理论力学课后习题答案第9章动量矩定理及其应用

1、第9章动量矩定理及其应用9-1计算下列情形下系统的动量矩1 .圆盘以3的角速度绕0轴转动，质量为m的小球M可沿圆盘的径向凹槽运动，图示瞬时小球以相对于圆盘的速度vr运动到0M=s处(图a);求小球对0点的动量矩。2.图示质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。轮心为A,质心为径为R对轮心A的转动惯量为时，Ja；C、AB三点在同一铅垂线上(图B若Va已知，求轮子的动量和对子的动晟和对B点的动量矩干广I；2靴：1、Lo=mos(逆)2、(1)pmvc=m(v+e)e)=mvA(1点的动量矩;(2)当轮子又滚又滑时,C且AC=e;轮子半b)o(1)当轮子只滚不滑若V小、3已知，求轮(b)习题92e)

2、( R 4e) q (J a me ) . = m ( R qe) v a (J a习题9 2图(2)p二mvC=m(va2)Lb=mvc(Rqe)qJc.=m(Va?:meR)92图示系统中，已知鼓轮以3的角速度绕0轴转动,其大、小半径分别为R、r,对0轴的转动惯量为Jo;物块A、B的质量分别为mA和ns;试求系统对0轴的动量矩。解：22L0=(J。mAR-msr)93图示匀质细杆0A和EC的质量分别为50kg和100kg,并在点A焊成一体。若此结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时，杆的角加速度及较链O处的约束力。不计钱链摩擦。习题20-3图(f)解：令m=ma=50kg,贝vmEc=

3、2m质心D位置：(设I=1m)55d=OD=l=m66刚体作定轴转动，初瞬时3=01JO=mg.2mgl221222m(2l)a2ml3ml12即3ml2?.-5mgl25g=8.17rad/?6lt525a二Tg636由质心运动定理：t=3mg-Fy3maD2511Fy,3mg-3mg=mg=4493612?=oFox=09-4卷扬机机构如图所示。可绕固定轴转动的轮转B、C,其半径分别为R和r,对自身转轴的动惯量分别为速度。Ji和J2。被提升重物解：对轮C:A的质量为m,作用于轮C的主动转矩为M,求重物A的加J2A-C=M-F对轮B和重物A:2(J!mR):?=FtR-mgR运动学关系：a=

4、r、fc=R?工2(M-mgr)rR2224J2RmRr眄9-4II9-5图示电动绞车提升一质量为m的物体，在其主动轴上作用一矩为动力偶。已知主动轴和从动轴连同安装在这两轴上的齿轮以及其它附属零件对各自转动轴的转动惯量分别为Ji和J2;传动比0:ri=i;吊索缠绕在鼓轮上，此轮半径为R。设轴承的摩擦和吊索的质量忽略不计，求重物的加速度。解：对轮1（图a）:Ji、；1二M-Fr1对轮2(图b):2，(J2mR)、*2=Fr2-mgRM的主Fn习题9-5解图rA-i=r22;-=L：2Mi-mgR重物的加速度(Mi-mgR)R22J2mRJj96均质细杆长21,质量为m,放在两个支承的距离相等，即

5、AC=CB=eo现在突然移去支承量AFaoA和B上，求如图所示。杆的质心C到两支承B,在刚移去支承B瞬时支承A上压力的改变解：JA：12=mge,(一ml32me):=mge-ACB4A习题9-6图mac=mgac=e223ge2l3e3mge1)IFAmg习题9-6解图Fa23eI2厂mg2(l- 3e )22l-3e2mg一3mgemg_Fa-222-l-3e2A处的衬套管，并使连杆绕这细杆的水平9-7为了求得连杆的转动惯量，用一细圆杆穿过十字头销轴线摆动，如图ab所示。摆动100次所用的时间为100so另外，如图c所示，为了求得连杆重心到悬挂轴的距离AC=d,将连杆水平放置，在点A处用杆

6、悬挂，点B放置于台秤上，台秤的读数F=490N。已知连杆质量为80kg,A与B间的距离l=1m,十字头销的半径r=40mm。试求连杆对于通过质心C并垂直于图面的轴的转动惯量J%c)习题9-7图解：图(a),日钦时,JAV-mg(dJ-iJaj-mg(d1)a=0好g(d十)J -0丁mg(d一r)2n2n-J a _., 由图(b)：XM A=0,Jc _* m (d2r)Fl0.625mg代入（1 ）、（2)注意到周期mg (d r)80 0.6652g-m(d a r) =m(d 3(d9.8(飞-0.665 )n-17 .45 kg9-8图示圆柱体A的质量为m,在其中部绕以细绳， 为零。

7、求当圆柱体的轴降落了高度 h时圆柱体中心力解：法1:图（a）ma a _. mg -Fta a =r a解得mr一 2mg2ar (常量)(拉)(2)r)其初速Ft。绳的一端A的速度(4)不题9 7解图B固定。圆柱体沿绳子解开的而降落U和绳子的拉-:mg(dar)由运动学2aAh3 gh (J)法2:由于动瞬心与轮的质心距离保持不变,故可对瞬心C用动量矩定理：Jc*mgr32 _一mr又、匕r2raAg(叵I式(4)3再由maa=mg_FtA得FT硬(拉)(a)VA=.2aAh=3、3gh(J)习题9- 10图9-9鼓轮如图，其外、内半径分别为=R?,鼓轮在拉力F的作用下沿倾角为试求质心0的加

8、速度。R和r,质量为m对质心轴O的回转半径为p,且B的斜面往上纯滚动,F力与斜面平行，不计滚动摩阻。F解：鼓轮作平面运动，轴0沿斜面作直线运动ma=F-Ff-mgsinv=2LrmFrFfR(1)纯滚a。=Rj.代入(2)jam;=FrFfRR解(1、(4)联立，消去Ff,)FR(Rr)mg(3)(4)得R2sinJ9-10图示重物A的质量为m当其下降时，借无重且不可伸长的绳使滚子C沿水平轨道滚动而不滑动。绳子跨过不计质量的定滑轮D并绕在滑轮B上。滑轮B与滚子C固结为一体。已知滑轮B的半径为R滚子C的半径为r,二者总质量为m,其对与图面垂直的轴O的回转半径为亍。求：重物A的加速度。解：法1：对

9、轮:aMf=FNFn=mgJE=T(R_r)maa-mg_t又aA=（R）：？Je=Jo+mr2=m(o+r2)naho9-11图示匀质圆柱体质量为MMfm,半径为r,在力偶作用下沿水平面作纯滚解：JD：常数，滚动阻碍系数为：.，求圆柱中心动。O的加速度及其与地面的静滑动摩擦力o若力偶的力偶矩M为-3r9-12跨过定滑轮D的细绳，一端缠绕在均质圆柱体A上，另一端系在光滑水平面上的物体B上，如图所示。已知圆柱A的半径为r,质量为m；物块B的质量为。试求物块B和圆柱质心C的加速度以及绳索的拉力。滑轮D和细绳的质量以及轴承摩擦忽略不计。g(1)(2)(4)法2:对瞬心E用动量矩定理（本题质心瞬心之距

10、离为常数）O可解得：aA2(R-r)taHO(b)aCtr代入（1）,得且：ac解得：aaBm1-3m2Jc三对A:maA二mg_Tt以0为基点:aA=（R）.土（J）由上四式联立，得（注意到Jog解：对轮C:JC:-对物块B:m2aB=FtJo=TR-Frm8Q-F_TaA=aH绳tnmg(R_r)22m(：.122十)m(R_r)2a2(M$g)又：ma-Ff2(M_mg)m%ntaHttH=aHO-aO23mraHaoHOaHO）一(Rmm2mi-3m21i2:tr得 t = 2s片fg2 ,犯（逆）9- 14图示匀质细杆 AB质量为去m 长为I ,在图示位置由静止开始运动。若水平和铅垂

11、面的摩擦均略 不计，试求杆的初始角加速度9-13图示匀质圆轮的质量为 m,半径为r,静止地放置在水平胶带上。若在胶带上作用拉力F,并 使胶带与轮子间产生相对滑动。设轮子和胶带间的动滑动摩擦因数为f。试求轮子中心0经过距离s所需的 时间和此时轮子的角速度。解：图（a0平面运动:iJ p = ml3(1)(3)1 2 aot2(a)(a):1sin -i2法2:9 =ot将(5)、( 6)、( 7)代入(2)、( 3)、(4)得m cos 二 - - F b2(4)(6)(7)(8)习题9- 14图ma O -F i0 -Fn _mg(1)(2)J O 二 F 订 由(2),F n =mg习题9-

12、 13图Ctr由（5）代入下式：(4)(5)(6)解：法1 : P为AB杆瞬心,PC冷，图3g . 一 in 2lAB杆平面运动mxc _. Fbsin2xc cos -, 2动滑动时，F1 二 fF n 二 fmg（4）代入（1）,得（4）代入（3），得（J。=mr 2）22 fgmyc _. Fa-mgXc2 -122 2 2a OfgJc=fAsi nr -FBcosxccos22cos 2 _Lsin 曰 = sin ea1.Icos -I rmsinr-FA_mg212ml1223gsin解得：21llFAsin?FBCOS=2,与（1）式相同(10)915圆轮A的半径为R与其固连的

13、轮轴半径为半径为二缠绕在轮轴上的软绳水平地固定于点滑动，板与圆轮间无相对滑动。若在平板上作用一水平力r,两者的重力共为W对质心C的回转D。均质平板BE的重力为Q可在光滑水平面上F,试求平板BE的加速度。习题915图FN习题9-15解图解：对轮W_acg二FtFf;ac*r*9对板BE:求得：aBEQaBEg222*FaBE=(R-r):Ff；2F(R-r)g2Q(R一)？W(Tr)16图示水枪中水平管长为21,横截面面积为A,可绕铅直轴z转动。水从铅直管流入，以相对速度ur从水平管喷出。设水的密度为尸，试求水枪的角速度为？.时，流体作用在水枪上的转矩Mzo解：水平管上各点科氏加速度相同aC=2

14、3:vraczz23Vr科氏惯性力均布，其合力（如图）：ficlAac=2?VrJA(a)Mz=2FC2I2A?2*917图示匀质细长杆AB,质量为m长度为I,在铅垂位置由静止释放，借A端的水滑轮沿倾斜角为二的轨道滑下。不计摩擦和小滑轮的质量，试求刚释放时点A的加速度。解：图a(exagsin初瞬时mb=0,以a为基点，则ac=acxacy=aACA即aCx=a-ajcosV-acos(1)c=a:Cysinsin-i习题9 17图由平面运动微分方程：aCx*用门maCy二mgCOS二_FNJc=fnsin21._sin2解(2)、(4)(5)联立，得(4)3gsin2EI(I+3sin2(5

15、)(6)由（1）、（3）,（6、代入，得aA1、cos112-4sin二2-3si7二，D棱是光滑的。在图C的加*9-18匀质细长杆AB,质量为示位置将m杆突然释放，试求刚释放时，质心解：初始静止，杆开始运动瞬时，长为l,CD=d,与铅垂墙间的夹角为速度和D处的约束力。VD必沿支承处a d此时沿AB方向，如图ta CD(1)(2)(3)(4)切向，即沿AB方向，所以(a),以D为基点：n由acx+aCy=adaCDaCx二acD二d由AB作平面运动.maCx*sin.-FNmgmaCy-*cosy_ml2?i=fnd12由(3),acygsca(1)、(2)、(4、联立212gdsinaCx2

16、2l12dmgl2sinFn2l12d400角的速度向球员飞20角。若球一头碰撞9-19如图所示，足球重力的大小为来，球。球员以头击球后，球的速度大小为形成头4.45N,以大小=6.1m/s,方向与水平线夹vi=9.14m/s,并与水平线夹角为时间为0.15so试求足球作用在运动员头上的平均力的大小与方向。解：击球前诟5求的动量改变为o.P=-9.14cos20g.5=m(v_vJo-(-6.1cos40),-9.14sin20=0.454(13.26,0.795)=(6.02,0.361)N-s设.p与水平夹角:-(-6.1sin40)i-Pytan0.361二0.066.02:-=3.43

17、1p=ip:+Ap；=6.03N-s卸6.0340.2N.中习题9-19图t0.15人头受力F与邙反向，即向左下方。9-2m执x-mgs泅M方形木箱在无摩擦的地板上滑动，并与一小障碍木箱能完成上述运动的最小初速；木箱碰撞后其质心的瞬时速度假设棍对球只施加水平力,试求满足上述*921台球棍打击台球，使台球不借助摩擦而能作纯滚动。运动的球棍位置高度ho解：碰前方箱以初速度V0平移，碰后箱绕A点转动直到翻倒，碰撞中箱只在A点受冲，设箱的云量为m、，、口、一由此，晋78:,A相碰撞。碰撞后绕A翻转。试求Vc与瞬时角速度？,习题920图(a)(b)21Ja-mdqJc=ma63vO=4a若箱刚能完成翻转,最高点机械能守恒，即则转到最局点时0.207ag1623V0v=1.05.、ag=mg(c)0.557ag(方向如图示)二庭921图对A动量矩守恒:mvo1由(1)得，一ma239Vo2=mg16aa、2解：设杆给球的冲量为I,受击后球心速度V,球的角速度为？,球质量为m动量定理:mv2对质心动量矩定理：I(h-r)mr5纯滚动：v(1)、(3)代入(2),消I、v得