奥数：火车过桥

1、、火车过桥四大类问题1、火车+树（电线杆）：一个有长度、有速度，一个没长度、没速度,解法:火车车长（总路程）=火车速度X通过时间;2、火车过桥（隧道）：一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度,解法：火车车长+桥（隧道）长度（总路程）=火车速度x通过的时间;3、火车+人：一个有长度、有速度，一个没长度、但有速度,(1)、火车+迎面行走的人：相当于相遇问题,x迎面错过的时间;(2)火车+同向行走的人：相当于追及问题,解法：火车车长（总路程） =（火车速度+人的速度）x追及的时间;(3)火车+坐在火车上的人：火车与人的相遇与追及问题解法：火车车长（总路程） =（火车速度-人的速度）x迎面错过的时间

2、（追及的解法：火车车长（总路程）=（火车速度土人的速度）时间）；4、火车+火车：一个有长度、有速度，一个也有长度、有速度,错车问题：相当于相遇问题,解法；快条车挨 盈冬长（虬轧速度土，IS?条速度A错连小闻；（2）超车问题：相当于追及问题,解法：快车车长+慢车车长（总路程） =（快车速度-慢车速度）x错车时间;长度速度方向、火车过桥四类问题图示长度速度火车车长车速队伍队伍长（间隔，植树问题）队速树无无无桥桥长无无人无人速同向反向车车长车速同向反向例题1【提高】长150米的火车以18米/秒的速度穿越一条300米的隧道.那么火车穿越隧道（进入隧道直至完全离开）要多长时间?【分析】火车穿越隧道经过的

3、路程为300 + 150 = 450 （米），已知火车的速度，那么火车穿越隧道所需时间为450+ 18 = 25 （秒）.【精英】 小胖用两个秒表测一列火车的车速.她发现这列火车通过一座660米的大桥需要 40秒，以同样速度从 她身边开过需要10秒，请您根据小胖提供的数据算岀火车的车身长就是米分析】火车40秒走过的路程就是 660米+车身长，火车10秒走过一个车身长，则火车30秒走660米,所以火 车 车长为 660 + 3 = 220 （米）.ft场惹例题2【提高】 四、五、六3个年级各有100名学生去春游，都分成2列（竖排）并列行进.四、五、六年级的学生相邻两行之间的距离分别就是1米、2米

4、、3米，年级之间相距5米.她们每分钟都行走 90米，整个队伍通过某座桥用4分钟，那么这座桥长米.【分析】100名学生分成2列，每列50人，应该产生 49个间距，所以队伍长为 49x1+49 x 2 + 49 x 3 + 5 x 2 =304 （米），列§么桥长为90 x 4 304 = 56 （米）.【精英】一个车队以 5米/秒的速度缓缓通过一座长 200米的大桥，共用145秒.已知每辆车长5米，两车间隔 8 米问：这个车队共有多少辆车？【分析】由“路程=时间、速度”可求岀车队145秒行的路程为5x145=725 （米），故车队长度为 725-200=525 （米）.再由植树问题可得

5、车队共有车（525-5 （ 5+8） +仁41 （辆）.【提高】一列火车通过一座长 540米的大桥需要35秒.以同样的速度通过一座846米的大桥需要 53秒.这列 火车的速度就是多少？车身长多少米？【分析】火车用 35秒走了一一 540米+车长；53秒走了一一 846米+车长，根据差不变的原则火车速度就是：（846-540） + （ 53-35） =17 （米 / 秒），车身长就是 ：17 x35 -540 = 55 （米）.【精英】一列火车通过长 320米的隧道，用了52秒，当它通过长 864米的大桥时，速度比通过隧道时提高0.25倍，结果用了1分36秒、求通过大桥时的速度及车身的长度.【分

6、析】速度提高0.25倍用时96秒，如果以原速行驶，则用时96x （ 1+0.25 ） =120秒，（864-320 ） + （ 120-52 ） =8米/秒，车身长：52、8-320=96米.100秒,整列火车【拓展1】已知某铁路桥长 960米,一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用 完全在桥上的时间为 60秒，求火车的速度与长度？【分析】完全在桥上,60秒钟火车所走的路程 =桥长一车长；通过桥,100秒火车走的路程=桥长+车长，由与差 关系可得:火车速度为 960x2+（ 100+ 60 ） = 12 （米 / 秒），火车长：960-12 x 60 = 240 （米）.【拓展2

7、 一列火车的长度就是 800米，行驶速度为每小时60千米,铁路上有两座隧洞、火车通过第一个隧洞用2分钟；通过第二个隧洞用 3分钟;通过这两座隧洞共用 6分钟，求两座隧洞之间相距多少米？【分析】注意单位换算、火车速度60x1000:60=1000 （米/分钟）、第一个隧洞长1000x2-800=1200 （米），第二个隧洞长 1000x3-800=2200 （米），两个隧洞相距1000、6-1200-2200-800=1800 （米）、【拓展3】小明坐在火车的窗口位置 ，火车从大桥的南端驶向北端， 小明测得共用时间 80秒.爸爸问小明这座桥 有 多长，于就是小明马上从铁路旁的某一根电线杆计时，到

8、第10根电线杆用时25秒.根据路旁每两根电线杆的 间隔为50米，小明算岀了大桥的长度 .请您算一算，大桥的长为多少米？【分析】从第1根电线杆到第10根电线杆的距离为:50x （ 10-1 ） =450 （米），火车速度为：450 + 25 = 18 （米/秒），大桥的长为:18x80 = 1440（米）.【提高】 两列火车相向而行，甲车每时行48千米，乙车每时行 60千米，两车错车时，甲车上一乘客从乙车车头经过她的车窗时开始计时，到车尾经过她的车窗共用13秒.问:乙车全长多少米？【分析】390米.提示：乙车的全长等于甲、乙两车 13秒走的路程之与.慢车驶过的时间就是 11秒,那么坐在慢车上的人

9、瞧见快车驶过的时间就是多少秒？【分析】8秒.提示：快车上的人瞧见慢车的速度与慢车上的人瞧见快车的速度相同，所以两车的车长比等于两车经过对方的时间比，故所求时间为11X = 8 （秒）【提高】 铁路旁边有一条小路，一列长为110米的火车以30千米/时的速度向南驶去,8点时追上向南行走的一名军人,15秒后离她而去，8点6分迎面遇到一个向北行走的农民,12秒后离开这个农民.问军人与农民何时相遇？【分析】8点30分.火车每分行30x1000 + 60 = 500 （米），军人每分行500、： - 110卜：=60 （米），农民每分行A110-500x|A| = 50?）.8点时军人与农民相距（500+

10、50） x6=3300 （米），两人相遇还需 3300 （ 60+50） =30 （分），即8点30分 两人相遇.【精英】 铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3、6千米/时，骑车人速度为10、8千米/时,这时有一列火车从她们背后开过来，火车通过行人用 22秒,通过骑车人用26秒，这列 火车的车身总长就是多少？【分析】行人的速度为3、6千米/时=1米/秒，骑车人的速度为10、8千米/时=3米/秒.火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差.如果设火车的速度为x米/秒，那么火 车的车身长度可表示为（xT） x22或（x-3） x

11、26,由此不难列岀方程.法一：设这列火车的速度就是x米/秒,依题意列方程，得（x-l） x22= （x-3） x26.解得户14.所以火车的车身长为：（14-l ） x22=286 （米）.法二：直接设火车的车长就是x,那么等量关系就在于火车的速度上.可得:x/26+3=x/22+l,这样直接也 可以x=286米法三：既然就是路程相同我们同样可以利用速度与时间成反比来解决.两次的追及时间比就 是：22：26=11：13,所以可得:（V车-1） : （V车-3） =13：11,可得 V车=14米/秒，所以火车的车长就是 （14- 1） x22=286 （米），这列火车的车身总长为 286米.【拓

12、展4】甲、乙两辆汽车在与铁路并行的道路上相向而行，一列长180米的火车以60千米/时的速度与甲车 同向前进,火车从追上甲车到遇到乙车，相隔5分钟，若火车从追上到超过甲车用时30秒.从与乙车相遇到离开 用时6秒，求乙车遇到火车后再过多少分钟与甲车相遇？【分析】由火车与甲、乙两车的错车时间可知，甲车速度为60-180+30x3.6 = 38.4千米/时.乙车速度为180 + 6 x3.6 60 = 48千米/时，火车追上甲车时，甲、乙两车相距（60 + 48） x2 = 9千米.经过9 + （38.4 + 48 ） x60 = 6.25 分钟相遇 , 那么乙车遇到火车后 1、 25分钟与甲车相遇【

13、拓展 5】红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分步行 60米，队尾的王老师以每分行150 米的速度赶到排 头，然后立即返回队尾，共用 10 分.求队伍的长度 .【分析】630米.设队伍长为x米.从队尾到排头就是追及问题，需 分;从排头返回队尾就是相遇问题 ,X X而 150 + 60分. 由 1 = 10,解得 x = 630而 150 + 60150-60 150 + 60拓展 6甲、乙两人在铁路旁边以同样的速度沿铁路方向相向而行150-60 米, 恰好有一列火车开来， 整个火车经过甲 身边用了 18秒,2分后又用 15 秒从乙身边开过 .问:（1）火车速度就是甲的速度的几倍？（2）火车经过

14、乙身边后，甲、乙二人还需要多少时间才能相遇？【分析】（1） 11倍；（2） 11分15秒.（1）设火车速度为 a米/秒，行人速度为 b 米/秒, 则由火车的长度可列方程18（“2）= 15（“+力） , 求出 - = 11,即火车的速度就是行人速度的11倍; 从车尾经过甲到车尾经过乙，b火车走了 135 秒，此段路程一人走需 1350x11=1485 （秒），因为甲已经走了 135 秒, 所以剩下的路程两 人走还需（ 1485-135）+2=675（秒） .A嚓例题 6提高】快车 A车长120米，车速就是20米/秒，慢车B车长140米，车速就是16米/秒.慢车B在前面行驶，快 车 A 从后面追

15、上到完全超过需要多少时间？【分析】从 "追上'' 到“超过 '' 就就是一个“追及 '' 过程，比较两个车头 ,“追上' 时 A 落后 3的车身长 ,'' 超过 ' 时 A 领先 B （领先 A 车身长） , 也就就是说从“追上 '' 到'' 超过 ", A 的车头比 B 的车头多走的路程 就是：B的 车长+A的车长，因此追及所需时间就是：（A的车长+3的车长）+ （A的车速-3的车速）.由此可得到 , 追及时间为 :（A 车长+3 车长） +（A 车速3车速）=

16、（120+140）+ （20 16）=65（秒）.【精英】快车长 106 米,慢车长 74米, 两车同向而行，快车追上慢车后 ,又经过 1分钟才超过慢车 ; 如果相向而 行， 车头相接后经过 12 秒两车完全离开 . 求两列火车的速度 .【分析】根据题目的条件，可求出快车与慢车的速度差与速度与,再利用与差问题的解法求出快车与慢车的 速度.两列火车的长度之与 ：106+74=180 （米）快车与慢车的速度之差 ： 180-60=3（米）快车与慢车的速 度之 与:180T2=15 （米）快车的速度:（15+3） -2=9 （米）慢车的速度 :（15 - 3 ） +2=6 （米）【拓展 7】从北京开

17、往广州的列车长350米，每秒钟行驶 22 米，从广州开往北京的列车长 280米，每秒钟行驶 20米，两车在途中相遇，从车头相遇到车尾离开需要多少秒钟？【分析】从两车车头相遇到车尾离开时，两车行驶的全路程就就是这两列火车车身长度之与.解答方法就是：（ A 的车身长 +3 的车身长） +（A 的车速 +3 的车速） =两车从车头相遇到车尾离开的时间也可以这样想，把两列火车的车尾瞧作两个运动物体 , 从相距 630 米（两列火车本身长度之与）的两地 相向而行，又知各自的速度，求相遇时间 . 两车车头相遇时 , 两车车尾相距的距离： 350+280 = 630（米） 两车的速度与为： 22 + 20

18、= 42（米 / 秒） ;从车头相遇到车尾离开需要的时间为： 630 + 42 = 15（秒） . 综 合列式 : G50 + 280）-（22 + 20） = 15（秒） .【提高】【精英】 有两列同方向行驶的火车，快车每秒行33米，慢车每秒行 21米.如果从两车头对齐开始算，则行20秒后快车超过慢车；如果从两车尾对齐开始算，则行25秒后快车超过慢车.那么，两车长分别就是多少？如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过多少时间？【分析】如图，如从车头对齐算，那么超车距离为快车车长，为：（33 - 21)X20 = 240 (米)；如从车尾对齐算，那么超车距离为慢车车长，为（33 -

19、 21)X25 = 300 (米)由上可知，两车错车时间为：G00 + 240） + G3 + 21） = 10 （秒）【拓展8】甲乙两列火车，甲车每秒行22米，乙车每秒行16米，若两车齐头并进，则甲车行30秒超过乙车；若两车齐尾并进，则甲车行 26秒超过乙车、求两车各长多少米？【分析】两车齐头并进：甲车超过乙车，那么甲车要比乙车多行了一个甲车的长度、每秒甲车比乙车多行22-16=6米,30秒超过说明甲车长 6x30=180米.两车齐尾并进：甲超过乙车需要比乙车多行一整个乙车的长度,那么乙车的长度等于 6x26=156米.【拓展9】铁路货运调度站有 A、B两个信号灯，在灯旁停靠着甲、乙、丙三列

20、火车.它们的车长正好构成一 个等差数列，其中乙车的的车长居中 ，最开始的时候，甲、丙两车车尾对齐，且车尾正好位于A信号灯处，而车头 则冲着B信号灯的方向.乙车的车尾则位于 3信号灯处，车头则冲着 A的方向.现在，三列火车同时岀发向前行驶,10秒之后三列火车的车头恰好相遇 .再过15秒，甲车恰好超过丙车，而丙车也正好完全与乙车错开，请问：甲 乙两车从车头相遇直至完全错开一共用了几秒钟？【分析】& 75秒例题8【提高】 某列车通过250米长的隧道用 25秒，通过210米长的隧道用 23秒，若该列车与另一列长 150米、时 速 为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟?【分析】根据另一个列车

21、每小时走72千米，所以，它的速度为:72000-3600=20 （米/秒），某列车的速度 为：（250-210） - （ 25-23） =40-2=20 （米 / 秒）某列车的车长为20x25-250=500-250=250 （米），两列车的错 车时间为：(250+150)A(20+20)=400A40=10(秒).【精英】在双轨铁道上，速度为54千米/小时的货车10时到达铁桥,10时1分24秒完全通过铁桥，后来一列速度为72千米/小时的列车，10时12分到达铁桥，10时12分53秒完全通过铁桥，10时48分56秒列车完全超过在前面行使的货车.求货车、列车与铁桥的长度各就是多少米？【分析】先统

22、一单位：54千米/小时=15米/秒,72千米/小时=20米/秒,1分24秒=84秒，48分56秒-12分=36分56秒=2216秒.货车的过桥路程等于货车与铁桥的长度之与，为：15 x 84 = 1260 （米）；列车的过桥路程等于列车与铁桥的长度之与，为：20x 53 = 1060 （米）考虑列车与货车的追及问题，货车10时到达铁桥，列车10时12分到达铁桥，在列车到达铁桥时，货车已向前行进了 12分钟（720秒），从这一刻开始列车开始追赶货车，经过2216秒的时间完全超过货车，这一过程中追及的路程为货车12分钟走的路程加上列车的车长，所以列车的长度为（20 -15）x 2216 -15 x

23、 720 = 280 （米），那么铁桥的长度为1060 2寮）；（米）,货车的长度为 1260- 7SO z （米）.【补充1】马路上有一辆车身长为 15米的公共汽车由东向西行驶， 车速为每小时18千米.马路一旁的人行道上 有 甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑.某一时刻，汽车追上了甲,6秒钟后汽车离开了 甲；半分钟之后，汽车遇到了迎面跑来的乙 ；又过了 2秒钟汽车离开了乙.问再过多少秒以后甲、乙两人相遇？VVN '车走30秒走6秒匚三7 I ALAL JV"J 甲乙走甲乓二人的甲走32秒甲走6秒2秒间隔距离【分析】车速为每秒:18x1000 + 3600

24、 = 5 （米），由“某一时刻，汽车追上了甲，6秒钟后汽车离开了甲",可知这就 是一个追及过程，追及路程为汽车的长度，所以甲的速度为每秒：（5x6-15） + 6 = 2.5 （米）；而汽车与乙 就是一个相遇的过程，相遇路程也就是汽车的长度，所以乙的速度为每秒 ：（15-5x2）+ 2 =2.5 （米）.汽 车离开乙时，甲、乙两人之间相距：（5 - 2.5）x （ 0.5x60+ 2） = 80 （米），甲、乙相遇时 间:80+ （ 2.5+ 2.5） = 16 （秒）.【补充2甲、乙二人沿铁路相向而行，速度相同，一列火车从甲身边开过用了8秒钟，离甲后5分钟又遇乙，从乙身边开过，只用

25、了 7秒钟，问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲乙二人相遇？【分析】火车开过甲身边用8秒钟，这个过程为追及问题 ：火车长=（V车-V人）x8;火车开过乙身边用 7秒钟，这个过程为相遇问题人走8秒人走5分钟甲,甲乙距人的火车长=（v车+V人）X7、可得8 （V车-V人）=7 （7车+V人），所以 V车= 15V人、甲乙二人的间隔 就是：车走308秒的路-人走308秒的路，由车速就是人速的 15倍，所以甲乙二人间隔15x308-308=14x308秒人走的路.两人相遇再除以 2倍的人速.所以得到7x308秒=2156秒.1分钟，求这座桥长多少米?一列长240米的火车以每秒 30米的速度过一座桥，从车头

26、上桥到车尾离桥用了【分析】火车过桥时间为1分钟=60秒，所走路程为桥长加上火车长为60 x 30 = 1800 （米），即桥长为1800-248 15 （米）小红站在铁路旁，一列火车从她身边开过用了 21秒.这列火车长630米,以同样的速度通过一座大桥，用了1、5分钟.这座大桥长多少米？【分析】因为小红站在铁路旁边没动，因此这列火车从她身边开过所行的路程就就是车长，所以，这列火车的速度为:630 : 21=30 （米 / 秒），大桥的长度为：30x （l、5x60）-630=2070 （米）.一列火车长450米，铁路沿线的绿化带每两棵树之间相隔 树用了 0.5分钟.这列火车每分钟行多少米？3米

27、,这列火车从车头到第1棵树到车尾离开第 101棵【分析】第1棵树到第101棵树之间共有100个间隔，所以第 1棵树与第101棵树相距3x100 = 300 （米），火车 经 过的总路程为：450 + 300 = 750 （米），这列火车每分钟行750 + 0.5 = 1500 （米）.一列火车长200米，通过一条长 430米的隧道用了42秒，这列火车以同样的速度通过某站台用了25秒钟，那么这个站台长多少米？【分析】火车速度为：（200+430）+42 = 15 （米/秒），通过某站台行进的路程为:15x25 = 375 （米），已知火车长，所 以站台长为375 200 = 175（米）.小新以

28、每分钟io米的速度沿铁道边小路行走，身后一辆火车以每分钟100米的速度超过她，从车头追上小新到车尾离开共用时4秒，那么车长多少米？过了一会，另一辆货车以每分钟 100米的速度迎面开来，从与小新相遇到离开，共用时3秒.那么车长就是多 少？【分析】这就是一个追击过程，把小新瞧作只有速度而没有车身长（长度就是零）的火车根据前面分析过的追及问题的基本关系式：（A的车身长+3的车身长）+ （ A的车速-3的车 速）=从车头追上到车尾离开的时间，在这里，3的车身长车长（也就就是小新）为 0,所以车长 为：（100 10）x4 = 360 （米）；这就是一个相遇错车的过程，还就是把小新瞧作只有速度而没有车身长（长度就是零）的火车.根据 相遇问题的