(完整版)选修2-3随机变量及其分布知识点总结典型例题

1、2-3 随机变量及其分布要点归纳一、离散型随机变量及其分布列1(1)随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量通常用字母 X， Y，等表示(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量(3)离散型随机变量的分布列：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2 ， xi ， x n， X取每一个值 xi (i 1， 2， ， n) 的概率P(X xi) pi，以表格的形式表示如下：Xx1x 2xixnPp1p2pipn我们将上表

2、称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X的分布列有时为了简单起见，也用等式P(X xi) pi ，i 1， 2， ， n表示 X的分布列(4) 离散型随机变量的分布列的性质： pi 0， i 1， 2， ，n；n pi 1.i 1(5)常见的分布列：两点分布：如果随机变量 X的分布列具有下表的形式，则称 X服从两点分布，并称 pP(X 1)为成功概率 .X01P1pp两点分布又称0 1 分布，伯努利分布超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有 X 件次品，则事件 X k 发生的概率为P( Xkn kCM CNM， k 0， 1， 2， m，即k)nC NX0

3、1m0 n 01 n 1m n mPCM CNMCM C NMCM CNMCNnCNnCNn其中 mmin M ， n ，且 n N，M N， n，M ， N N* .如果随机变量 X的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X服从超几何分布2二项分布及其应用(1)条件概率：一般地，设A 和 B 是两个事件，且P( A) 0，P（ AB）称 P(B|A) P（ A） 为在事件A 发生的条件下， 事件 B 发生的条件概率 P(B |A)读作 A 发生的条件下B 发生的概率(2)条件概率的性质：0P(B|A)1；必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0；如果B 和C 是两个互斥事件，则P(BC

4、|A )P(B|A) P(C|A)(3)事件的相互独立性：设A， B为两个事件，如果P(AB )P(A)P(B)，则称事件A 与事件B 相互独立如果事件A 与B相互独立，那么A与B，A与B， A 与 B 也都相互独立(4) 独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的验称为 n次独立重复试验n次试(5) 二项分布：一般地，在 n次独立重复试验中，设事件 A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在 n次独立重复试验中，事件A恰好发生 k次的概率为P(X k) Cpk(1 p)n k， k 0，1， 2， ， n.此时称随机变量 X服从二项分布，记作X B(n， p)，并称 p为成功

5、概率两点分布是当n 1时的二项分布，二项分布可以看成是两点分布的一般形式3离散型随机变量的均值与方差(1) 均值、方差：一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2x ix nPp1p2pipn则称 E(X) x1 p1 x2p2 xi pi xn pn为随机变量 X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平n称 D(X)(xi E( X) 2 pi 为随机变量X 的方差，D（X）为i 1随机变量X 的标准差(2) 均值与方差的性质：若 Y aX b，其中 a，b是常数， X是随机变量，则Y也是随机变量，且E(aXb)aE(X)b，D(aXb) a2D(X)(3) 常见分布的均值

6、和方差公式：两点分布：若随机变量X服从参数为 p的两点分布，则均值E(X)p，方差 D(X)p(1p)二项分布：若随机变量XB(n， p)，则均值 E(X)np，方差 D(X) np(1p)(2)正态曲线的特点：曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x对称；1曲线在 x处达到峰值 2；曲线与 x 轴之间的面积为1.(3) 和 对正态曲线的影响：当 一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿 x轴平移；当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越 “瘦高 ”，表示总体的分布越集中； 越大，曲线越 “矮胖 ”，表示总体的分布越分散(4) 正态分布的 3原则：若随机变量 X

7、N(， 2)，则 P( X ) 0.682 6， P( 2 X 2) 0.9544， P( 3 X 3) 0.997 4.在实际应用中，通常认为服从于正态分布 N(，2)的随机变量 X 只取 ( 3， 3)之间的值，并简称之为 3原则专题一条件概率1条件概率的求法(1)利用定义，分别求出P(A)和 P(AB )，解得 P(B |A) P（AB）P（A） .(2)借助古典概型公式，先求事件A 包含的基本事件数n(A)，再在事件 A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数 n(AB) ，得 P(B|A) n（ AB ）n（ A） .2解决概率问题要注意“三个步骤，一个结合”(1)求概率的步骤是：第

8、一步，确定事件性质；第二步，判断事件的运算；第三步，运用公式(2)概率问题常常与排列、组合知识相结合【例1】 在 5道题中有 3道理科题和 2道文科题如果不放回地依次抽取 2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第 2次都抽到理科题的概率；(3)在第 1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率解设“第 1次抽到理科题 ”为事件 A，“第2次抽到理科题 ”为事件 B，则 “第1次和第 2次都抽到理科题 ”为事件 AB.(1)从 5 道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n()A 2520.根据分步乘法计数原理，n(A) A13 A 14 12.n（ A）123于是 P(A)

9、n（ ） 20 5.专题二相互独立事件的概率1求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在些基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解2特别注意以下两公式的使用前提(1)若 A， B互斥，则 P(A B)P(A)P(B)，反之不成立(2)若 A， B相互独立，则 P(AB) P(A)P(B)，反之成立【例 2】 甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为1，4乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为1 ，甲丙两台机床加工的零件都是一等

10、品的概率为2129.(1)分别求出甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率专题三离散型随机变量的分布列、均值与方差1离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种：超几何分布与二项分布，由于这两种分布列在生活中应用较为广泛，故在高考中对该知识点的考查相对较灵活，常与期望、方差融合在一起，横向考查2对于分布列的求法，其难点在于每个随机变量取值时相关概率的求法，计算时可能会用到等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式等3均值与方差都是随机变量重要的数字特征，方差是建立在均值这一概念之上的，它表明了随机变量所取的值相对

11、于它的均值的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活中特别是风险决策中有着重要意义，因此在当前的高考中是一个热点问题【例 3】 某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5 次统一测试，学生如果通过其中2 次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5 次测试假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试时间间隔恰当每次测试通过与否互相独立(1)求该学生考上大学的概率；(2)如果考上大学或参加完 5次测试就结束，记该生参加测试的次数为 X，求 X的分布列及 X的数学期望112 32 416.P(X 5) C4 32733故 X 的分布列为：X2345P

12、1441692727271441638E(X)29 327427 5279 .【例 4】 (2012枣庄检测 )某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加为此，设计了一个挑选方案：选手从6 道备选题中一次性随机抽取3 题通过考查得知： 6 道备选题中选手甲有4 道题能够答对， 2 道题答错；选手乙答对每题的概率都是23，且各题答对与否互不影响设选手甲、选手乙答对的题数分别为， .(1) 写出 的概率分布列 (不要求计算过程 )，并求出 E()，E()；(2) 求D()， D()请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛？123解 (1)的概率分布列为131P555所以 E() 115 2 35 315 2.22由题意， B 3， 3， E() 332，01 31；或者 P( 0) C3327P( 1) C13 23 1 13 2 29；P( 2) C23 23 2 13 49； P( 3) C33 23 3278，专题四正态分布【例5】 某市去年高考考生成绩服