误差理论与数据处理

1、第四节 数据处理实验（测量）总是希望获得可靠的结果或找出物理量之间的关系（规律），要得到这些除了实验本身外，还必须进行数据处理。所谓数据处理，就是用简明而严格的方法把实验数据所代表的事物的内在规律性提炼出来。它是由获得数据到结果，包括记录、整理、计算、分析等在内的一个加工过程。数据处理方法较多，这里我们只介绍列表法、作图法、逐差法和最小二乘法。一、列表法在记录和处理数据时，一般要将原始数据（有时还把运算的中间项）列成表格，我们称为列表法。通过列表法可以把紊乱的数据有序化，其优点是简单而明确地表示出有关量之间的对应关系，便于对比检查测量与运算结果是否合理，以减少或避免错误。同时便于发现和分析问题

2、，有助于从中找出规律性的联系，找出经验公式等。列表的具体要求是：（1）要把原始数据和必要的运算过程中的中间结果列入表中，但要简单明了，以便能看出有关量之间的关系方和便进一步处理数据。（2）必须标明各符号所代表的物理量，并写明单位。单位及量值的数量级缩写在标题栏内，不要重复地记在每个数值上。（3）表中的数据要正确地反映测量结果的有效数字。 以下例1和例2分别是简单和较复杂的数据列表。例1 通过测量温度t和在温度t下铜的电阻Rt来测量铜的电阻温度系数，得到t与Rt的数据列表如下：表1-4-1 电阻（Rt）温度（t）关系 （样品：铜）测量次数k温度t（oC）电阻Rt（） 20.010.7625.01

3、0.9430.011.0835.011.2240.011.36例2 光电效应实验中，测得光电管的一组伏安特性光电流I随阳极电压U变化的数据列表如下：表1-4-2 光电管的伏安特性随光强的变化 （光波长=577nm 通光孔径=5mm）光电管到光源的距阳极电压U（V）0.00离L（cm）30 40 50I1（×10-11A）I2（×10-11A）-0.733I3（×10-11A）6.654.283.712.0067.446.329.84.0012087.151.56.0018213376.28.0019413986.510.0020414690.1232二、作图法作图

4、法是把一系列数据之间的关系或其变化情况用图线直观地表示出来的一种方法，它是研究物理量之间变化规律，找出对应的函数关系，求经验公式的最常用的方法之一。1作用与优点（1）作用：可以验证理论或寻找经验公式；可以用内插法在图上直接得出图线范围内任意的x值及相应的y值；在一定条件下，用外推法可以从图线的延伸部分得到测量数据范围以外的数据；可以作修正曲线及校准曲线；可以帮助发现实验中个别测试点测量结果的错误，并可对系统误差进行分析等。（2）优点：直观、简便；如果图线是依据许多数据点描出的平滑曲线，则有取平均的效果；能利用作图把复杂的函数关系变换为线性关系，即曲线改直等。2作图规则（1）决定作图参量、选取坐

5、标纸。作图一定要用坐标纸，在决定了作图参量后，根据具体情况选用直角坐标纸、对数坐标纸或其他坐标纸。图幅大小和坐标轴比例要根据测量的有效数字与结果的要求来确定。一般来讲，测量数据中可靠数字在图上也是可靠的，数据中的误差位在图中是估计的，即图纸上一小格对应数据中可靠数位的最后一位，误差位在小格之间估计。有时需要把图幅适当放大，使图上的两小格、五小格（不宜选三、六、七、九小格）对应可靠数位的最后一位。如果作的只是示意图，就不必在意有效数字的问题，只要把图幅设计到大小、比例合适就行了。实验中，不要求用作图法求解物理量的图，大部分都是示意图。作图时纵坐标和横坐标的比例不一定相同，坐标原点也不一定与变量的

6、零点一致。应适当地选择比例和坐标原点，使曲线比较对称地充满整个图纸，不要偏于一角或一边。有时，我们对图的局部细节感兴趣，也可以把这部分放大、或放大到整个图纸。，如果曲线上某一段相对于x或y基本不变化，也可以省略这一部分（用图线省略标记“”表示，如省略了一段的横线表示为“”），以把有限的图幅用于其它部分。总之作图之前规划好作图对象、大小、比例、坐标类型等（参见图1-4-1），对能否完成合理、美观的作图非常重要。（2）标明坐标轴和图名。通常横坐标代表自变量纵坐标代表因变量；在轴的末端一定要画出方向、标明所代表的物理量（或符号）及单位；在轴上每隔一定间距（直角坐标系一般为整数倍等间隔）标明该物理量的

7、数值作为标尺（除校正曲线外，一般不必按有效数字的规则标注，不要把实验数据标在坐标轴上，例如坐标单位是cm，标尺为2、3、4、·····，数据2.33cm、3.17cm不标在坐标轴上，），如果数据特别大或特别小，可以提出乘积因子，例如提出103或10-3放在坐标轴物理量单位符号前面；在图纸的明显位置写明图的名称（包括需要说明的实验条件、附注、作图者的姓名等）。（3）标点。根据测量数据，用“×”号标出各点的坐标。“×”号可用直尺和尖笔清楚地画出，使与实验数据对应的坐标准确地落在“+”号的交点上。一张图上要画出几条曲线时，各条曲线

8、可用不同的标记，如“×”、“+”、“”、“”、“”、“I” 等。通常不用圆点“”,特别要注意不得使用小圆点“·”，因为小圆点不醒目，容易被曲线盖掉。如果标记用“”、“”、“”、“I” 等，坐标应准确地落在标记的中心上。（4）连线。如果图线是反映物理量之间关系的，就要画拟合直线或把数据点“连”成光滑的曲线，连线时不一定通过所有点（有时甚至一个点都不通过），而是让其（数量、距离）均匀地分布在曲线（直线）的两旁；如果是校正曲线，就必须通过每个点连成折线。作图时要使用作图工具，不能随意画出。一张图上要画出几条曲线时，各条曲线可用不同、虚线“-”、点划线“-”等。 的虚实线或颜色表示

9、，如实线“”）图1-4-1 根据不同需要绘出的某稳压二极管的IV曲线3常用的图表类型及应用（1）平滑曲线表示一定条件下两个物理量之间相互关系的图线。实验中测得的一系列数据，用图线表示出来，能一目了然地显示出物理量之间的相互关系、变化趋势、极值、转折点和周期等情况，能方便地用内插法在图上直接得出图线范围内任意的x值及相应的y值；在一定条件下，用外推法可以从图线的延伸部分得到测量数据范围以外的数据；可以帮助发现实验中个别测试点测量结果的错误，并可对系统误差进行分析等。例3 温度为20时某一定质量的稀有气体的压强p和体积V的测量值如表1-4-3所示。表1-4-3 气体压强p 体积V关系 （温度为20

10、） V（×10-3m3）p（Pa）根据测量数据描点作出pV图参见图1-4-2。p Pa） （p V图V（×10-3m3）图1-4-2 某气体在20时的p V曲线系图从pV图上用内插法可以直接读出未进行测量的压强p和体积V的值，如体积V=450×10-3m3时，压强p=2.42Pa。在具有一定可靠性的条件下，可以将曲线向实验数据范围以外延伸，延伸部分用虚线画出，以区别于实测范围内的实线。例如从pV图上用外推法推得到体积V=800×10-3m3时，压强p=1.40Pa。需要注意的是：实验图线不能随意延伸，不能认定在一定范围内得到的规律一定可以适用于另一范围。

11、绘平滑曲线时要注意实验数据是否充足，一般来讲，曲线上接近于直线的部分至少需要3组数据；曲线上的一个弯曲部分至少需要5个数据，曲线弯曲的程度越高，需要的数据也越密集；曲线斜率越大自变量也应该取得越密集。否则绘制出的平滑曲线不能很好地反映测量的物理规律，应用于内插法和外推法时误差就大，甚至出现错误。例如p V图中在体积V为100200×10-3m3的部分曲线斜率较大，应该在150×10-3m3处多测一组数据。如果绘体积V从50200×10-3m3范围内的pV曲线，还应该在50、55、60、70、80×10-3m3处测5组数据才能满足要求。所以，测量和画图线是

12、密切相关的，有时需要边画图线边测量补充数据。对于十分复杂的曲线，例如夫兰克赫兹管的阳极电流IAUGK曲线（参见实验37），需要大量的实验数据，记录这些数据非常繁琐，如果数据仅仅用于画图线，就没有必要记录数据，一边测量一边把数据点画到图上可以提高实验和分析的速度。（2）校正曲线校正曲线是折线图，相邻的实验点之间都是直线连接。如仪器使用日久或维修之后，性能下降，可能达不到原设计指标，为确保测量数据的可靠性，应该用标准仪器或级别较高的同类仪器作为标准进行校验。设被校验表的读数为A被校，标准表的读数为A标准，则用校正值A=A标准-A被校为纵坐标，A被校为横坐标，各相邻校验点之间用直线连接起来得到的AA

13、被校图线即为校正曲线。例4 对一电压表进行校正时，测的数据如表1-4-4所示。绘出的校正曲线如图1-4-3所示。表1-4-4 某电压表校正数据 被校表示值U被校（V）标准表测量值U标准（V）U=U标准-U被校（V）-0.20-0.15U（V） U U被校图被校（V）用被校电压表进行测量时，测得读数为U，校正曲线上对应的校正值为U，则测量例如，测得某电压的示值为2.35 V，查校准曲线得到该示值的校正值为-0.18V，值为U+U。测出的电压即为2.35-0.18=2.17V。（3）定标曲线有的仪器读数不是我们需要的测量数据，但与需要的测量数据之间有确定的对应关系，这种对应关系用图线的形式表现出来

14、就是定标曲线。利用定标曲线测量的具体方法是先用标准仪器测出一系列仪器读数对应的定标数据，绘出定标曲线（绘制定标曲线的方法与平滑曲线相同，横坐标是仪器读数，纵坐标是定标值）。测量时，用内插法由定标曲线得到测量值。（当定标数据覆盖了全部量程范围时，可以不绘定标曲线，直接查表就可以了）。例如用热电偶测量温度时，测出的是温差电动势。要想根据温差电动势求出对应的温度，必须先用标准温度计为热电偶定标，确定热电偶的温度与电动势之间的对应关系图线定标曲线。常温下，测得某铜康铜热电偶的温差电动势E与温度t的对应数据如表1-4-5所示。绘出的定标曲线如图1-4-4所示。因是在常温下，t E关系是近似线性的，所以定

15、标曲线为拟合直线。当温度范围很宽时，t E关系是非线性的，必须绘成平滑曲线。表1-4-5 某铜康铜热电偶的温差电动势E与温度t的对应关系 E（mV）1.2001.4001.6001.8002.0002.200t（）53.657.261.265.369.773.6图1-4-3 某电压表的校正曲线t（） t E图E（mV）使用该热电偶测温度时，可在定标曲线的范围内，用内插法由温差电动势的值读出对应的温度的值。 图1-4-4 某热电偶的定标曲线4根据图线求经验方程的常数由实验数据求得的物理量间的函数关系式称为经验方程或经验公式。要建立经验方程的函数形式必须确定其中的常数。（1）求直线的斜率与截距从实

16、验得出的一系列数据为线性关系或近似为线性关系时，可用一直线作为其图线。由这些数据得到直的图线的过程叫做直线拟合。直线拟合时，数据应均匀地分布在直线两边。设直线方程为y=a+bx （1-4-1）用不同于实验如果在直角坐标系所作的直线上取两个非实验点P1(x1,y2)和P2(x2,y2)，点的符号标明。为了减小误差，P1和P2点不要相距太近（一般在直线的两端附近选取），代入式（1-4-1），可得斜率（注意：斜率是有单位的）yy1 （1-4-2） b=2x2x1如果x=0不在图线横坐标范围内，一般不要把直线外推至x=0其截距a为x=0时的y值；处求截距，因为会带来附加误差。用二点法可以方便地求出截距

17、a=x2y1x1y2 （1-4-3） x2x1，并利用式（1-4-2）也可方便 在直线上取第三个非实验点P3(x3,y3)，代入式（1-4-1）地求出截距，而且比二点法准确，这种方法叫三点法。具体公式为a=y3y2y1x3x2x1 （1-4-4）4曲线改直从实验得出的数据常近似满足一定的非线性函数关系，给实验数据找到合适的非线性函数图线的过程叫做曲线拟合。很多非线性的函数形式可通过适当变换成为线性关系，我们把这种变换称为曲线改直。曲线方程改直后，就可以通过求出直线的斜率和截距确定曲线方程的常数。（1）幂函数y=axb，a、b为常数。则lgy=blgx+lga，lgy为lgx的线性函数，斜率为b

18、，截距为lga。（2）指数函数y=aebx，a、b为常数。则lny=bx+lna，lny为x的线性函数，斜率为b，截距为lna。（3）指数函数y=abx，a、b为常数。则lgy=(lgb)x+lga，lgy为x的线性函数，斜率为lgb，截距为lga。（4）反比函数I=C，C为常数。 则I=C1，I为1/的线性函数，斜率为C。（5）抛物线函数y2=2Px，P为常数。 则y=±2Px1/2，y为x1/2的线性函数，斜率为±2P。x，a、b为常数。 a+bx1111则=a+b，为的线性函数，斜率为a，截距为b。 yxyx（6）y=（7）S=v0t+则12at，v0、a是常数。 2

19、1aSS=v0+at，为t的线性函数，斜率为，截距为v0。 2t2t5作图举例例5 测得铜的电阻（Rt）与温度（t）对应的一组数据，如表1-4-6所示。试用作图法作出Rt曲线（直线），并求出此直线的截距a和斜率b，写出电阻随温度变化的关系式。表1-4-6 电阻（R）温度（t）关系测量次数k温度t（oC）电阻Rt（） 29.1029.5630.1030.57解 选用直角坐标纸，横坐标表示温度t（自变量），每小格代表1.0oC；纵坐标表示电阻Rt（因变量），每小格代表0.10。根据测量数据描点，利用直尺作出Rt的关系图，如图1-4-5所示。和在图中任选两点P1(19.0,28.45)P2(48.0

20、,31.38)，将这两点的坐标代入式（1-4-2）中就可得到斜率31.3828.45=0.101(/!C) 48.019.0由于图中无x=0点，将第三点b=P3(43.0,30.88)代入式（1-4-4）得到截距a=30.880.101×43.0=26.54()由此得到电阻与温度的关系为 图1-4-5 Rt t关系图 Rt=26.54+0.101t()作图法有很多优点，但也存在不足之处；由于受坐标纸图幅的限制，有时不能完全反映测量值的有效数字；另外，同一数据，不同的人同或同一人两次描绘，结果也不尽相同。因此作图法是一种粗略的方法。三、逐差法1逐差法的含义实验中经常会碰到自变量等间距变

21、化的测量，在这种情况下，可以用逐差法处理数据。所谓逐差法，就是把实验测量数据中的因变量进行逐项相减或依顺序分为两组实行对应项相减之差作为因变量的（等精度）多次测量值，然后求出最佳值算术平均值的处理数据的方法。例6 用伏安法测电阻得到一组数据，如表1-4-7所示，试用逐差法求出电流I的最佳值，并计算出电阻R。表1-4-7 伏安法测电阻数据表测量次数k电压V（V）电流I（mA） 4.003.952.086.006.031.998.0010.0012.0018.008.021.949.9611.9718.062.012.01 Ik=Ik+1-Ik（mA） 9.9310.0310.0110.04Ik=

22、 Ik+5-Ik（mA） 10.0010.0010.0010.00Vk=Vk+5-Vk（mV） 解（1）如果按逐项相减，就如表1-4-7中Ik+1-Ik栏中列出的结果，它使原在不同电压下测得的电流值变为在相同电压（2.00V）下（等精度）多次测量的电流值。这样，就可以算出电流的最佳值，即算术平均值。但值得注意的是，由于自变量是等间距变化的，在这种情况下计算算术平均值会使电流的中间测量值相互抵消，只有首尾两次测量值起作用，失去了多次测量的意义。因此，逐项逐差的方法不宜用来求平均值，一般可用它来验证函数表达式，比如上述结果可以说明I与V之间存在线性关系。（2）如果按顺序分为两组（15为一组，610

23、为一组），实行对应项相减，其结果通它也是使原在不同电压下测得的电流值变为在相同电压下过表1-4-7中的Ik+5Ik栏列出。多次测量的电流值，不同的是相同的电压不再是2.00V，而是10.00V。在这种情况下，尽管自变量仍是等间距变化，但在计算电流的平均值时不会使中间测量值互相抵消，从而起到多次测量的效果。可以利用这种分组法计算因变量（I）的平均值I=10.04+10.01+10.03+9.93+9.9649.97=9.994（mA） 55注意上式中电流测量值有效数字到0.01mA位，而计算结果的有效数字到0.001mA位，说明多次测量并严格按有效数字的规则运算时起到了平均的效果，可以提高测量精

24、度，粗略解释为减小了统计不确定度。同理，计算自变量（V）的平均值V=10.00+10.00+10.00+10.00+10.0050.00=10.00（V） 55根据欧姆定律得R=VV10.003=1.001×10() 3II9.994×102有关逐差法的几点说明（1）逐差法的应用：验证函数关系式；能发现系统误差或实验数据的某些变化规律；计算直线关系的斜率比较方便。（2）逐差法的优、缺点：它可以充分地利用测量数据，并对数据有取平均的效果，但不确定度比最小二乘法（见下节）大，正规分析处理数据数时一般不用。（3）使用逐差法的条件：验证函数关系式时，自变量是严格等间距变化的。（4）

25、逐差法计算不确定度时，把两个数据的差作为直接测量量来计算不确定度，在数据较少时（7个数据逐差后有效数据仅为3个）仪器误差一般要按常规值的1.4倍计算。（5）如果测量数据不是偶数组，计算时就需要去掉头、尾或中间的一组。四、最小二乘法1回归分析法在数据处理中，根据实验数据要找出两个（或多个）物理量之间的定量（函数）关系可以采用作图法和近似计算法。作图法和逐差法都比较粗略，最准确的近似计算方法是回归分析法。所谓回归分析法就是用数理统计的方法去处理数据，并确定其函数关系的方法。在用回归分析法处理数据、确定函数关系时，一般有三个步骤：首先根据理论推断或者实验数据变化的趋势推测出函数的具体形式，比如推断物

26、理量x和y之间的关系是线性关系，则函数形式可写成y=a+bx如果是指数关系，则可写成y=aebx+c等，通常把这些方程称为回归方程；第二步是用实验数据来确定方程中的待定常数a、b、c等的最佳值；最后还要根据实验数据来检验所推断的函数关系是否合理。本书不讨论第一步，只重点研究第二步，简单介绍第三步。下面我们只研究一元线性回归，即自变量只有一个的线性函数关系。实际上就是确定线性关系中的待定系数a和b。一旦a和b确定之后，直线就确定了，故这个过程又称为直线拟合（如果不是线性回归，而是其他的函数关系，就叫曲线拟合），得到的关系式称为经验公式。2最小二乘法（1）最小二乘原理高斯从解决一系列等精度测量最佳

27、值问题中建立了最小二乘原理，即最佳值乃是能使各次测量误差的平方和为最小的那个值。用数学表达式可写成(xxii=1k最佳)2=min （1-4-5）最小二乘中的“二”就是指的平方。（2）一元线性回归（直线拟合）假定已知函数的形式为y=a+bx （1-4-6）由实验测得一组数据为x=x1,x2,",xky=y1,y2,",yk现在的问题是要通过这组数据求出待定常数a和b的最佳值，即拟合成一条直线。在测量中x和y都存在误差，为了简化问题的研究，设只有y存在误差，并用i表示，而x的测量无误差。把i和x、y的各测量值代入式（1-4-6）中，有1=y1(a+bx1)2=y2(a+bx2

28、)#i=yi(a+bxi)#k=yk(a+bxk)（注：把没有误差的xi代入式（1-4-6）中算出的yi也是无误差的。）按最小二乘原理，a、b的最佳值应满足i=1ki2=(yabx)iii=1k2=min （1-4-7）为了求2的最小值，把式（1-4-6）对a和b求偏微分（xi和yi这时是常量），并令一阶偏微分为零，则有kk2i=2(yiabxi)=0 ai=1i=1kk2i=2(yiabxi)xi=0 bi=1i=1k整理后可得 1如果用表示x的平均值，=ki=1i=1 （1-4-8） kkkxiyiaxibxi2=0i=1i=1i=1yikabkxi=01kxi；表示y的平均值，=yi；x

29、2表示x2的ki=1i=1k1k21k平均值，即x=xi；xy表示xy的平均值，即xy=xiyi，代入式（1-4-8）中得 ki=1ki=12ab=0 2xyabx=0解以上关于a、b的二元一次方程得a=xxyyx2xxyxyx2222 （1-4-9） b= （1-4-10）式中，a和b就是用最小二乘法求出的拟合直线的截距和斜率的最佳值。 如果0，也可以用下式计算bb=a （1-4-11） 注意：（1）用最小二乘法计算截距和斜率时，不宜用有效数字的运算法则计算中间过程，否则会引入较大的计算误差，提倡用计算器计算，把显示值都记下来为好。如果x与y的相关性好,粗略考虑a的有效位数的最后一位与y的有

30、效数字最后一位对齐，b的有效数字与yky1和xkx1中有效位数较少的相同。确定有效位数的可靠方法是计算a和b的不确定度。（2）用最小二乘法求出拟合直线时，并不要求自变量等间距变化，测量时比逐差法更方便。（3）直线拟合的不确定度a和b是间接测量物理量，分别令测量数据的A类和B类不确定度分量中的一个分量为零，求出另一个分量比较简单，最后将两个分量按直接测量的合成方法求出合成不确定度，我们把这种方法称为等效法。可以证明，在假设只有y存在随机误差的情况下（实际上x的误差可折算到y内，而假设x的测量无误差）， yi的标准偏差为Sy=i=1k2in2=(yi=1kiabxi)2n2 （1-4-12）a和b

31、的“等效”A类不确定分别是Sa=x2n(x)22 Sy （1-4-13）Sb=Syn(x22)（1-4-14）a和b的等效B类不确定度主要与仪器误差x、y有关，x、y在测量范围内保持不变（如果测量时必须换档，仪器误差会改变）。注意到a和b是独立求出的系数，相互之间不产生附加误差。由于a=b，用等效法得到a的等效B类不确定度分量是1(b2(b)21ua=x=b22x+2y （1-4-15） x+y=xx322上式和式（1-4-13）合成为a的合成不确定度a=Sa+ua 。22同理，斜率b=a，得到 221a2a21ub=2b22x+2y （1-4-16） +xyx3y2上式和式（1-4-14）合

32、成，就得到b的合成不确定度b=Sb2+ub 。（4）相关系数求出a和b之后直线关系就确定了，但x与y是否为线性关系还需验证。验证是通过相关系数来进行的，其表达式是=(x)(y)iik(x(yik2k（1-4-17）2ii=1i=1只要把实验数据代入式（1-4-17）就可以得到值。当1时（一般达到0.999即可），表示y和x的线性关系好，即线性函数形式正确；0时，说明实验数据分散，即线性关系不存在。最小二乘法的统计不确定度与相关系数密切相关，当1时统计不确定度变小，当当0时统计不确定度变大。最小二乘法是一种较为准确的处理数据的方法，在科学实验中运用很广泛。这种方法计算繁琐，适合于用计算机分析、处理数据。例7 还是以铜电阻与温度的关系为例