矩阵基本性质

1、矩阵基本性质矩阵的基本性质矩阵？?勺第？?第?用勺元素为A?我们？触£(?表？x?勺单位矩阵。1 .矩阵的加减法(1)?=?±?对应元素相加减(2)矩阵加减法满足的运算法则a.交换律：？?+?=?+?b.结合律：(?+?+?=?+(?+?c. ?+?=?d. ?=?2 .矩阵的数乘(1) ?=?各元素均乘以常数(2)矩阵数乘满足的运算法则a.数对矩阵的分配律：？?+?=?b.矩阵对数的分配律：(?+?=?c.结合律：(？?？?=?(?)d.?=?3 .矩阵的乘法？?=?><?><?左行右列对应元素相乘后求和为C的第？第？列的元素(2)矩阵乘法满足的运

2、算法则a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有?b.分配律：？?+?=?+?c.结合律：(?)?=?(?)d.数乘结合律：？?？=?(?)4 .矩阵的转置？?？(?阴?天A?(1)矩阵的富：?二？?=?,?+1=?(?)(2)矩阵乘法满足的运算法则a. (?巧?=?b. (?+?=?+?尹c. (?)=?(?d.(?)?=?”5 .对称矩阵：？?=?冢Pa?a?反对称矩阵：？?=-?即a?-a?(1)设？,?妁(反)对称矩阵，则？?土?初是(反)对称矩阵。(2)设？,?妁对称矩阵，则？?猿？?物是对称矩阵的充要条件？?(3)设？为(反)对称矩阵，则？?，？?也是(反)对称矩阵。对任意

3、矩阵？?，则？?三1(?+?今？行1(?+?3分别是对称矩阵和反对称矩阵且?=?+?(?=?6 .Hermite矩阵：？?=?冢Pa?反Hermite矩阵，？?=-?即a?-a?a.?=(A)?b. (?+?=?+笆?c. (?=?司d. (?)?=?乃?e. (?=?f. (?)-?=(?)?(当？?巨阵可逆时)7 .正交矩阵：若？?=?=?则？(?)C?/?'!?正交矩阵(1) ?=?C?x?(2) det?=±1(3) ?E?><?8 .酉矩阵：若?=?=?则？(?)C?，？'是酉矩阵(1) ?=?'?|det?=1(3) ?E?x?(4)

4、?c?x?9 .正规矩阵：若?=?，则？况正规矩阵；若？?=?则？建实正规矩阵10 .矩阵的迹和行列式(1)?(? = £?=?；|?或det(?内行歹U式(2) ?(?=?(?;注：矩阵乘法不满足交换律(3) ?(?=?(?(?(4) ?=?的酉矩BWJ?=?(5) |?+?=|?+?|(6) |?+?窗=|?+?6?|?=|?(8) |?=?(9) |?|?=|?|?(10) det(?+?=det(?+?)(11)i?=n?=?(12)?=10gdet(?+?,?=曰?微贝U?=看?=110g(1+：?奇异分解值的特征值11 .矩阵的伴随矩阵？(1)设？?=?/行列式|?的代数

5、余子式？?驻构成的矩阵(2) ?=?=|?12 .矩阵的逆(逆矩阵是唯一的)(1) A的逆矩阵记作？?，？?=?=?(2) |?才0(?妁非奇矩阵)时，？?？=二?1?1(3) |?w0且？?w0,贝U(?=1?(4)由？?？?=?得(?=?(5)(?巧-?=(?)?(6)若|?”|?|=焉(7)若？?！非奇上(下)三角矩阵，则？?也上(下)三角矩阵(8) ?=(?)?(9) (?+?/?？)?/?=?(?+?)?(10) (?+?=?(?+?-?(11) Woodbury恒等式:(?+?-?)?=?-?(?严？?(12) ?=?A1?尹12 .对角矩阵，矩阵？为对称矢g阵，？狂交矩B则？?？?？?豺为对角矩阵或？?？，?？?,?»=A,贝"?二?AS？=£?=?改?书第？?？=?A-1?=E?=?13 .矩阵的导数(1)(2)?,?(?=?+?(