工科量子力学ch

1、 Chap.4 The representation for the states and dynamical variable11),(),(*dxtxtx121)(nnta1 1归一化条件归一化条件4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示( , )( )( )nnnx ta t u x1 111nna ta ta ta t Chap.4 The representation for the states and dynamical variable22 2、平均值公式、平均值公式dxtxxixFtxF),(),(),(*()( )( )()mmnnnma tu xFu xdx

2、a t)()(taFtanmnnmm*( )( )( ) ( )mmnnmnat ux Fa t u x dxFF4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续1） Chap.4 The representation for the states and dynamical variable3111211211212*11( )( )( ),( )( ) nnmmmnnFFFa tFFFa tFa ta tFFa t其中其中( )( )mnmnFux Fu x dx为算符为算符 的矩阵元的矩阵元F在在 表象中：表象中：F)()(xuxuFnnndxxuFxuFnmmn)(

3、)(*( )( )mn nu xu x dxn mn（续（续7）4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续 Chap.4 The representation for the states and dynamical variable41122*10000( )0000( )( ( ), ( ) ) 00000000( )0000nnna ta tFa ta ta tnnntaF2)(4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续3） Chap.4 The representation for the states and dynamical v

4、ariable53 3、本征值方程、本征值方程),(),(),(txtxxixF 在在Q Q表象中，其矩阵形式为表象中，其矩阵形式为：1112111212222212()()()()()()mmnnnnmnFFFa ta tFFFa ta tFFFa ta t （1 1）移项得移项得：4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续4） Chap.4 The representation for the states and dynamical variable61 1121121222212()()0()mmnnnnmFFFa tFFFa tFFFa t （m = 1m

5、= 1，2 2，3 3）nnmnmntaF0)()(（2 2）此式即为线性齐次方程组：此式即为线性齐次方程组：非零解的条件是系数行列式等于非零解的条件是系数行列式等于0 0，即久期方程：，即久期方程：4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续5） Chap.4 The representation for the states and dynamical variable71112121222120nnnnnnFFFFFFFFFi求出本征值求出本征值(1, 2,)i将每个将每个 值分别代入矩阵方程（值分别代入矩阵方程（1 1）或（）或（2 2），求），求出出, , 即

6、得本征函数即得本征函数 12( ),( ),iiat ati12iiiaua(1,2,)i这样变解微分方程这样变解微分方程为解代数方程。为解代数方程。4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续6） Chap.4 The representation for the states and dynamical variable80 1 000221 0 10220 1 000 xyiLLiii Ex. 已知在已知在 和和 的共同表象中，算符的共同表象中，算符 和和 的矩阵分别为的矩阵分别为2zLLxLyL求它们的本征值和归一化的本征函数，最后将矩阵求它们的本征值和归一化的

7、本征函数，最后将矩阵 和和 对角化。对角化。 xyLLabc 本征方程为本征方程为xLSolve:Solve:设设 的本征值为的本征值为 , ,本征波函数为本征波函数为22xL4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续7） Chap.4 The representation for the states and dynamical variable90 1 0221 0 1220 1 0aabbcc 要使本征波函数不为零，亦即要求要使本征波函数不为零，亦即要求a,b,ca,b,c不全为零，不全为零，其条件是（其条件是（1 1）中的系数矩阵的行列式为零。）中的系数矩阵的

8、行列式为零。 1011001abc （1 1）1011001320久期方程久期方程123202 2 本征值本征值 4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续8） Chap.4 The representation for the states and dynamical variable101122330,222,2101210012abc 22babc当当 时，时， 由（由（2 2）有）有124.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续9）112112babc Chap.4 The representation for the states

9、and dynamical variable11*12111112212bb111 由归一化条件由归一化条件: :4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续10）*12bb12b归一化常数归一化常数111221归一化的波函数归一化的波函数 Chap.4 The representation for the states and dynamical variable12当当 时时, ,由（由（2 2）有）有200101010010abc 4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续11）0bca2101a12aabc *2221a a 归一化条件

10、归一化条件归一化的归一化的波函数：波函数：211021 Chap.4 The representation for the states and dynamical variable13当当 , ,由（由（2 2）有：）有： 322101210012abc 22babc4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续12）31221babc 归一化条件归一化条件331 12b311221归一化的归一化的波函数：波函数： Chap.4 The representation for the states and dynamical variable141122121221102

11、1311221构成一个构成一个正交归一正交归一本征函数本征函数完备系完备系xL的对角矩阵的对角矩阵iji j 正交归一化条件：正交归一化条件：(,1,2,3)i jxL12300 00 0 00 00 4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续13） Chap.4 The representation for the states and dynamical variable15 类似地类似地, , 可求出可求出 的本征值、归一化的本征函数的本征值、归一化的本征函数系和对角阵。系和对角阵。 yL本征值本征值 123,0,4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公

12、式的矩阵表示（14）本征波函数：本征波函数：111221i211021 311221iijij 正交归一化条件：正交归一化条件：(,1,2,3)i j Chap.4 The representation for the states and dynamical variable16yL的对角矩阵的对角矩阵：0 00 0 00 0yL4.3 4.3 量子力学公式的矩阵表示量子力学公式的矩阵表示（续（续15） Chap.4 The representation for the states and dynamical variable174 4、薛定谔方程、薛定谔方程),(),(),(txxixHtxti在在Q Q表象中，其矩阵形式为：表象中，其矩阵形式为：)()()()()()(2121222211121121tatataHHHHHHHHHtatatatinmnmmnnnyL的对角矩