数学教学中要重视逆向思维能力的培养

1、数学教学中要重视逆向思维能力的培养永丰县沙溪学校 王宗金摘要：文章对逆向思维能力的重要性和逆向思维能力培养的有关问题进行了分析，认为较高的认知水平对逆向思维能力的培养至关重要，而适当地对学生进行聚合思维能力、发散思维能力和非智力因素的培养，有助于其逆向思维能力的提高。文章还教学的实际出发，对数学教学中培养学生的逆向思维能力的方法进行了探讨。在大力深化教育改革全面推进素质教育已深入人心的今天，培养学生全面发展，全面提高学生素质是教育工作的根本任务。数学教学中，教师不仅要向学生传授知识，而且要注重开发智力，培养学生的数学能力，提高学生的数学素养，这已成为广大数学教育工作者的共识。在众多的数学能力中

2、，数学思维能力是核心，其它数学能力的培养，都需要数学思维能力的支持，现行九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲也明确指出：数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心。然而，由于教育主管部门对学校的评价和考核仍是以“三考”（高考、中考、小考）的成绩和录取率为中心，迫使不少学校和教师，举素质教育之旗，行应试教育之事，将考试成绩视为一所学校生存的命根，片面追求升学率。其次，各学段教师都有一些“各人自扫门前雪，休管他人瓦上霜”的思想，小学教师只要把学生送入了初中校门就可，不管初中老师是否好教，初中老师只要自己所教的学生考取了高中就高兴，不管他到了高中是否能再听得懂，跟得上。再者，有的老师教育观念落后，教

3、学方法陈旧，教学艺术缺乏，教学能力低下。所以，课堂教学仍然是“填鸭式”、“满堂灌”，课后大搞“题海战术”；教学中只重视知识的传授，不重视思维的训练，解题时只限于“标准答案”，不提倡独立思考；只强调掌握现成的结论，不重视得出结论的过程。学生往往苦陷题海，大量地模仿、练习，长此以往，使得学生疲惫不堪，思维僵化、呆板，进而出现大学情绪，从而导致学习成绩下降，适得其反。近几年，我县数学中考成绩整体稳步上升的同时，却有一些学校的差生面进一步扩大就是一个不争的事实。有些学生即使勉强升入高中，成绩也很快下落，无法适应新的学习。在数学教学中培养学生的思维能力，已越来越为广大数学教师所重视。但是，多数教师所注意

4、的往往是正向思维训练，造成学生只习惯于正向思维，机械地按照一些固定的模式去思考、分析问题，寻求解题方法，缺乏思维的灵活性和创造性，这对培养和提高学生的数学思维能力和数学素养是非常不利的。我们在进行常规思维训练的同时，也要注重其它思维方式的训练，比如说，发散性思维，创造性思维，逆向思维等。本文仅就逆向思维能力的培养略作探讨。心理学认为，思维是在感知的基础上实现的高级的认知形式。思维作为人脑对客观事物的反映，是一个严密的、连贯的过程。我们说某个思维活动是逆向思维，是指问题解决过程中由始至终的思维活动整体而言，把一个完整、连续的思维活动过程拆解，孤立地谈论哪一步是逆向思维是不可取也没有现实意义的。逆

5、向思维作为一种问题解决活动中的思维，并不是一种独立的一成不变的思维形式，它既与发散性思维有关，也与聚合思维有关。逆向思维与发散性思维是密切相关的。所谓逆向思维，是针对正向思维而言，就是从已形成的习惯思路的反方向去思考、分析问题，借助一定的技巧或以独特的方法解决问题的思维方式。发散性思维学说的创立者、美国心理学家吉尔福特认为：发散性思维是以一种新的方式去看待问题，从而得到独特和非预期结论的一种思维能力。两者都强调思维的灵活多变、触类旁通，不受已形成的常规思维模式的束缚。逆向思维是包含于发散思维的范畴的，是发散思维的一种表现形式，发散思维的范畴应更广一些。二者的区别主要表现在：从思维的途径看，发散

6、思维要求融会贯通众多的概念、方法、原理，从多方位、多角度考虑问题，而逆向思维更注重于从某个概念、方法、原理的对立面去思考、分析；从思维作用看，发散思维可应用于数学学习的整个过程，而逆向思维更注重在对问题的解决上。经常性进行发散思维的训练，对于开阔学生的思路，增强思维的流畅性，进而提高学生的逆向思维能力大有帮助。聚合思维具有目的性、规范性、概括性的特点。这三个特性是有机地结合的，其中目的性是思维的动机，规范性是目标。规范性有解题方法的模式化和思维过程条理化两种形式。学生进行逆向思维必须借助一定的思维水平和基本的思维策略，经常性地进行聚合思维的训练，容易形成、积累经验，对培养解题技能和基本的思维方

7、法、思维策略有重要意义。但过分的强化容易导致思维定势，出现思维僵化、封闭，在教学中要把握好聚合思维训练的“度”，以免增加逆向思维训练的难度。逆向思维对学生的认知水平有较高的要求。学生数学学习认知水平一般分为三个层次：记忆模仿型、说明性理解型与探索性理解型。记忆模仿型的学生没有明确的学习目标，缺乏学习动机，他们在接受新知识时，只是把教师的讲解被动地装在脑中或记在笔记本上，解题时，也只是对课本上的或者教师讲解的范例进行模仿，甚至抄袭，他们在学习中很少或者根本懒于去开动脑筋思考、分析问题，在很大程度上可以说，他们把学习看作是为了完成家长和老师交给的任务。说明性理解型的学生能够在教师的讲解、指导下理解

8、数学知识，在知识的运用上也具有一定的能力，但是他们对老师有较强的依赖性，缺乏独立自主学习的精神，思维不够灵活，不善于想象、思考。探究性理解型的学生表现为创造性的学习，他们不但可以独立地、创造性地掌握知识（独立地推导公式，对知识具有独到的、深刻的理解等），而且能独立地、灵活地运用已有知识解决新问题，具有探索精神和较强的自学能力，敢于否定、质疑。显然，前两类认知水下的学生难于进行逆向思维。要训练逆向思维，须得先提高学生的认知水平。首先，要加强非智力因素的培养。美国心理学家韦克斯勒认为：各种智力活动都反映了非智力因素的作用。非智力因素的能力发展的重要心理因素。许多研究表明：远大的动机，深厚的兴趣，顽

9、强的意志和坚强的性格等等，大大促进智力的发展。课堂教学中，可以创设问题情境，以学生感兴趣的、好奇的、熟悉的问题或现象激发学生的学习兴趣、求知欲望和思维动机。其次，要加强数学活动过程的教学。一是要突出知识原理的教学，即不但要让学生知其然，而且要让学生知其所以然。美国心理学家基特尔（Kittell）指出：“用根本原理的形式给学习者提供知识会促进对所学原理的迁移和记忆，并为将来可能发现新原理提供背景。”事实证明，学生对自己“发现”的知识不但能加深理解，牢固掌握，而且长时间不会遗忘。二是让学生参与数学活动全过程。数学思维的培养离不开数学活动。从心理学角度上说，数学教学就是数学思维活动的教学。因此，在数

10、学教学中展现思维活动，让学生亲身参与思维活动，既是培养学生思维的必要条件，也可以让学生通过对公式、定理、性质的探索、发现，品尝成功的喜悦，感觉数学学习的乐趣，激发学习的积极性。在数学教学中培养学生的逆向思维能力，要充分挖掘教材有关内容的特点，结合有利的时机对学生进行逆向思维训练。1、 在概念、定义等内容的教学中，要善于从正反双向提问，以加深学生对概念、定义的理解，提高辨析能力，培养学生逆向思维的习惯。例如，对“相反数”概念的教学，可设计如下练习：5与（ ）互为相反数，-0.4是（ ）的相反数，a的相反数是（ ），-a是（ ）的相反数，若a、b互为相反数，则a+b=( )，若a+b=0，则a、b

11、（ ）。2、 在初中代数中，有许多公式、性质、法则本身就是互逆的（如因式分解的公式和整式乘法的公式），也有不少运算或变形是同一个公式正向或反向运用的结果（比如去括号、添括号法则是对乘法分配律的正向和反向运用，二次根式的乘除法运算与二次根式的化简分别是对公式的正向和反向运用），同时，还有不少公式、法则学生容易混淆（如同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则，平方差公式与完全平方公式等），在教学中要注重正反训练或变式练习，加强对比，整体掌握。例如关于幂的运算可设计如下练习：(1)x2.x3= ,x2 （ ）=x6(2) (x2)3= ( )2 =x6 ；对于整式乘法公式可设计如下练习：（1）(x+2)(x

12、-2)=( ) x2 -4=(x+2) (x+2)(2-x)= (2+x) ( ) = x2-4 (2) (x-y)2= x2-2xy+y2= (a+b)2= a2+b2= (3) 若x+=2 ,则x2+ = 。在解题教学中，培养学生基本的解题技巧和运算能力的同时，启发学生多角度思考，勇于尝试，积极探索，养成多方位考虑问题的良好习惯。1、 有些题目，运用常规方法去解十分复杂，学生也容易出错，在引导学生认真观察题目结构，抓住题目特征的基础上，鼓励学生开拓思路，打破常规，多向联想，使问题化繁为简，化难为易。例 化简（1） （2）分析：第（1）小题的化简实质就是分母有理化，常规方法是分子分母同时乘以

13、分母的有理化因式，新的思路是将分母分解因式，然后约分；第（2）小题的常规方法是把根式配成一个完全平方，新的方法是逆用公式。解（1）原式=（2） 由0得原式=。2、 有些问题从正向考虑不易找到解题思路，而改变思维的方向，考虑问题的反面，常常有“柳暗花明”之功效。例 已知a、b、c是实数，a+b+c=0，且abc，求证：抛物线y=ax2+bx+c开口向上。证明：因为a0，假设抛物线开口向下，则abc，所以b0、c0，则a+b+c0，这与已知相矛盾，故假设不成立，即抛物线开口向上。3、 有些题目，在不同的学习阶段会有不同的解法，教学中要引导学生善于从不同的角度去思考，变换解题思路，突破思维定势，以培养学生思维的灵活性与创造性例 如图，已知=，=900，AEDC，垂足为E，AC=AD，求证：BC=CE=DE。A321BEDC分析：1、在学完全等三角形的时候，本题可以考虑证ABCAEC，ADEACE，从而分别来证明BC=EC，DE=EC。2、在学了角平分线的性质后，证BC=EC就可以考虑角平分线的性质。3、学了等腰三角形后，证DE=CE就可以考虑用等腰三角形三线合一的性质。证明略。另外，在学生对书上的例、习题能较好掌握的基础上，适当的进行变式练习，以及开放型问题的训练也殾