高等数学上册复习

1、高等数学上册复习（ 2011 秋）第一章函数与极限复习要点：1. 复合函数的定义、判别、计算；2. 极限的性质（小题）。用极限定义证明极限不要求，但左右极限是要求的！3. 无穷大量、无穷小量的定义、判别、性质。无穷小量阶的比较、性质。4. 极限存在的两个准则； 两个重要极限；（计算题）5. 函数连续的定义，间断的定义、分类。6. 闭区间上连续函数的性质。一、试求 f ( 1), f (0), f (1), f ( x4x1,x0,1) ，若 f ( x)22,x。x1 0解： f ( 1)( 1) 223；f (0)4011；f (1)41 154( x 1) 1, x 1 04 x5, x1

2、f ( x 1)2 , ( x 1) 1 0x 22 x 3, x 2(x 1)三、设 f xx, 求 f fx和 fff x1xxx解： f f x=，ff fx2x1注意定义域13x一、求下列函数在x=0 处的左、右极限，并说明它们在x 0 时极限是否存在。1证明： 1.f ( x)e x11 lim e xlim e x0x0x0即 f (00)f (00)1 limf ( x)lim e x 不存在x 0x0x, x02. f g (x)sin g( x), g( x)2x, x02sin( x), x0证明： f g( x)sin g ( x)2sin( x), x02limf g(

3、 x) limsinxsin1x 0x 022 lim f g( x)lim sin xsin1x 0x 022即 f g (00)f g(00)lim f g (x) 不存在x0一、判断下列变量在给定的变化过程中是否是无穷小量1 3 x 1x 0（）2 sin xx（）x5x23x（）x 32x14.x 22 sin 1x 0（）答案：是是否是x 1x二、函数 y1 sin 1在 (0，1)上是否有界？当 x0 时，该函数是否为无穷大？为什么？xx解：函数1 sin 1 在 0， 1上无界，事实上，M 0 ，xx取 k M 1, x01则 1sin12kk M2kx0x022 1 sin 1

4、 在 0， 1上无界x x 1 sin 1 当 x 0不是无穷大， 事实上，若 1 sin 1 是无穷大，则xxxxM0,0 ，当 0 x11时， sinMxx但10 ，取 k111，则1, x12k1121sin1| 2ksin 2k|0M ，矛盾x1x1y1sin1 当x0时不是无穷大量xx三、证明函数yxctgx 在（ 0，+ ）内是无界的， 但当x时却不是无穷大。证明：令 x k 2k(k 1,2, ) 时， yxctgx 在 (0,+ )内无界 .4yk2k4(k)若yxctgx 当x时是无穷大，则对M=1， X0，当xX 时有xctgx 1 ，但是取 xk 2k，（ k 充分大时，

5、 kxX）2而 xctg x1 ，但是取 xk 2k，（ k 充分大时， xkX ）2而 xk ctgx k2kctg (2k) 0 1 ，矛盾22 yxctgx在 x是不是无穷大。一、判断题1数列有界必收敛()2如果 lim f ( x) 存在，则 f ( x) 必有界()x3如果函数 fx 在 xx0 无定义，则 lim f ( x) 不存在。()xx04f x 与 g x均在 x0 不连续，但 f xg x 在 x0 可能连续()5设 y f xxf x ，则当 x0 时必有 y 0 .()答案：错错错对错二、计算下列极限：xsin x11. lim2. lim e x arctg 1x

6、xsin xx 0xxsin x1sin x10解： 1.limxlimsin xsin x11xxx01x112.lime x 0,limarctg2原式 =0x 0x 0x三、求 a,b 的值，使得limx 210 。ax bxx1解： limx 21ax blimx21 2ax blim x 1 ax b2x1x1xxxx 2= lim (1 a) x (1 b) 0a 1, b 1x一、求极限： lim12nnnnn222解：原式(n1)nlimn 1n2下证(n1)n0limn1n2 2n 1(11) n11 (n 1)n( n 1)( n 1)n(n 1)n(n 1)n(n 1)2

7、33! n( n1)3!62n1n 1n10 ，要使 n(n1)n(n1)2n 12n 1只要6，即 n16n1取 N 16n(n1)，则 nN ，恒有n 1原式 =02解 2：原式 limn( n1)22nn 2 n(1 1) nC n0C n1C n2C n3C nnCn3nn 21令 2An1C n3C n3原式limn(n1)3n2 AnCn3(n1)3(11 )limn0lim2nAn (n 1)( n2)nAn (n1)( nn一、选择题：1数列有界是数列收敛的(A).A ：必要条件B ：充分条件C：充要条件D：无关条件2下列结论中正确的是(B).A ： lim1 sin x1B：

8、 lim 1 sin x1xxx0 xC：1D ：1 sin11lim x sin 1limx 0xxxx1. 设 x10 ，且 xn 11( xna ) ，(a0,n 1,2, ) ，求 lim xn 。2xnn解：先证xn 有界。 x n 11 ( xna )12x naa ，xn 有下界。2xn2xnxn 11a1a， xn 1xn ， xn 单调减。再证 xn 单调。2(1)(1)1xnxn2a由以上可知：xn 单调减有下界，故有极限。设lim xnAn则 lim xn 11 ( lim xna)即 A1 ( Aa )n2 nlimxn2An得Aa ( Aa 舍弃 )。故有 lim x

9、n A 。n1. 已知 P(x) 是多项式 ,且 lim P( x)22x31 ,又 x0 时 , P( x) 与 3x 是等阶无穷小 ,求 P( x) .xx解：设 P ( x )2 x 3ax 2bxc由已知limP( x)2x3limax2bxca1故 a1；x2x2xx又 lim P( x)1即lim 2 x3ax2bx c1得c0，x03xx 03x且lim2 x3ax2bx b1 得 b 3。 因此P (x )2x3x 23x 。x 03x3一、求下列函数的间断点，并判别其类型。1 f ( x)x 2 1xa3x 22. f ( x)ax2x解 : 1. 间断点为 x2 ， x1。

10、当 x2 时， lim f (x )x1，所以 x2 为 f ( x) 的无穷间断点；x2x 2当 x1 时， lim f ( x)x1，所以 x1 为 f (x) 的可去间断点。x2x 122. 显然 x a 为其间断点。因lim f ( x)limxa1且lim f ( x)lim xa1x ax a xax ax a ax所以xa 为 f (x)的跳跃间断点。1exx 0二、判断函数f ( x)01x0 ，在 x0 处是否连续。xarctgx0x解： limf (x)limxarctg 1limxlimarctg10 f (0)x 0x 0xx0x 0x1limf (x)lim e x0

11、f (0)x 0x 0f ( x) ，在 x0 处连续。ax2x1三、要使函数f ( x) 连续，常数 a,b 应各取何值？ f (x)2x1bxx1解：因为limf ( x)lim (ax2 )a1且limf ( x)lim (bx) b 1x 1x1x 1x1要使函数 f (x) 连续，必须 lim f (x )lim f (x ) f (1)x 1x 1即 a1b12因此得：a1 ，b3cos xcos2xx0 在 x四、 K 取何值时，函数 f ( x)x20 处连续？Kx03xx)cos xcos2xsinsin(33解：lim f ( x)limlim22)x2( )(x 0x 0

12、x 03x22(x)()22K1.5 时，函数 f (x) 在 x0 处连续讨论下列函数的连续性，(若有间断点， 判别其类型。 )并作出 yf (x) 的图形。1. f ( x) lim11cos2nxn解： f (x)lim10.5xkk0,1,2,2 n1xkk0,1,2,n1cosx显然 f ( x)在 xkk0,1, 2,处连续；在 x kk 0, 1, 2, 处间断，且 f (k )lim f ( x) 1，x k故 xk为 f ( x) 的可去间断点，属第一类间断点。2. f ( x) lim 1x2n2 nxn1xxx1解： f ( x)0x1当 x1 时， f ( x) 显然连

13、续；xx1当 x1 时， lim f ( x)1 且 lim f (x )1 所以 x1 为 f ( x) 的跳跃间断点。x 1x 1当 x1时， lim f (x)1 且 lim f ( x)1 所以 x1 为 f (x) 的跳跃间断点。x1x1一、利用等阶无穷小代换求极限：1.limln( 1 2 x)2.lim1 2x1sin 3xarcsin3xx0x 03.lim1cos x4.1tgx1 sin x1cos xlimex3x0x012 x212 x1解 : 1. lim2.lim2x 03x3x 03x31cosx1 x2lim 1 x 03. limlim2x 0 1x )2(1

14、 cos x )x 0xx 0 2(24.lim(1tgx )(1sin x )lim tgxsin xx 0x3 ( 1tgx1sin x )x 02x3sin x(1 cos x)x1x2limlim21334x 02 x cos xx 02x高等数学上册复习（09 秋）第二章导数及其应用复习要点：1. 导数定义、左右导数的定义，可导性判别；2. 常见函数的高阶导数， 特殊函数的高阶导数计算公式；3. 复合函数、隐函数、参数方程决定的函数的导数公式；4. 相关变化率问题；5. 微分的计算。（具体的）x2 sin 1, x 0一、已知函数 f (x)x，求这函数在点x=0 处的导数。x, x

15、 0解：由导数定义知， f (0) limx 2 sin x10x1 0 .x 0lim x sinx 0x 0二、讨论下列函数在x=0 处的连续性与可导性并说明理由。1 f ( x)x21,x0sinx, x0x； 2 f ( x)； 3 f ( x) sin xx,xx 2, x00解：1. 由上题知：函数在 x=0 处连续且可导；2.lim ( )limx20f(0)，故函数在x=0 处连续；xx 0x 0又f (0) limx01 ， f (0) limx200 ，x0x0x 0x 0故函数在x=0 处不可导；即函数在x=0 处连续但不可导。3.lim sin x 0 f (0) ，故

16、函数在x=0 处连续；x 0又f (0) limsin x 01 ，f (0) limsin x01，x 0x 0x 0x 0故函数在x=0 处不可导；即函数在x=0 处连续但不可导。二、讨论下列函数在x=0 处的连续性与可导性并说明理由。1 f ( x)x21,x0sinx, x0x； 2 f ( x)； 3 f ( x) sin xx,xx 2, x00解：1. 由上题知：函数在 x=0 处连续且可导；2.lim ( )limx20f(0)，故函数在x=0 处连续；xx 0x 0又f (0) limx01 ， f (0) limx200 ，x0x0x 0x 0故函数在x=0 处不可导；即函

17、数在x=0 处连续但不可导。3.lim sin x 0 f (0) ，故函数在x=0 处连续；x 0又f (0) limsin x 01 ，f (0) limsin x01，x 0x 0x 0x 0故函数在x=0 处不可导；即函数在x=0 处连续但不可导。10.yax baxbbxa；解：ln yx(ln aln b) a(ln b ln x) b(ln x ln a) ，两边求导得，yaa b，即 ya a b)axb ax b(lnaabylnx xy(lnbxabxx )bb x x二、设 f(x) 对 x 可导，求dydx1. y f f ( f (x)解：由复合函数的求导法则得dyf

18、 f ( f (x)f ( f ( x)f ( x)dx2.yf (ex )e f (x )y f (ex )ex e f ( x)f (ex ) e f ( x) f (x)解：f (ex )ex ef ( x) f (ex ) f (x)一、计算下列所给函数指定阶数的导数：1设f (x) 存在，求yln f (x) 的二阶导数；解：yf( x),y f ( x) f( x) f (x )2f( x)f ( x)22 yx3 ln x ，求 y( 4) .y3x2ln xx31x2(3ln x 1);x解： y 2x(3ln x1)x23x( 6 ln x 5); y 6 ln x 11;x

19、y 6x3.f ( x)sin xsin 2 x sin 3x ，求 f ( 21) (0)f ( x) 21 (cos2xcos4x) sin 2x41 sin 4x 21 sin 2x cos4x解：41 sin 4x41 (sin 6x sin 2x)41 (sin 2x sin 4x sin 6x)f(n )( x)1 2nsin( 2xn)4nsin( 4xn) 6nsin(6xn)4222f(21) (0)41 (2 21421621 )2194209619三、用莱布尼兹公式求下列函数的指定阶数的导数：1 y (x 21)e2 x ，求 y ( 20) ；解：设 u( x) ( x

20、21),v( x) e2 x ,u 2x,u 2, u u (20)0 ，则y( 20)uv(20)20u v(19)20 19u v(18)20 19 18u v( 17)23!220 uv202 x219 v1902 218 v00220 e2 x ( x220x94)2. y x2 sin 2x ，求 y(50 ) ；解：设 u( x)x 2 , v( x)sin 2x,u2x, u 2, ，u u( 20)0, v (n )2n sin(2xy(50)uv( 50) 50u v( 49) 50249 uv(48) 00n)则2250usin(2x25 ) 50 2x 249 sin(2

21、x 492 ) 50 49 248 sin(2x 24 ) 00250( x212252)sin2x 50x cos2xa) y12；x3x 2解：y111( x1)( x2) x2x 1y( n)(1)n n!1(x1( x2) n 11)n1dx1一、试从导出 :d 2 xy1.( y)dy 23解：d 2 xd (1 / y)d (1/ y) dxy1ydy2dydx dy( y) 2y( y) 32.d 3 x3( y )2y y dy3( y)5解：同上得d 3 xd(y)3( y) 2 y y ( y) 3 y 13( y) 2y ydy3dy( y )3( y )6y( y)5高

22、等数学上册复习（09 秋）第三章中值定理复习要点：1. 中值定理的条件、结论；2. 罗尔中值定理的应用证明题；3. 罗比达法则求极限；4. 泰勒公式、展开；用泰勒公式求极限、 证明不等式等；5. 用函数的单调性证明不等式；6. 会利用函数的单调性、凹凸性、拐点、极值点、渐近线等描绘函数的图形；7. 曲率的公式、计算。一、证明恒等式arctg 1xarctgxx( 1,1) 。1x4证明：设 f ( x)1x,则arctgarctgx1x4(1 x ) 2f (x)11(1 x ) 1 x 1 x101(1 x21 x1 x22(1 x 2 ) (1 x)21 x 21)xf ( x) C ，令

23、 x0 ，得 f (0) 0 ， C0，f ( x)arctg1xarctgx1xarctgx。1x0 ，即 arctgx414二、设 a0 a1a2a n0 ，证明：在 ( 0,1) 内方程 a0a1 xa 2 x 2an x n0 至少有23n1一实根。证明：令 f ( x)a0 xa1 x2a2 x3anxn 1显然 f ( x)C 0,1 且 f ( x) 在 0,1内可导，23n1且 f (0)0，f (1)a1a2an0 ，f (0)f (1) ，a03n12据罗尔定理 ,在 (a, b) 内必至少存在一点c(0,1)使 f (c)0 ，而 f (c)a0a1ca2 c2ancn0

24、 ，所以方程a0a1xa2 x2an xn0在 ( 0 , 1 )内至少有一实根。三、用拉格朗日中值定理证明：1. 若 0 b a ，则 a bln aa b ；abb证明：令 f ( x)ln x ， xb, a ，则 f ( x)C b, a ，且 f ( x) 在 (b, a) 内可导，由拉格朗日中值定理有:至少存在一点c(b, a) 使f ( b)f ( a)f (c)( ba)，即 ln aln b1 (b a) ，c所以a bln aa b ，b c a 。abb2. 若 x0 ，则xx ；ln(1 x)1x证明：令 f ( x)ln(1 x) ，x(0, ) ，显然 f ( x)

25、C 0, x 且 f ( x) 在 (0, x) 内可导，由拉格朗日中值定理有:至少存在一点 c(0, x)使f (b) f ( a)f (c)(ba) 即 ln(1x)ln 1x1cxxx ， c(0, x) ，不等式得证 .ln(1x)1 x1c3. 若 ab0 ， n1则 nb n 1 (ab)anbnnan 1(ab)证明：令 f ( x)x n ，xb,a，则 f xc a,b ，且 f ( x) 在 (b,a) 内可导，由拉格朗日中值定理有:至少存在一点c (b,a),使f (b)f (a)f (c)(ba) ， c(b,a) ，即 a nbnncn 1 (ab) ，所以 nb n

26、 1( ab)anbnna n 1(ab) 。四、设函数f (x) 在 0,c 内可导，且f (x) 单调减，f (0)0 ，证明对 0ababc ，恒有 f (ab)f (a)f (b) 。证明：当 a0 时，不等式显然成立。设 a0 ，在 0,a 和 b, ab 上分别应用拉格朗日定理，得f (a)af ( 1 ),01a ；f (ab)f (b)af ( 2 ),b2ab ，两式相减，并有12 ， f ( x) 单调减，故f ( 1 )f ( 2 ) ，从而f (ab)f (b)f (a) a f ( 2 ) f ( 1 )0 ，即f (ab)f (a)f (b) 。五、设 f ( x)

27、 ， g (x) 在 a,b 上连续， (a, b) 内可导， f (a)f (b)0 ，证明存在 c (a, b)使f (c)f (c)g (c) 0 。证 明 ： 令 F (x)f ( x)eg( x )xa,b ， 则 F ( x)C a, b， F ( x) 在 (a, b) 内 可 导 ， 且F (a)f (a)eg (a)0， F (b) f (b)eg ( b)0 ，F (a) F (b)据罗尔定理 ,在 (a,b)内必至少存在一点c(b, a) ，使F (c)f ( c)eg ( c)f (c)eg ( c ) g (c)0，即 f (c)f (c)g (c)0 。六、设f ( x)在a,b上满足罗尔定理，f ( x)不恒为常数， 证明必存在一点c1( , )a b使 f (c1 )0 ，必存在一点c2(a,b) 使 f (c2 )0 。证明：f (x) 满足 :f (x)C a,b, f (x) 在 (a,b) 内可导 ,f (a)f (b) ,又f x不恒为常数,不妨设f cf a 且f (c)f ( a)在 (a,c) 内由拉格朗日中值定理有:至少存在一点c1( a, c) ,使f (c) f (a) f (c1 )(c a