直线与圆锥曲线的位置关系

1、直线与圆锥曲线的位置关系一、知识概述1、直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一.可从代数与几何两个角度考虑.(1)从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入圆锥曲线的方程消元后所得的情况来判断，但要注意的是：对于椭圆方程来讲，所得一元方程必是一元二次方程，22xy而对双曲线方程来讲未必，例如：y=kx+m代入二一：=1中消y后整理得：(b2a2k2)x2I-2a2kmx-a2m2-db2=0，当1<=土一:时，该方程为一次方程，此时直线y=kx+mb与双曲线的渐近线平行，当K土时，方程为二次方程，这时可以用判别式来判断直线与双曲线的位置关系.(2)从几何

2、角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及两个相异的公共点，具体如下：直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决.直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行，对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行.直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦.2、弦长公式：设弦AB端点坐标为(丸)、(X，y2),直线AB的斜率为k,贝V:IAB1=J1+QIX!-I=+-4魂忧=J1+旧F1=朴»8+才-4)1力3、利用点差

3、法”来解决中点弦问题，其基本思路是设点(即设出弦的端点坐标)代入(即将端点代入曲线方程)一一作差(即两式相减)一一得出中点坐标与斜率的关系。4、会利用“设点代点、设而不求”的方法求弦所在直线的方程(如中点弦、相交弦等)、弦的中点的轨迹等.二、重难点知识剖析1、直线和圆锥曲线的交点问题设直线I：Ax+By+C=0与二次曲线C：f(x,y)=0(AxByC=0(1)交点个数与方程组I'1(*)有几组解一一对应.(2)交点坐标即为(*)的解，I与C有一个公共点时，I与C相交或相切.(3)注意消元后非二次的情况如直线I：Ax+By+C=0.圆锥曲线方程f(x,y)=0.fAxBy+C=0=。消

4、元代或丫)，如消去y后得：ax2+bx+c=0,若a=0时，当圆锥曲线是双曲线时；直线I与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线I与抛物线的对称轴平行(或重合).(4)直线方程涉及斜率k要考虑其不存在的情形.例1、已知双曲线x2y2=4,直线I：y=k(x+1),讨论直线与双曲线公共点个数.2、直线与圆锥曲线相交的弦长问题(1)直线I：y=kx+b,与二次曲线C：(x,y)=O交于A、B两点，由-I得：MB卜口瓜_及卜加正，卑工ax2+bx+c=0(aI0)团(2)若弦过焦点，可得焦点弦，可用焦半径公式来表示弦长，以便简化计算.例2、如图所示，过点P(0,2)的直线和抛物线y2=

5、8x交于A、B两点，若线段AB的中点在直线x=2上，求弦AB的长.三、直线与圆锥曲线的中点问题解决这类问题主要有如下两种方法：(1)韦达定理法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程,利用韦达定理和中点坐标公式建立等式求解.(2)平方差”法：若直线I与圆锥曲线C有两个交点A和B,一般地首先设出交点坐标,B(X2,y2),代入曲线方程，通过作差，构造出Xi+ X2, y1+ y2, xi X2, y 1丫2，从而建立了中点坐标和斜率的关系.例3、一中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆与直线x+ y仁0相交于A、B、C是AB中点，若|AB|=2人，0C的斜率为匚，求椭圆的方程X2之1、已知对kR,直线ykx仁0与椭圆一+=1恒有公共点，则实数m的取值范