2014年秋季八年级数学教材

1、第一讲 三角形的三线【知识体系】一、三角形相关概念 1三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：三条线段；不在同一直线上；首尾顺次相接.2三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作厶ABC其中线段 AB BC AC是三角形的三条边，/ A、/ B、/ C分别表示三角 形的三个角.二、三角形中的三种重要线段 三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段.1三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和 交点之间的线段叫做三角形的角平分线.注意：三角形的角平分线是一条线

2、段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分 此角的一条射线. 三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的部. 三角形的角平分线画法与角平分线的画法一样，可以用量角器画，也可通过尺规 作图来画.2三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形 的中线.注意：三角形有三条中线，且它们相交三角形部一点. 画三角形中线时只需连结顶点与对边的中点即可.3三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三 角形的高线，简称三角形的高.注意：三角形的三条高是线段画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段 就是该边上的

3、高.三、三角形三边关系定理 三角形两边之和大于第三边， 故同时满足 ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c,b+c>a, c+a>b. 三角形两边之差小于第三边， 故同时满足 ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c , b>a-c , c>b-a .注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于 第三条线段即可四、三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的 稳定性例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理.【例题解析】【例1】填空1、按角分类：可分为三角形、三角形、

4、三角形；按边分类：等腰三角形和不等边三角形；等腰三角形又可分为：三角形和不相等的等 腰三角形；2、 1如图，假设，那么 AD是厶ABC的中线；三角形有条中线；三角形的中线将三角形 分成相等的两个三角形；2如图，假设，那么 。丘是厶ABC的角平分线；三角形有条角平分线；A.正方形B.长方形C.3如图，那么BF是厶ABC的BC边上的高；三角形有条高；锐角三角形条高在三角形部; 直角三角形条高在三角形部；钝角三角形条高在三角形部；3、以下列图形中有稳定性的是【例2】对下面每个三角形，过顶点 A画出中线，角平分线和高BE是 ABC的高的图形是B【例3】如图，在厶ABC中,2题图AE是中线，AD是角平分

5、线，AF是高。填空:1BE=1? 2/ BAD=2122 / 94E D F3/ AFB=90 ;4SaABC=【练】如图，在"ABC中，/仁/2,G为AD中点，延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF丄AD 于H,判断以下说法那些是正确的，哪些是错误的 AD是"ABE的角平分线 BE是"ABD边AD上的中线 BE是"ABC边AC上的中线 CH是"ACD边AD上的高【例4】如图，在 ABC中,D,E分别是BC, AD的中点,S ABC =4 cm，求 S ABE【练】如图，在 ABC中, D是AD的中点,S ABD =4cm，求 S ABC【例

6、 5】如图， ACB 中，/ ACB=90 , / 1 = / B.1试说明CD是厶ABC的高；2如果 AC=8 , BC=6 , AB=10，求 CD 的长.【练】AD,CE为三角形ABC的两条高，AB=4cm,CE=2cm(1) 求三角形ABC的面积(2) 假设AD=1.5cm 求BC的长【例6】如图，在三角形 ABC中，AD是BC边上的中线，三角形ACD的周长小5，你能求出AC与AB的边长的差吗?【练】在厶ABC中，AD是BC边上的中线，假设> AC 丨，AB与AC的和为14,求AB和AC的长.ABD和厶ADC的周长之差为 4 AB【例7】1.以下各组线段为边，能组成三角形的是A.

7、1cm, 2cm, 4cmB . 8cm,6cm,4cm12cm, 5cm, 6cmD . 2 cm,3cm,5cmC.【练】1.在厶ABC中，假设AB 8 , BC 6，那么第三边 AC的长度m的取值围是.2. 2021?三角形三边长分别为 2, x, 13,假设x为正整数那么这样的三角形个数为3.等腰三角形三边长分别是4,8 , X,求X的值【练】三角形的两边长为cm。2cm和7cm,第三边的长是一个奇数，那么第三边的长是A、2B、3C、5D、13【练】等腰三角形的一边长为5cm,它的另一边短6cm,求三角形的周长【例8】a,b.c分别是三角形 求厶ABC的周长 判断 ABC的形状 ABC

8、 的三边长，且 b,c 满足b-c人 2+/c-3/=0 , a 满足 /a-4/=2【练】a,b.c分别是三角形 ABC的三边长，化简【例10】小华在中问小明：“一个三角形三边长分别是 4, 9, 12，如何求这个三角形的面 积？小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解小华根据小明的提示作出的图 形正确的选项是cm2,CE=cm 【家庭作业】1、如图:1在厶ABC中，BC边上的高是 2在厶AEC中，AE边上的高是3在厶FEC中，EC边上的高是 4假设 AB=CD=2cm , AE=3cm，那么 Saec =2. 如图，在直角三角形 ABC中，/ ACB=90 , CD是AB边上的高，AB=1

9、3cm BC=12cmAC=5cm求 ABC的面积；CD的长。3、如下列图,AD是厶ABC的中线,AB=6cm，AC=5cm，求厶ABD和厶ADC的周长的差.4、如下列图, 长.AD是厶ABC的中线,AE是厶ACD的中线,DE=2cm，求 BD , BE, BC 的A DB5、如图， ABC 中，/ ABC=40°，/ C=60° AD 丄BC 于 D, AE 是/ BAC 的平分线.1求/ DAE的度数；2指出AD是哪几个三角形的高.7、如图在 ABC中，CD是高，点 E、F、G分别在 BC、AB、AC上，且 EF丄AB，/仁 / 2,试判断DG与BC的位置关系？并说明理

10、由.8、三角形的三边长分别为 5, 1+2x, 8,那么x的取值围是 第二讲：三角形角度计算【根底回忆】1、三角形角和定理：三角形的三个角的和等于；引申：直角三角形中，两锐角；几何形式：在 ABC中，/ A+Z B+Z C=;或/ A+Z B =- / C;或/ A =- / C-/ B;2、 1三角形的与另一条边组成的角叫三角形的外角；2三角形的一个外角等于和它的两个角的和；几何形式：Z A+Z B =;或/ A =- Z B；3三角形的一个外角大于任何一个和它的角；几何形式：Z ACD> ;或/ ACD> ；引申：4三角形的外角与它相邻的角；几何形式：ZACD-Z ACB =;

11、5三角形的外角和每个顶点取一个外角等于；3、多边形的对角线条对角线 n边形的角和为多边形的外角和为【例题解析】【例1】选择题1、等腰三角形的一个外角是120。，那么它是A.等腰直角三角形B. 一般的等腰三角形C. 等边三角形 D.等腰钝角三角形2、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个角的和为180°,那么与这个外角相邻的角的度数为A. 30 ° B. 60° C.90° D. 120°3、三角形的三个外角的度数比为A. 90 ° B.110° C. 1004、如图，以下说法错误的选项是A、Z B > Z ACDBZ

12、B+Z ACB =180°-Z ACZ B+Z ACB <180DZ HEC >Z B2 : 3 : 4，那么它的最大角的度数° D. 120°4题图5、假设一个三角形的一个外角小于与它相邻的角，那么这个三角形是.A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定6、如图，假设Z A=10°,Z B=45°,Z C=38°,那么Z DFE等于A. 120 ° B. 115°C.93° D. 105°8、如图，那么/ 1=, / 2=, / 3=,9、 等腰三角形的一个外角为

13、 150 °，那么它的底角为 .【例2】1.如图，在 ABC中，/ A=60°, BD CE分别是 AC AB上的高，H是BD ?CE 的交点，求/ BHC的度数.【例3】如图 ABC中，/ A=20°, CD是/ BCA的平分线， 又有/ EDA=/ CDB求/ B的大小.【练】1如图，：在'-I.' I'中，-I ' 的度数【例5】如图把一三角形纸片沿/ 2之间的关系？DE折叠，当点A落在四边形BCDE勺部时,探索/ A、/ 1、D【练】将厶ABC沿 EF折叠，使点C落在点C'处.1如图1,试问/ 1、/ 2与/ C之间

14、有何关系？为什么?2假设点 6在厶ABC的外部，如图2所示，试问/ 1、/ 2与/ C之间又有何关系?什么?C【例6】，如图，AB/ CD AE平分/ BAC CE平分/ ACD,求/ E的度数【练】如图4,/ 1+Z 2+Z 3+/4等于多少度【例7】如图1，求证/ A+/ B=/ C+/ D如图2，求证/ A+/ B+/ C=/ BDC图4 如图 3，求/ A+/ B+/ C+/ D+/ E= 如图 4，/ F=58°，那么/ A+/ B+/ C+/ D+/ E= 如图 5，求/ A+/ B+/ C+/ D+/ E= 如图 6, / A+/ 申/ C+/ D+/E+/ F+/G=

15、; 如图 7，/ A+/ 由/ C+/ D+/E+/ F=；图3图1图2EEC图5图6图7【例8】 ABC的三个角的度数之比/ A:/ B:/ C=1: 3: 5,那么/ B? / C=【练】等腰三角形两角的度数之比是1: 2，求顶角的度数。【例9】如图， ABC中，/ A=50°，点P是/ ABC与/ ACB平分线的交点.1求/ P的度数；2猜想/ P与/ A有怎样的大小关系？3假设点P是/ CBD与/ BCE平分线的交点，/ P与/ A又有怎样的大小关系? 4假设点P是/ ABC与/ ACF平分线的交点，/ P与/ A又有怎样的大小关系?2、 3、 4小题只需写出结论，不需要证明

16、】【例 10 ABC中，/ BAC=100 .1假设/ ABC和/ ACB的角平分线交于点 O,如图1所示，试求/ BOC勺大小;2假设/ ABC和/ ACB的三等分线即将一个角平均分成三等分的射线相交于0, 0,如图2所示，试求/ B0C的大小；3如此类推，假设/ ABC和/ACB的n等分线自下而上依次相交于 0, O, Q，如图3 所示，试探求/ B0C的大小与n的关系，并判断当/ BOC=170时，是几等分线的交线所成 的角.【例11】如图， A0B的三个顶点的坐标分别是1求厶A0B的面积00, 0，A5, 0，B 1, 4，2假设0.A亮点位置不变，P点在什么位置时， 0AP的面积是

17、A0B的面积的2 倍.3假设B 1, 4不变，底边在x轴上，那么底边的两个顶点坐标是什么时，可使所得的三角形的面积是原来三角形的面积的2倍.【练】在平面直角坐标系中， ABC的顶点坐标为 A- 1,0,B- 5, 0，C- 2, 3.1求 S2在y轴的正半轴上是否存在一点P,使pg 2SABC，假设存在，请求出点 P的坐标假设不存在，请说明理由；3直接写出厶PCA勺面积值【例 12】A(a,O),B(b,O), 点 C在 y 轴上，且有 |a 4 (b 2)20JC11 *A°DK1求B.C的坐标;2如图，AB/ CD,Q是CD上一动点，CP平分/ DCB,BQ与CP交于点P,求DQ

18、BQBC卩假设S ABC 6,求C点的坐标；值.【家庭作业】1、如图，AD ABC的中线，BE为三角形 ABD中线,1/ ABE=15，/ BAD=35，求/ BED的度数；2在厶BED中作BD边上的高；3假设 ABC的面积为60, BD=5,那么点E到BC边的距离为多少?2如图2，求出/ A+Z B+Z C+Z D+Z E+Z F 的度数.3、 1如图，：在I' '中，D 是 AC上一 点，且.求:丄一的度数.3如图，：在等边三角形 ABC中, D E分别在AB和AC上，且 相交于点P.求:的度数4. 在厶ABC A= 1 / C=1 / ABC BD是角平分线，求/2 25

19、.如图1, A为x轴负半轴上一点，B为x轴正半轴上一点，C(0, 2), D( 3, 2).1求厶BCD的面积.2如图2，假设 ACL BC,作/ CBA的平分线交 CO于点 / CQP勺大小关系，并证明你的结论 .P,交CA于点Q判断/ CPQ与图1图26. 1如图， ABC中，BD平分/ ABC CF平分/ ACB的邻补角/ ACE CF交BA延长线于点F.试问/ BAC.Z BDC和/ F之间有怎样的数量关系？说明你的理由2如图，/ 仁/2, AC平分/ BAO交y轴于点C,试问/ 关系？说明你的理由A落在点7. 如图，点 A- 3，2，B 2，0，点C在x轴上，将 ABC沿 x轴折叠，

20、使点D处.1写出D点的坐标并求 AD的长；2EF平分/ AED,假设/ ACF-Z AEF=15 ,求/ EFB 的度数.第三讲三角形全等根底【知识要点】1、 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形的性质: 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。全等三角形的判定方法：12345三边对应相等的两个三角形全等，简写成SSS；两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成SAS。有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。简写成ASA两个角和其中一个角的对边对应相等的的两个三角形全等。简写成AAS。斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。2、全等三角形

21、的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角也相等。3、三角形的全等变换1平移型变换：把全等三角形中的一个图形沿某一直线方向平移而与另一个图形重合 的变换规律，其根本模式如图 12对折型变换：把全等三角形中的一个图形沿某一直线翻折与另一个图形重合的变换 规律，其根本模式如图 23旋转变换：把全等三角形中的一个图形绕某一点旋转与另一个图形重合的变换规律，其根本模式如图34复合型变换：把全等三角形中的一个图形经过以上两种变换才能与另一个图形重合 的变换规律。其根本模式有：如图41旋转+平移；2对折+旋转；3对折+平移。图4【根底回忆】填空题每题3分,共30分1 如图, ABC DBC,且/

22、A和/ D, / ABC和/ DBC是对应角，其他对应边2. 如图, ABD ACE,且/ BAD 和/ CAE, / ABD 和/ ACE, / ADB 和/ AEC 是对应角 那么对应边.3. :如图, ABC FED,且 BC=DE.那么/ A=,A D= .4. 如图, ABD ACE,那么AB的对应边是 , / BAD的对应角是 5. :如图， ABE ACD, / B= / C,那么/ AEB=,AE= .6. :如图，AC丄BC于C , DE丄AC于E , AD丄AB于A , BC=AE .假设 AB=5 ,那么AD= .7. : ABC A'B '' A

23、'B'C'的周长为12cm，那么 ABC的周长为&如图，：/仁/ 2 , / 3=/ 4 ,要证BD=CD ,需先证 AEBA EC ,根据是再证 BDE圣厶,根据是ABC9. 如图，/ 1 = / 2，由AAS判定 ABDA ACD那么需添加的条件是 .10. 如图，在平面上将 ABC绕B点旋转到厶A'BC'的位置时，AA ' BC，/ ABC=70那么/ CBC '为度.【例题解析】【例1】1以下说确的个数有形状一样的两个图形是全等形；对应角相等的两个三角形是全等三角形；全等三角形的面积相等；假设ABC DEF , DEF也C

24、. 2个 MNP , 那么 ABC MNP . A . 0 个B . 1 个2假设 ABC也厶DEF , DEF的周长为13 , DE=3,EF=4，那么AC的长.A . 13B . 3C. 4D. 63A ABC 也厶 A B'A=80°，/ B=40°，那么/ C'的度数为丨.A. 80 °B. 40° C. 60° D. 120°4 2021, 7, 3分如图以下条件中，不能 证明 ABDACD的是A. BD=DC, AB=ACC. / B=Z C,Z BAD = Z CADB. / ADB= / ADCD. /

25、 B=Z C, BD = D5 2021, 5, 4分以下命题中，真命题是丨.(A) 周长相等的锐角三角形都全等；(B) 周长相等的直角三角形都全等；(C) 周长相等的钝角三角形都全等；(D)周长相等的等腰直角三角形都全等.【例3】2021, 16, 3分如下列图，两块完全相 同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且/DAB=30有以下四个结论： AF丄BC :厶ADG ACF ；0为BC的中点； AG : DE= . 3 : 4,其中正确结论的序号是【练】202119,4分如图，点 B,C,F,E在同一直线上，1填“是'或“不是"2的对顶角，要使 ABC DEF，

26、还需添加一个条件，这个条件可以是只需写出一个.【例4】如下列图，将ABC绕点A顺时针旋转30°后得AAB 1C1，将ABC 沿直线AB翻折得ABC2O 1问MB1C1与 MBC2有何关系？C22求/ CACi的度数。【练】如下列图，ABE和AADC是ABC分别沿着 / 2 ：/ 3=28 : 5 : 3,那么/ a的度数为A . 80 ° B . 100 ° C. 60 ° D . 45 °AB, AC边翻折180°形成的，假设/ 1 :【例5】2021威海,6, 3分在厶ABC中，AB > AC,点D、E分别是边 AB、AC的

27、中点,点F在BC边上,连接DE, DF, EF.那么添加以下哪一个条件后,仍无法判定 BFD与 EDF 全等.A . EF / ABB . BF=CFRF(定能使 ABD ACD的条件是C. Z A=Z DFED.Z B=Z DFE【练】2021宿迁,7,3分如图，Z 1 = Z 2，那么不,BA . AB= AC B . BD = CDC . Z B=Z C D . Z BDA = Z CDA【例6】(2021)如图，C是线段 AB的中点，CD平分Z ACE , CE平分Z BCD , CD=CE .(1) 求证： ACD BCE ;假设Z D=50 °，求Z B的度数.【练】AB

28、/ DE, BC/ EF, D, C在 AF上，且AD=CF,求证：【例7】如图，D点在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点/ C。求证： ABE ACD 。2BD = CE【练】如图，AB = DC , AC = DB , BE = CE,求证：AE = DE.【例8】：如图，等腰ABC与ADE中, 求证：CE=BD。AB=AC , AD=AE，且/ CAB= / EAD。【练】：如图，点A、B、C、D在同一条直线上, 求证：/ E=Z F.AC = BD, AE 丄 AB , CD 丄 DF,AE = DF。DF【例8】如图，在 ABC中，AD为/ BAC的平分线，DE丄AB于E, D

29、F丄AC于F。求证：DE=DF .【练】：如图，AC BC于C , DE 长？AC 于 E , AD AB 于 A , BC=AE .假设 AB=5 ,求 AD 的【例9】在厶ABC中， ACB 90 , AC BC，直线MN经过点C，且AD MN于D，BE MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ADC也 CEB : DE AD BE ；(2) 当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，1中的结论还成立吗？假设成立，请给出 证明；假设不成立，说明理由图1【家庭作业】1. 1假设 ABC EFG，且/ B = 60°,/ FGE-Z E = 56°,那么/ A

30、 =度.2 ABC DEF , AB=5 , BC=4 , AC=3 , / C=9° ,那么DEF 中,最小的边长为 最大的角为度.2. 如图，在 ABC中，D,E分别是边 AC,BC上的点，假设 AADB EDB EDC,那么Z3. 如图，AB / CD,AD / CB,那么 ABC CDA 的依据是A. ASAB. SASC. SSSD.都不对4如图，点 B、E、C、F 在同一条直线上， AB=DE,AC=DF, BE=CF. 求证：/ A= / D。5:如图，在 RtMBC中，/ BAC=90 °,AB=AC, P为BC延长线上任一点，过 B、C两点分 别作直线AP

31、的垂线BE、CF，E、F分别为垂足.1求证：BE+CF=EF ；2假设P为线段BC上的任意一点，其它条件不变，试问：线段 BE、CF、EF的长 度之间是否存在某种确定的数量关系？请画出图形，并证明你的结论6如图，AC，BD相交于点 O, BO=DO，CO=AO，EF?过点0?分别交BC，AD于E，F， 据此你能得出什么结论？写出思考过程.第四讲三角形全等综合【知识要点】1熟练运用全等三角形的性质与判定解决几何问题2 熟练运用等腰三角形的性质与判定解决几何问题 归纳与总结1全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角也相等2. 全等三角形的判定方法 ：SSS SAS ASA、AA

32、S、HL.3证明线段相等的方法：(1) 可证它们所在的两个三角形全等(2) 运用角平分线的性质定理(3) 等角对等边；(4) 等腰三角形的三线合一；(5) 运用线段的垂直平分线的性质定理等式的性质4. 证角相等的方法：(1) 同角的余角(补角)相等；(2) 对顶角相等；(3) 平行线的性质；(4) 全等三角形的对应角相等；(5) 角平分线性质定理的逆定理(6) 等边对等角；(7) 等式的性质.【例题解析】【例1】如图，ABE ACD ,1说出这两个三角形中所有的对应边，对应角2指出图中所有相等的线段，并说明理由。【练】1、如图， ABC ADE求证： BAD CAE2、如图，直线AD、BC交于

33、点O , AOB DOC，判断直线AB、CD的关系3、如图，A、B、C三点在同一直线上，且ABE1求证：BD AC2求DE的长DBC， AB 7 cm， BC 3cm【例2】如图，AB CD，AC BD，求证：A D【练】1、如图，在色ABC中，点D是BC边上一点,平分 ADB交AB于E ,求 EDF的度数AD CD，F是AC的中点，DE2、如图，D是BC上一点，AB AD，BCDE AC AE求证： C E ； CDEBAD【例3】如图，D、E分别为AB、AC上两点，AD AE , BD CE，求证： B C【练】1、如图，在等边 崔ABC中，D、E分别为AC、AB上两点，CD AE , B

34、D与CE交于点01求证：BD CE2求 BOC的度数2、如图，锐角ABC中，BE、CF分别是高线，在高BE上截取BMAC，在高CF延长线上截取 CN AB，连AM、AN，求证： AM AN : MAN 90M【例4】如图，在Rt ABC中,ACB 90，CA CB，过C点作直线丨，AD l于l点D , BE l于点E，求证：AD EB DE【练】1、如图，在 ABC中，点D为BC的中点，分别过 B、C作BE AD于E ,CF AD 于 F，且 AD 10，求 AE AF 的长。F2、如图，AD / CB，点E为CD上一点，AE、BE分别平分 DAB、 CBA , BE交AD的延长线于点F ,求

35、证：AE BE二AB AF二AD BC AB【例5】如图,BAC CDB 90，AC DB，求证：BA DC【练】1、如图， A 90，AB BD，ED BC 于 D，求证：ED CE AC2、如图，AE BC 于 E , DFBC 于 F , AEEBDCDF , AB DC , AC 与 BD 有怎样的关系?【家庭作业】1 如图，AB=AD , AE=AC，/ 1 = / 2。求证：/ E= / C2、A、B、C在同一直线上,DB=CB，EB=AB，EC=AD，/ EBC=120° 求/ 1 的度数匚AE=CF，过点E、F分别作DE丄AC , BF丄AC，假CA3、如图，A、E、

36、F、C在同一直线, 设AB=CD，求证：BD平分EFo4、，AD为AABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F,且有BF=AC，FD=CD，求证:BE 丄 AC o5、如图， AABC中，/ A=90° AB=AC，过A在ABC外任作直线丨，BE丄l于E, CF 丄丨于F。 求证：EF=BE+CF ; 假设丨为经过ABC部的一条直线，其它条件不变，中的结论是否成立？画出符合题 意的图形并证明。BC第五讲角平分线【根底回忆】1. 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边 相等。2. 角的平分线性质的逆用：角的部到角的两边 的在角的平分线上，所以角的平分线可以看作是到角两边距离相等的

37、所有点的集合。3./如图，在 ABC 中，/ ACB=90° ,BC交AB于E,那么 ACAE4.如图， ABC中，/ C=90° AC=BC , AD为/ BAC的平分线，DE丄AB，垂足为E,AB=10，那么 DEB的周长为。【典例解析】-、利用角平分线条件向两边作垂线构造全等【例1】：如图，在 ABC中，/ C=90 , AD平分 BAC ,1假设BC=16 , BD=10，求点D到AB的距离.2假设 BC=16 , BD : CD=5 : 3，求点 D 到 AB【例2】如图，在四边形 ABCD中，AD=DC , BD平分/ ABC，求证：/ A+ / C=180C【

38、练】1.如图，在四边形 ABCD中，/ A+ / C=180 , BD平分/ ABC，求证：AD=DCC2.如图，在四边形ABCD中,1求证：BE=丄AB+BC2DE 丄 BC 于 E, BD 平分/ ABC，假设/ A+ / C=180°,E二、利用角平分线截长补短【例3】如图，在 ABC中，B 60，AD、CE分别平分 BAC、 的交点为F .求证：FE FD .BCA，且 AD 与 CEC【练】在 ABC中，AB AC , AD是 BAC的平分线.P是AD上任意一点求证:AB AC PB PC .【例 4】如图：AB / CD, / 1 = / 2, / 3 = / 4.求证:

39、BC =AB + CD找D图2三、利用“角平分线+垂直这一条件构造全等三角形【例5】如下列图，在 ABC中，/ ABC=3 / C, AD是/ BAC的平分线，BE丄AD于F,求证：BE 1(AC AB)2【练】：如图，AB=AC，/ BAC=90，/ 1 = / 2, CE丄 BE,求证：BD=2CE .四、根本图形：【例6】：如图，在 AABC中，/ C= 2/ B,Z 1 = Z 2，求证【练】如图，在 ABC 中/ A=100° ,AB=AC，/ ABC五、角平分线的判定【例7】如图，将厶ABC绕A点顺时针方向旋转 a角度到 ADE的位置，设BC与DE交；MA平分/ DMC于

40、M点，连接AM.以下结论：BC=DE ；/ BAEa ；/ DMBa其中正确的结论有A .B.C .D.CA . AB > AD + BCB . AB = AD + BCC. AB v AD + BCD .无法确定2. 如图 5,A ABC 中，/ C=90° AD 平分/ BAC , DE丄 AB 于 E, BC=8 cm, BD=5 cm, 那么DE=cm3 .如图 6, / A = 90 ° BD 平分/ ABC, AD = 3cm, BC = 6cm,那么 BDC 的面积为AB=AC , AD 平分/ BAC , DE 丄 AB , DF 丄 AC , E、F

41、 为垂足，那4.如图， ABC中， 么以下四个结论： AD上任意一点到 AB、AC的距离相等； AD上任意一点到C、B两点的距离相等; AD 丄BC 且 BD=CD ； / BDE= / CDF ;其中正确的个数有丨B . 2个C . 3个D . 4个【家庭作业】5，如图，P为/ AOB平分线OP上一点,求证：OA+BO=2OCPC 丄 OA 于 C ,Z OAP+ / OBP=180°。PB1如图4，四边形ABCD中，假设/ DAB的平分线AE交CD于E,连结BE，且BE恰 好平分/ ABC，那么AB的长与AD + BC的长的大小关系是第六讲轴对称与其变换【根底回忆】1 轴对称：轴

42、对称指把一个图形沿着某一条直线翻折过去，假设它能够与另外一个图形重合，那么这两个图形成 这条直线叫，两个图形中的对应点叫 。2.轴对称的主要性质1关于某直线对称的两个图形是 ;2假设两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的 ，两个对称点到对称轴的距离相等。3假设两个图形对应点连线被同一条直线 ，那么这两个图形关于这条直线对称。3 垂直平分线的性质定理与其逆定理1线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的 ;2到线段 的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。【例题解析】2画图：试画出以下正多边形的所有对称轴，并完成表格,、轴对称的定义与性质【例1】1填表：图形对称轴个数图形对称轴

43、个 数图形对称轴个数等腰三角形长方 形等腰 梯形等边三角形正方 形圆正多边形的边数34567对称轴的条数根据上表，猜想正 n边形有条对称轴。【练】1 如图，以下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有©GA . 1个 B. 2个 C. 3个D. 4个2、如以下列图，左边是一只停泊在平静水面上的小船，它的倒影'应是亠亍亍亍AB.C.D.二、轴对称画图【例2】1画出线段 AB的中垂线。2在AB上找一点P,使P到M、N两点的距离相等3等。如图，A、B、C三点表示三个工厂，要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相4如图，li、 等，且到P、【例(1)(2)12交于A点，P、Q的位

44、置如下列图，试确定 Q两点的距离也相等。三、用坐标表示轴对称3】如图， ABC中各顶点的坐标分别是 A 1, 4、B 在同一坐标系中画出直线 I : x=-1 ；作出 ABC关于直线I对称的 A B'并写出对称点 A'、B'、 C勺坐标【练】如图：写出A、B、C三点的坐标. 假设 ABC各顶点的横坐标不变， 纵坐标都乘以-1，请你在同一坐标系中描出对应的点A'、B'、C,并依次连接这三个点，所得的厶A B'与原 ABC有怎样的位置关系？ 在的根底上，纵坐标都不变，横坐标都乘以-1 ,在同一坐标系中描出对应的点 A、B、C，并依次连接这三个点，所得

45、的厶 A B与原 ABC有怎样的位置关系？【例4】1点M一 2, 1关于x轴对称点N的坐标是点A 1 , - 3关于y轴对称点B的坐标是 点C一 2, 2关于原点对称点 D的坐标是 2点A一 1,1丨关于直线x=1对称的点的坐标是： 点C2,- 1关于直线y= 1对称的点的坐标是： 【练】1点P一 5, 1丨关于x轴对称点Q的坐标是2点Ax, 4与点B 3, y关于y轴对称，那么x+ y的值为.3点M-2, 1丨关于x轴对称的点N的坐标是 ，直线MN与X?轴的位置关艮是;点P 1, 2关于直线y=1对称的点的坐标是 .四、垂直平分线的综合应用【例5】如图，把长方形ABCD沿AC折叠，得到如下列

46、图的图形,DOC的大小是A. 40 ° B. 50 °C. 60 °D . 70ACB = 35°,那么【练】如图，在 ABC的边BC上取一点D，边AC上取一点E使得 ABD沿AD翻折后，点B对应点是 丘，将厶CDE翻折后，点C的对应点刚好是点A，那么/ C= ; AC= AB.【例6】如图，点 线段MN交OA、P在/ AOB的部，点M、N分别是点P关于直线 OA、OB的对称点,OB于点E、F，假设 PEF的周长是20cm，求线段 MN的长.【练】如图，在 ABC中，AB=AC=14cm,边AB的中垂线交AC于D ,BCD的周长为24cm，求BC的长【例

47、7】如图，在 ABC中，DM、EN分别垂直平分 AC和BC ,交AB于M、N . 1 假设 CMN的周长为20cm，求AB的长；2假设/ ACB=11O，求/ MCN的度数.C图 1ABCD2以下说确的是A .任何一个图形都有对称轴；B 两个全等三角形一定关于某直线对称；C .假设 ABC与厶A B'成轴对称，那么 ABC A B' C'；D .点A，点B在直线丨两旁，且AB与直线丨交于点0,假设AO=BO，那么点A与点 B关于直线丨对称.3. A-1 , -2和B 1 , 3，将点A向平移个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称.4. 一个点的纵坐标不变，把横坐标乘以-

48、1，得到的点与原来的点的关系是 .5. 如图， ABC中，AB AC , A 30 , DE垂直平分AC ,那么 BCD的度数为A. 80B. 75C. 65D. 45 6 .如图， ABE和 ACD是 ABC分别沿着 AB, AC边翻折180形成的，假设BAC 150，那么的度数是.7.如图，E ,以下结论1BD平分 ABC 2AD4D是AC中点，其中正确的个数是C. 3个ABC 中，AB AC，/ A = 36,AB的中垂线BD BC3DE交AC于D，交AB于BDC的周长等于AB BC1试在2试在x轴上画一点y轴上画一点D. 4个CM，使其MP+MQ值最小;N，使其 NP=NQ ;；y第七

49、讲 等腰三角形和等边三角形【根底回忆】1、一个等腰三角形两角的度数比为1:4,那么这个等腰三角形顶角的度数为A.20 °B.120 °C.20。或 120 °D.362、等腰三角形两边长分别为4和9,那么第三边长为a,那么六3、右图是由9个等边三角形拼成的六边形，假设中间的小等边三角形的边长是边形的周长是4、如图，在 Rt ABC 中，/ B=90。，/ ACB=60 ° , D 是 BC 延长线上一点，且 AC=CD, 那么BC:CD=【例题解析】-、等腰三角形的性质与判定【例1】如图，ABC中，ABAC , E在AC上, AD和BE是高，它们相交于点

50、 H,且CAE BE，求证：AH 2BD【例2】如图， ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点0给出以下三个条件：/ EBO= / DCO;/ BEO= / CDO; BE=CD.(1)上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形用序号写出所有情形ABC是等腰三角形(2)选择第1小题中的一种情形，证明【练】求证：如果三角形一个外角的角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等 腰三角形。二、等边三角形的性质与判定【例3】如图，点B、C、D在同一条直线上， ABC和厶CDE?都是等边三角形.BE交AC于F, AD交CE于H ,求证：1 BCEACD . 2CF=CH 3

51、FH/BD【练】，如图，延长ABC的各边，使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连接D,E,F，得到ADEF为等边三角形，求证：(" AEF CDE;(2) ABC为等边三角形三、等腰直角三角形的性质与应用【例4】如图，等腰Rt ABC中，AB=AC D为BC的中点，E、F分别在 AB AC上,且AE=CF. 求证：(1)DE=DF ;2/ EDF =90° .FEAB垂足,求证： DEF是等腰直角三角形【练】 ABC中，/ C=90 ,AC=BC,D是AB的中点,E是BC上任一点，EP丄CB,PF丄AC,E、F为四、含30°的直角三角形【例5】如图，直角 AAC

52、B中，/ ABC=90，/ BAC=30，而 AACD 和 ABE都是等边三匚角形；AC、DE交于F。求证：FD=FE且CF=3AF【家庭作业】BD= CE,连接AD BE交于.135 °1如图，等边 ABC中，点D、E分别为BC CA上的两点，且F点，那么/ FAE+Z AEF的度数是A. 60°B . 110°C . 120°D 2.如图，点C是线段BE上一点，且AABC、AAEF都是等边三角形1直接写出图中以点 A为顶点的相等的角； 2写出图中与 CF相等的线段，并说明理由3.如图，在 ABC中，AB AC ,求证：EB 3EA4.如图, ABC为

53、等边三角形,QR丄AB于R, PQ丄AC于Q, RP丄BC于P,且AR= BP= CQ, 求证： RPQ为等边三角形.5如图，在等边 ABC中，D是AC上一点，点DM BC，求证 BM EM第八讲期中复习选择题1、以下“ Q表情"中属于轴对称图形的是2、如下列图， AB3A EFD, / B与/ F是对应角，那么A. AB=DE, AC=EF, BC=DF B. AB=DF, AC=DE, BC=EFC. AB=EF, AC=DE, BC=DF D.AB=EF, AC=DF, BC=DE3、点P(2 , -3)关于y轴的对称点的坐标是A.(2,3) B.(-2,-3) C.(-2,3) D.(-3,2)4、以下性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是A.两边之和大于第三边B 有一