2011年考研数学一真题及参考答案

1、2011 年数学试题（）一、选择题1、 曲线 y = (x -1)(- 4)4 的拐点是（）（A）（1，0）（B）（2，0）（C）（3，0）（D）（4，0）【】C 【考点分析】本题考查拐点的。直接利用拐点的必要条件和第二充分条件即可。【】由 y = (x -1)(- 4)4 可知1, 2, 3, 4 分别是yx -1)( x - 2)2 ( x - 3)3 ( x - 4)4 = 0 的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知 y(1) 0 ， y(2) = y(3) = y(4) = 0y(2) 0 ， y (3) = y (4) = 0 ， y (3) 0, y (4) = 0

2、，故（3，0）是一拐点。n2、 设数列 an 单调减少， lim an = 0 ， Sn = ak (n = 1,2LL)，则幂级数 nk =1 a( x -1)n 的收敛域为（） （A） (-1，1（B） -1，1)（C） 0，2)（D）nn=1(0，2【】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。n= a (n = 1,2LL)，说明幂级数 a ( x -1)n 的收敛半径 R 1；【】 Snknk =1n=1a 单调减少， lim a = 0 ，说明级数 a(-1)n 收敛，可知幂级数 a ( x -1)n 的收敛nnnnn

3、n=1n=1半径 R 1。因此，幂级数 a ( x -1)n 的收敛半径 R = 1 ，收敛区间为(0, 2) 。又由于 x = 0 时幂级数nn=1收敛， x = 2 时幂级数发散。可知收敛域为0, 2) 。连续导数，且 f (x) 0 ， f (0) = 0 ，则函数 z = f (x) ln f ( y)3、 设 函数 f (x) 具有在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）（A） f (0) 1，f (0) 0(B) f (0) 1，f (0) 0(C) f (0) 0(D) f (0) 1，f (0) 0 ， f (0) ln f (0) f (0) 0所以有 f (0) 1

4、，f (0) 0ppp4、设 I =ln sin xdx, J =ln cot xdx, K =ln cos xdx ，则 I , J , K 的大小关系是()444000（A） I J K【】 B（B） I K J（C） J I K（D） K J I【考点分析】本题考查定的性质，直接将比较定的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。】 x (0, p ) 时， 0 sin42 cos x cot x ，因此lnsinln cos x ln cot x【2p4pp4ln sin xdx ln cos xdx 1时，方程 k arctan x - x = 0 有两个实根【考点分析】：本题考查方程

5、组根的讨论，主要用到函数单调性以及闭区间上连续函数的性质。解题时，首先通过求导数得到函数的单调区间，再在每个单调区间上检验是否满足零点存在定理的条件。- x22【】：令 f (x) = k arctan x - x ，则 f (0) = 0 ， f (，当 k 1时， f (x) 0 ， f (x) 在(-, +) 单调递减，故此时 f (x) 的图像与 x 轴（1）与只有一个交点，也即方程 k arctan x - x = 0 只有一个实根k = 1时，在(-, 0) 和(0, +) 上f (x) 1时，- k -1 x 0 ， f (x) 在(- k -1, k -1) 上单调（3）增加，

6、又 f (0) = 0 知， f (x) 在(- k -1, k -1) 上只有一个实根，又 f (x) (-, - k -1)f (x) 0 ， f (x) 在(-, - k -1) 或( k -1, +) 都单调减，又或( k -1, +)f (- k -1) 0, limf (x) = - ，所以 f (x) 在x-x+(-, - k -1) 与 x 轴无交点，在( k -1, +) 上与 x 轴有一个交点综上所述： k 1时，方程 k arctan x - x = 0 只有一个实根k 1时，方程 k arctan x - x = 0 有两个实根1 ln(1+ 1 ) 0 。x +1先证

7、明ln(1+x, x 0 ：f (x) 在0, +) 上单调递增。令 f= x - ln(1+ x) 。由于 f 0, x 0 ，可知又由于 f (0) = 0 ，因此当 x 0 时， f (x) f (0) = 0 。也即ln(1+x, x 0 。 0 ：再证明x +1令 g(x+111 0, x 0 ，可知 g ( x) 在0, +) 上。由于 g(1+ x)2单调递增。由于 g (0) = 0 ，因此当 x 0 时，g(x) g(0) = 0 。也即x +1 0 。 0 。再令由于，即可得到所需证明的不等式。因此，我们证明了x +11n +1 ln(1+ 1 ) 可知：数列a 单调递1n

8、 +1- ln(1+ 1 ) ，由不等式n（2）a- a =n+1nnn减。又由不等式ln(1+ 1 ) ln(1+1) + ln(1+ 1) +. + ln(1+ 1) - ln n = ln(n +1) - ln n 0 。n2n2n因此数列an 是有界的。故由单调有界收敛定理可知：数列an收敛。连续偏导数，且 f (1, y) = 0, f (x,1) = 0 ，19、（本题满分 11 分）已知函数 f (x, y) 具有Df (x, y)dxdy = a ， 其 中 D = (x, y) | 0 x 1, 0 y 1 ， 计 算 二 重I = xyfxy(x, y)dxdyD】： a【

9、考点分析】：本题考查二重的计算。计算中主要利用分部法将需要计算的式化为已知的式，出题形式较为新颖，有一定的难度。 xyfxy(x, y)dxdy 转化为累次【】：将二重可得D11xyf(x, y)dxdy =dyxyfxy (x, y)dxxy00D1首先考虑xyfxy(x, y)dx ，注意这是是把变量 y 看做常数的，故有011111- yf (x, y)dx = yf (1, y) -yfy(x, y)dxxyf(x, y)dx = yxdfy(x, y) = xyfy(x, y)xyyy00000由 f (1, y) = f (x,1) = 0f (1, y) = f (x,1) =

10、0 。yx11xyf(x, y)dx = -yfy(x, y)dx 。故xy001111Dxyf(x, y)dxdy =dyxyfxy (x, y)dx = - dyyfy(x, y)dxxy00001111次序可得： -dyyf (x, y)dx = -dxyfy(x, y)dy对该交换y00001yfy(x, y)dy ，注意这里是把变量 x 看做常数的，故有再考虑0111110yf (x, y)dy =ydf (x, y) = yf (x, y)- f (x, y)dy = -f (x, y)dyy0000因此1111xyf(x, y)dxdy = -dxyfy(x, y)dy = dx

11、f (x, y)dy = f (x, y)dxdy = axy0000DD= (1, 0,1)T ,a = (0,1,1)T ,a = (1,3,5)T 不能由20、（本题满分 11 分）a123= (1, a,1)T , b = (1, 2,3)T , b()b= 1,3,5线性表出。求a ；将 b , b , b 由a ,a ,aT123123123线性表出。21205)10】： a = 5 ； (bb ) = (abaa4【123123-1- 2【考点分析】：本题考查向量的线性表出，需要用到秩以及线性方程组的相关概念，解题时注意把线性表出与线性方程组的解结合起来。】： 由于a1,a 2

12、,a3 不能由 b1, b2 , b3 表示【= a - 5 = 0 ，a = 5可知本题等价于求三阶矩阵C 使得(b1, b2 , b3 ) = (a1,a2 ,a3 )C(a ,) (-1b , b , b可知C,12312215计算可得C = 410 2 -10-2 21205)10因此(bb ) = (abaa4123123-1- 2 11 -11 21、（本题满分 11 分） A 为三阶实矩阵， R( A) = 2 ，且 A 00 = 0 0 -11 11 （1）求 A 的特征值与特征向量（2）求 A 1 -1 0 】：（1） A 的特征值分别为 1，-1，0，对应的特征向量分别为

13、0 ， 0 ， 1 【 1 1 0 0001（2） A = 00100【考点分析】：实对称矩阵的特征值与特征向量，解题时注意应用实对称矩阵的特殊性质。-1-1 1 1 【】：（1） A 0 = - 0 A 0 = 0 1 1 1 1 1-1 可知：1，-1 均为 A 的特征值， x = 0 与x =0 分别为它们的特征向量 121 1 r( A) = 2 ，可知 0 也是 A 的特征值而 0 的特征向量与x1 ， x 2 正交 x1 设x3 = x2 为 0 的特征向量 x 3 0 x1 + x3 = 0得x3 = k 1有- x + x = 013 0 A 的特征值分别为 1，-1，0 1

14、-1 0 对应的特征向量分别为 0 ， 0 ， 1 1 1 0 （2） A = RLR -11-10110其中L = -1 ， R= 0100 11 100-1-1 01-1 011故 A = 01 01-11 0 0 101 1202 - 1011011 1= 01- 1- 2210100010100= 0010022. （本题满分 11 分）P ( X 2 = Y 2 ) = 1求：（1） ( X ,Y ) 的分布；（2） Z = XY 的分布；（3） rXY .【】：（1）（2）（3） rXY= 0【考点分析】：本题考查二维离散型分布的分布律及相关数字特征的计算。其中，最主要的是第一问分

15、布的计算。【】：（1）由于 P ( X 2 = Y 2 ) = 1，因此 P ( X 2 Y 2 ) = 0 。故 P ( X = 0,Y = 1) = 0 ，因此P ( X = 1,Y = 1) = P ( X = 1,Y = 1) + P ( X = 0,Y = 1) = P (Y = 1) = 1/ 3Z-101P1/31/31/3XY01-101/301/30101/3Y-101P1/31/31/3X01P1/32/3再由 P ( X = 1,Y = 0) = 0 可知P ( X = 0,Y = 0) = P ( X = 1,Y = 0) + P ( X = 0,Y = 0) = P

16、(Y = 0) = 1/ 3同样，由 P ( X = 0,Y = -1) = 0 可知P ( X = 0,Y = -1) = P ( X = 1,Y = -1) + P ( X = 0,Y = -1) = P (Y = -1) = 1/ 3这样，我们就可以写出( X ,Y ) 的分布如下：（2） Z = XY 可能的取值有-1， 0 ，1其中 P(Z = -1) = P( X = 1,Y = -1) = 1 / 3 ， P(Z = 1) = P( X = 1,Y = 1) = 1 / 3 ，= 0) = 1 / 3 。则有 P(Z 因此， Z = XY 的分布律为（3） EX = 2 / 3

17、， EY = 0 ， EXY = 0, cov( X ,Y ) = EXY - EXEY = 0cov( X ,Y )故 rXY= 0DXDY, x 为来自正态总体 N(m ,s 2 ) 的简单随机样本，其中 m,23、（本题满分 11 分）设2n00已知， s 2 0 未知， x 和 S 2 分别表示样本均值和样本方差，（1）求参数s 2 的最大似然估计s 2（2）计算 E(s 2 ) 和 D(s 2 )n( X - m2s 4)2】：（1）s =s ) = s , D(s ) =2 i0n222E(【（2）ni=1【考点分析】：本题考查参数估计和随量数字特征的计算，有一定的难度。在求s 2

18、 的最大似然估计时，最重要的是要将s 2 看作一个整体。在求s 2 的数学期望和方差时，则需要Z-101P1/31/31/3YX-101001/ 3011/ 301/ 3综合应用数字特征的各种运算性质和公式，难度较大。【】：（1）似然函数)2 nn(x - m )2 (x - m11L (),s=exp - =-2i02i02expn2s2s2psn2p 2s n i=1i=1n(x - mn(x - m)2)2nnn1则ln L = -ln 2p - n ln s -= -ln 2p -ln s 2 -i02 i022ss2222i=1i=1n(x - m ln L)2n1= -+ i02(s 2 ) i=1s2s222n ln L(x - m)2= 0 可得 s 2 的 最 大 似 然 估 计 值 s =2 i0n令， 最 大 似 然 估 计 量s2i=1n( X - m)2s =2 i0ni=1（2）由随量数字特征的计算公式可得)2 n( X - mn1ns ) = E=E( X - m ) = E( X - m ) = DX = s2222E( i0ni0101i=1i=1)2 n( X - m