两门都不在95分语文95分95分95分以上的人数以上以上以上的由图中可以看出，全体人数是至少一门在95分以上的人数与两门都的的AB不在 95 分以上的人数之和，则至少一门在95 分以上的人数为：两门都不在95分以上的47 22 25 ( 人 ) 根据包含排除法，两门都在 95 分以上的人数为：14212510( 人) 【巩固】 某班共有 46人，参加美术小

14、组的有12人，参加音乐小组的有 23 人，有 5 人两个小组都参加了这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【解析】 已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组的总人数为12 23 530(人)所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是46 30 16( 人) 【巩固】 四年级一班有 45 人，其中 26 人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛， 12 人两项比赛都参加了一班有多少人两项比赛都没有参加？【解析】 由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是：26

15、22 12 36( 人 ) ，所以，两项比赛都没有参加的人数为： 45 36 9 ( 人) 【巩固】 某次英语考试由两部分组成， 结果全班有 12 人得满分， 第一部分有25 人做对， 第二部分有 19人有错，问两部分都有错的有多少人？【解析】 如 图，用长方形表示参加考试的人数，A 圆表示第一部分对的人数 B 圆表示第二部分对的人数，长方形中阴影部分表示两部分都有只做两部只做错的人数对第分全对第一部二部对的已知第一部分对的有 25人，全对的有12人，可知只对第一部分的有：分的分的25 12 13( 人 ) 又因为第二部分有19 人有错，其中第一部分对第两部分都有错的二部分有错的有 13 人，

16、那么余下的1913 6 ( 人 ) 必是第一部分和第二部分均有错的，两部分都有错的有6 人【巩固】 对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有 25人两项都会的有 10 人，两项都不会的有9人这个班一共有多少人？会两会打项2010 年·暑假 .三年级 . 第 3 讲 . 重叠问题教师版page 4 of 游13篮泳都球会的的的AB两项都不会的【解析】 如图，用长方形表示全班人数，A 圆表示会游泳的人数， B 圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数由图中可以看出，全班人数至少会一项的人数两项都不会的人数，至少会一项的人数为：20 25 10 35 ( 人 )

17、 ，全班人数为： 359 44(人)【例 5】 在 46 人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18 人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有 6人，问：只采了杏的有多少人？【解析】 如图，用长方形表示全体采摘人员46人， A 圆表示采了樱桃的人数， B 圆表示采了杏的人数长方形中阴影部分表示既没采樱既采A樱桃B又采桃又没采杏的人数杏的由图中可以看出， 全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采既没采樱桃的人数之和，则至少采了一种的人数为：46 6 40( 人) ，而至又没采杏的少采了一种的人数只采了樱桃的人数两种都采了的人数只采了杏的人数，所以，只采了杏的人数为：40 18 7 15

18、(人)【例 6】 甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了60 块玻璃那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？【解析】 68 块玻璃不是甲组擦的，说明这68 块玻璃是乙、丙两组擦的；52块玻璃不是乙组擦的，说明这52 块玻璃是甲、丙两组擦的如图，用圆 A 表示乙、丙两组擦的68块玻璃， B 圆表示甲、丙两组擦的52块玻璃因甲乙两组共擦了 60块玻璃，那么 68 5260 60( 块 ) ，这是两个丙组擦的玻璃数60 2 30(块)丙组擦了 30块玻璃乙组擦了： 6830 38 ( 块 ) 玻璃，甲组擦了：523022(块

19、)玻璃【巩固】 育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16 幅画不是六年级的，有15 幅画不是五年级的，五、六年级共展出 25 幅画，其他年级的画共有多少幅？【解析】 通过 16 幅画不是六年级的可以知道， 五年级和其他年级的画作数量之和是16，通过 15幅画不是五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是15，那也就是说五年级的画比六年级多1幅，我们还知道五、六年级共展出25 幅画，进而可以求出五年级画作有13 幅，六年级画作有12幅，那么久可以求出其他年级的画作共有3 幅【例 7】一次数学测验， 甲答错题目总数的1 ，乙答错 3 道题，两人都答错的题目是题目总数的1 。求甲、46乙都答对

20、的题目数.acn (1)【解析】 ( 法一 ) 设共有 n 道题。由右图知 d 即为所求，并有关系式c4b3(2)cn (3)6由知 ,n 是 4 和 6 的公倍数，即12 的倍数。将代入，有b3n ，6由于 b 是非负整数， 所以 n=12，由此求出 c=2，b=1，a=1. 又由 a+b+c+d=n，得到 d=n- （ a+b+c)=8（法二）显然两人都答错的题目不多于3 道，所以题目总数只可能是6、12、 18，其中只有12，能使甲答错题目总数是整数 .2010 年·暑假 .三年级 . 第 3 讲 . 重叠问题教师版page 5 of 13【例 8】 在 1100 的全部自然数

21、中，不是 3 的倍数也不是 5 的倍数的数有多少个？【解析】 如图，用长方形表示 1100 的全部自然数， A 圆表示 1100 中 3的倍数， B 圆表示 1100 中 5 的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是 3 的倍数也不是 5 的倍数的数由 100 3 33L 1可知， 1100 中 3 的倍数有 33个；由 100 5 20可知，1100 中 5 的倍数有 20个；由 100 （3 5） 6L 10 可知， 1100 既是 3 的倍数又是 5 的倍数的数有 6 个AB由包含排除法， 3 或 5 的倍数有：3320 647 ( 个) 从而不是3 的倍数也不是5的倍数的数有100 47

22、 53( 个) 【巩固】 在从 1 至 1000 的自然数中，既不能被5 除尽，又不能被7 除尽的数有多少个 ?【解析】 1 1000 之间， 5 的倍数有1000=200 个， 7的倍数有1000=142 个，因为既是5 的倍数，又57是 7 的倍数的数一定是 35 的倍数，所以这样的数有1000 =28 个35所以既不能被 5 除尽，又不能被7 除尽的数有1000-200-142+-28=686 个【巩固】 求在 1 至 100 的自然数中能被3 或 7 整除的数的个数。【解析】 记 A ： 1100 中 3 的倍数， 100333L L1，有 33 个；B：1 100 中 7 的倍数，

23、100714L L2，有 14 个；A B ：1100 中 3和 7 的公倍数，即21 的倍数， 10021 4L L 16，有 4 个。依据公式， 1 100 中 3 的倍数或7 的倍数共有33 14443个，则能被 3 或 7整除的数的个数为 43个.【巩固】50 名同学面向老师站成一行老师先让大家从左至右按1，2， 3， 49， 50 依次报数；再让报数是 4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是6 的倍数的同学向后转问：现在面向老师的同学还有多少名?【解析】 在转过两次后，面向老师的同学分成两类：第一类是标号既不是4 的倍数，又不是6 的倍数；第二类是标号既是4 的倍数又是6 的倍数15

24、0 之间， 4 的倍数有50=12,6 的倍数有50=8，即是 4 的倍数又是6 的倍数的数46一定是 12 的倍数，所以有50=4于是，第一类同学有50-12-8+4=34 人，第二类同学12有 4 人，所以现在共有34+4=38 名同学面向老师【巩固】在游艺会上，有100 名同学抽到了标签分别为1 至 100 的奖券按奖券标签号发放奖品的规则如下：（ 1）标签号为 2 的倍数，奖 2 支铅笔；（ 2）标签号为 3 的倍数，奖 3 支铅笔；（ 3）标签号既是 2 的倍数，又是 3 的倍数可重复领奖；2010 年·暑假 .三年级 . 第 3 讲 . 重叠问题教师版page 6 of

25、13（ 4）其他标签号均奖 1 支铅笔那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?【解析】 1 100， 2 的倍数有100 =50， 3 的倍数有100=33 个，因为既是 2 的倍数，又是 3 的倍数的23数一定是 6 的倍数，所以标签为这样的数有100=16 个于是，既不是 2 的倍数，又不是3 的6倍数的数在 1 100中有 100-50-33+16=33 所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有：50× 2+33× 3+33× 1=232 支 .板块二、三量重叠问题【例 9】某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34 人，手中

26、有黄旗的共有 26 人，手中有蓝旗的共有18 人其中手中有红、 黄、蓝三种小旗的有6 人而手中只有红、黄两种小旗的有9 人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4 人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？【解析】 如图，用 A 圆表示手中有红旗的，B 圆表示手中有黄旗的，C 圆表示手中有蓝旗的如果用手中有红旗的、有黄旗的与有蓝旗的相加，发现手中只AB有红、黄两种小旗的各重复计算了一次，应减去，手中有三种颜色小旗的重复计算了二次， 也应减去， 那么，全班人数为：（3426 18）（943）C6 2 50(人)【巩固】 某班有 42人，其中 26人爱打篮球， 17 人爱打排球， 19人爱踢

27、足球， 9人既爱打篮球又爱踢足球，4 人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？【解析】 由于全班 42人没有一个人三种球都不爱好，所以全班至少爱好一种球的有42人根据包含排除法， 42 （26 17 19）（9 4 既爱打篮球又爱打排球的人数 ） 0 ，得到既爱打篮球又爱打排球的人数为： 49 42 7 ( 人) 【例 10】 四年级一班有46 名学生参加3 项课外活动其中有24 人参加了数学小组，20 人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的35 倍，又是 3 项活动都参加人数的7 倍，既参加

28、文艺小组也参加语文小组的人数相当于3 项都参加的人数的2 倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10 人求参加文艺小组的人数【解析】 设参加数学小组的学生组成集合A，参加语文小组的学生组成集合B，参加文艺小组的学生组成集 合G 三 者 都 参 加 的 学 生 有z人 有A U B U C =46 ， A =24 ， B =20 ， C =3.5 ，AI C=7AI BI C，BI C=2AI BI C， AI B=10因为AUBUCABCAIBAICBICAIBIC，所以 46=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得 x=3，即三者的都参加的有3 人那么参加文艺小组的有37=21 人【巩固

29、】五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项其中有25 人参加自然兴趣小组，35 人参加美术兴趣小组，27 人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12 人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8 人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9 人，语文、美术、自然3 科兴趣小组都参加的有4 人求这个班的学生人数【解析】 设参加自然兴趣小组的人组成集合A，参加美术兴趣小组的人组成集合日，参加语文兴趣小组的2010 年·暑假 .三年级 . 第 3 讲 . 重叠问题教师版page 7 of 13人组成集合 CA =25， B =35， C =27， BIC =12， AI B

30、 =8， AIC =9，A IBI C =4.AUBUC=A B C AI B AI C BIC AI BI C.所以，这个班中至少参加一项活动的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而这个班每人至少参加一项即这个班有 62 人【巩固】 五年级三班有46 名学生参加三项课外活动，其中24 人参加了绘画小组，20 人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5 倍，又是三项活动都参加人数的7 倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10 人，求参加朗诵小组的人数。【解析】 设三项都参加的人数有X 人

31、，则参加朗诵小组的人数为7X 人，参加绘画小组又参加朗诵小组的人数为 2X 人，参加朗诵小组又参加合唱小组的人数为2X 人，于是有 46=（ 24+20+7X-2X-2X-10+X ），解得 X=3, 所以参加朗诵小组的人数为21 人。【例 11】 三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上( 如图 ) ，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米问：图中阴AB影部分面积之和是多少？10【解析】 将图中的三个圆标上A 、 B 、 C 根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积( A圆面积B 圆面积C 圆面积 ）（ A 与 B 重合部分面积A与 C重C合部分面积B 与

32、 C 重合部分面积） 三个纸片共同重叠的面积，得：100（505050）（ A 与 B 重合部分面积A 与 C 重合部分面积B 与 C 重合部分面积 ） 10，得到 A 、 B 、 C 三个圆两两重合面积之和为：160100 60 平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即： 60103 阴影部分面积， 则阴影部分面积为：6030 30( 平方厘米 ) 【巩固】 如图，已知甲、乙、丙3 个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6， 8， 5，而 3 个圆覆盖的总面积为73求阴影部分的面积【解析】 设甲圆组成集合A，乙圆组成集合 B

33、，丙圆组成集合CABC =30， AI B =6， BI C =8， AI C =5， AU BUC =73，而 AUBUC =A B C AIB BIC AIC AIBIC.有 73=30× 3-6-8-5+AI BIC，即 AIB I C =2，即甲、乙、丙三者的公共面积( 部分面积 )为 2那么只是甲与乙 ( ) ，乙与丙 ( ) ，甲与丙 ( ) 的公共的面积依次为6-2=4 ，8-2=6 ，5-2=3 ，所以有阴影部分 ( 、部分之和) 的面积为 73-4-6-3-2=58【例 12】 如图，三角形纸板、 正方形纸板、 圆形纸板的面积相等，都等于 60平方厘米 阴影部分的面

34、积总和是40 平方厘米，3 张板盖住的总面积是100 平方厘米， 3 张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？【解析】 阴 影部分是有两块重叠的部分，被计算两次，而三张纸重叠部分是被计算了三次所以三张纸重叠部分的面积（60 310040） 220( 平方厘米 ) 【巩固】 如图所示， A 、 B 、 C 分别是面积为12、 28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38若 A 与 B 、 B 与 C 的公共部分的面积分别为8 、7， A、 B、 C这三张纸片的公共部分为3求 A 与 C 公共部分的面积是多少？【解析】 设 A 与 C 公共部分的面积为 x ，由包含与排除原理

35、可得：A 先“包含” ：把图形 A 、 B 、 C 的面积相加：12 281656 ，那么B2010 年·暑假 .三年级 . 第 3 讲 . 重叠问题教师版page 8 of 13C每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉 再“排除”： 5687x ，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回 再“包含”： 5687 x 3，这就是三张纸片覆盖的面积根据上面的分析得：56 8 7 x 338 ，解得： x6 【例 13】 在某个风和日丽的日子，10 个同学相约去野餐， 每个人都带了吃的，其中 6 个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4 个人带了芝士蛋糕，有3个人

36、既带了汉堡又带了鸡腿，1 个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕问： 三种都带了的有几人？ 只带了一种的有几个？【解析】 如图，用 A 圆表示带汉堡的人，B 圆表示带鸡腿的人，C 圆表示带芝士蛋糕的人A 根据包含排除法， 总人数 （ 带汉堡的人数带鸡腿的人数带芝士蛋B糕的人数 ）（ 带汉堡、鸡腿的人数带汉堡、芝士蛋糕的人数带鸡腿、芝士蛋糕的人数） 三种都带了的人数，即C10 （664）（321） 三种都带了的人数，得三种都带了的人数为： 10100(人) 求只带一种的人数，只需从10 人中减去带了两种的人数，即10 （321）4( 人) 只带了一种的有4人【巩固】 盛夏的一

37、天，有10 个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有 5 人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2 人；雪碧、橙汁都要的有2 人；三样都要的只有1 人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要【解析】 根据根据包含排除法，至少要了一种饮料的人数( 要可乐的人数要雪碧的人数要橙汁的人数 ) ( 要可乐、 雪碧的人数要可乐、 橙汁的人数要雪碧、 橙汁的人数 )三种都要的人数， 即至少要了一种饮料的人数为： （555）（322） 19 (人)1091( 人 ) ，所以其中有1人这三种饮料都没有要【例 14】 (2008 年西城实验考题 ) 新年联欢会上， 共有

38、90人参加了跳舞、 合唱、演奏三种节目的演出如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4 人； 50 人没有参加演奏； 10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40 人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有_人【巩固】 设只参加合唱的有x 人，那么只参加跳舞的人数为3x ，由50人没有参加演奏、10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为50 10 40 人，即x 3x 40 ，得 x10，所以只参加合唱的有10人，那么只参加跳舞的人数为30

39、人，又由“同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人”，得到同时参加三项的有3 人，所以参加了合唱的人中“同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的”有：401010317人【巩固】 五一班有 28 位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个。其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3 个小组全参加的人数的 5倍，并且知道3 个小组全参加的人数是一个不为0 的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？【解析】 参加 3 个小组的人数是一个不为0 的偶数，如果该数

40、大于或等于4，那么仅参加语文与自然小组的人数则大于等于20，而仅参加数学与自然小组的人有6 个，这样至少应有30 人，与题意矛盾， 所以参加3 个小组的人数为2。仅参加语文与自然小组的人数为10，于是仅参加语文与自然、 仅参加数学与自然和参加3 个小组的人数一共是18 人，剩下的 10人是仅参加2010 年·暑假 .三年级 . 第 3 讲 . 重叠问题教师版page 9 of 13数学与语文以及仅参加数学的。由于这两个人数相等，所以仅参加数学和语文小组的有5人。【巩固】 某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪三个项目的人数分别为10、 1

41、5、20 人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛？【解析】 由条件可知，参加长跑的人中有2 人参加其它项目，参加跳高的人中有3人 体育 55人 17 文艺 56人参加其它项目，参加标枪的人中有4 人还参加别的项目，假设只参加长跑和415 x跳高的人数为x，只参加长跑和标枪的人数为y，只参加标枪和跳高的有z 人，三项都参加的有n 人. 那么有以下方程组：科学 51人由条件可知，参加长跑的人中有2 人参加其它项目，参加跳高的人中有3人参加其它项目，参加标枪的人中有4 人还参加别的项目，假设只参加长跑和跳高的人数为x，只参加

42、长跑和标枪的人数为y，只参加标枪和跳高的有 z 人，三项都参加的有n 人. 那么有以下方程组：xyn2xzn3zyn4将 3 条等式相加则有 2（ x+y+z ）+3n=9，由这个等式可以得到， n 必须是奇数，所以， n 只能是 1 或 3、 5、 7，如果 n 3 时 x、y、 z 中会出现负数 . 所以 n=1，这样可以求得 x=0， y=1， z=2.由此可得到这个学校一共派出了10+15+20-0-1-2-2× 1=40 人 .将 3 条等式相加则有 2（x+y+z ）+3n=9，由这个等式可以得到， n 必须是奇数，所以， n 只能是 1 或 3、 5、7，如果 n 3

43、时 x、 y、 z 中会出现负数 . 所以 n=1，这样可以求得 x=0， y=1，z=2.由此可得到这个学校一共派出了10+15+20-0-1-2-2× 1=40 人.【例 15】 全班有 25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳， 8 人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀若全班有6 个人数学不及格，那么， 数学成绩优秀的有几个学生？ 有几个人既会游泳，又会滑冰？【解析】 有 6 个数学不及格，那么及格的有：25619 ( 人 ) ，即最多不会超过19人会这三项运动之一而又因为没人全会这三项运动，那么，最少也会有：（17138） 219 ( 人 ) 至少会这三项运动之一