几何证明的好方法

1、几何证明的好方法一一截长补短有一类儿何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。这-类题目一般可以采取“截氏”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截 长”，就是将三者屮最长的那条线段分为二，使其中的条线段与已知线段相等，然后证明其中的另-段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短” ，就是将 一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。 然后求出延长后 的线段与最长的已知线段的关系。有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的 三角形进行求解。截K法：(1) 过某一点作长边的垂线(2) 在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。补短法(1) 延长短

2、边。(2) 通过旋转等方式使两短边拼合到一起。儿种截长补短解题法类型我们大致可把截长补短分为下面儿种类型；类型a±b=ca±b=kc类型a±b类型cc2=a b对于类型,可采取直接截氏或补短，绕后进行证明。或者化为类型证明。对于，可以将a±b与c构建在一个三角形中，然后证明这个三角形为特殊三角形，如等边三角形，等腰直角三角形，或一个角为30°的直角三角形等。对于类型，般将截长或补短后的 a±b与c构建在一个三角形中，与类 型相同。实际上是求类型中的k值。c b对于类型，将c2=ab化为一二的形式，然后通过相似三角形的比例关系进a c行

3、证明。在证明相似三角形的过程中，可能会用到截长或补短的方法。例:BA在正方形ABCD中，DE二DF, DG CE,交CA于G, GH AF,交AD于P,交CE延长线于H,请问三条粗线DG. GH, CH的数量关系方法一（好想不好证）BA方法二（好证不好想）BM A例题不详解。（第2页题目答案见第 3、4页）（1）正方形ABCD中,点E在CD上，点F在BC上,EAF=45° o求证：EF=DE+BF（变形a正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF=45° .请问现在EF、DE、BF又冇什么数量关系EAF=45°。正方形ABCD中，点E在DC延

4、长线上，点F在CB延长线上,请问现在EF、DE、BF 乂有什么数量关系(变形cBDC=120° » 请正三角形ABC中，E在AB丄，F在AC丄EDF=45。DB=DC问现在EF、BE、CF又冇什么数量关系(1)变形d正方形 ABCD 中，点 E 在 CD 上，点 F 在 BC 上， EAD=15° ,FAB=30° o AD= 3求AEF的面积(1)解:(简单思路)延长CD到点G,使得DG=BF,连接AG。山四边形ABCD是正方形得ADG= ABF=90°AD=AB乂 DG=BF所以 ADG ABF (SAS)GAD= FABAG=AF山四边形

5、ABCD是正方形得DAB=90° = DAF+ FAB=DAF+ GAD= GAF所以 GAE= GAF- EAF=90° -45 0 =45°GAE= FAE=45乂 AG=AFAE=AE所以 EAG EAF (SAS)EF=GE=GD+DE=BF+DE变形a解：（简单思路）BEF= BF-DE在BC上截取BG,使得BG=DF,连接AGo山四边形ABCD是正方形得ADE= ABG=90°AD=AB乂 DE=BG所以 ADE ABG (SAS)EAD= GABAE=AG由四边形ABCD是正方形得DAB=90° = DAG+ GAB=DAG+ E

6、AD= GAE所以 GAF= GAE- EAF=90° -45 o =45°GAF= EAF=45°乂 AG=AEAF=AF所以 EAF GAF (SAS)EF=GF=BF-BG=BF-DE变形b解：（简单思路）EF=DE-BF在DC上截取DG,使得DG=BF,连接AGo III四边形ABCD是正方形得ADG= ABF=90°AD=AB乂 DG=BF所以 ADG ABF (SAS)GAD= FABAG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB=90° = DAG+ GAB=BAF+ GAB= GAF所以 GAE= GAF EAF=90°

7、-45 0 =45°GAE= FAE=45又 AG=AFAE=AE所以 EAG EAF (SAS)EF=EG=ED-GD=DE-BF变形c解：（简单思路）EF二BE+FC延长AC到点G使得CG二BE,连接DG°III ABC是正三角形得ABC= ACB=60°乂 DB二DC, BDC=120°所以 DBC= DCB=30°DBE= ABC+ DBC=60° +30° =90°ACD= ACB+ DCB=60° +30 ° =90°所以 GCD=180° ACD=90°

8、;DBE= DCG=90°又 DB二DC, BE=CG所以 DBE DCG (SAS)EDB= GDCDE=DG乂 DBC=120°= EDB+ EDC = GDC+ EDC= EDG 所以 GDF= EDG- EDF =120° -60° =60°GDF= EDF=60°乂 DG=DEDF=DF所以 GDF EDF (SAS)ef=gf=cg+fc=be+fc变形d解：（简单思路）E延长CD到点G,使得DG=BF,连接AG。过E作EH AG.前面如(1)所证，ADG ABF, EAG EAFGAD= FAB=30° , S

9、 EAG=S EAF在 Rt ADG 中，GAD=30° , AD二、百AGD=60° , AG=2设 EH=x在Rt EGH中和Rt EHA中DHG=£x, AH=x3勺AG=2=HG+AHZx+x.EH=x=3；33S EAF=S EAG=EH AG 2=3、3.（第5页题目答案见第 6页）(2)正方形ABCD中，对角线AC与BD交于0,点E在BD上，AE平分DAC.求证：AC/2=AD-E0(2)加强版正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延长线上，CM二AN,点E在BD上.NE平分DNMo请问MN. AD. EF有什么数最关系(2)解:(简单思路)B过E作

10、EG AD于G因为四边形ABCD是正方形ADC=90° ,BD 平分 ADC, AC BD所以 ADB=ADC/2=45°因为AE平分DAC, EO AC, EG AD所以 EAO=EAG,DGE= AOE= AGE=90° 乂 AE二AE,所以 AEO AEG (AAS)所以 AG二AO, EO=EG乂 ADB=45° ,DGE=90°所以DGE为等腰直角三角形DG=EG=EOAD-DG=AD 七 O 二 AG 二 AO 二 AC/2(2)加强版解：(简单思路)MN/2=AD-EF过E作EG AD于G,作EQ AB于Q,过B做BP MN于P按

11、照(2)的解法，可求证，GNE FNE ( AAS)DGE为等腰直角三角形AG=AD-DG=AD-EF,因为四边形ABCD为止方形，ABC= GAQ= BCM=90°BD 平分 ABC, BC=BAABD= ABC/2=45° ,又 EQB=90°EQB为等腰Rt三角形， BEQ=45° 因为 GAQ= EGA= EQA=90°所以四边形AGEQ为矩形,AH=ZZHM=ACDZDBH【例1】BC AC BC ACre=PMGCA-CC9PZPBC=A=ZZZQAPPAC ZHAG ZUZZBDH=ZZAPCMBAB=BCEQ=AG=AD-EFE

12、Q77 ABACBCCPCPBC AC PCPC可广？ ？777777 9PC CB CAPC ?9 2 PA PB PC PC? ?Gtmu err*CA? MN NC MN NCBP BPAN MN AN 尸NVoM 2 CM2 子竺DC严fCD CDDC DC DC2?AC工-BC些JPCCB CA CB cacb?BCCD CD2 2 2MD2 MC2MAgMBmdmc2t"2MAgMBMC (MD MC) 2MAg 2MBMA gMB MA gMB MAgMBABC. ACBBDCEO BECDBCM ABD ABBDM MN BC CE AE BC CE 求证，BE+DF=AE.MD-2ML ABC MAgMBDMN 60 MN ZDBA NA 60° BD CE【例 2】 五边形 ABODE 中.AB=AE. BC+DE二CD. Z ABC+ZAED=180求证：AD 平分 Z CDE【例3】如图所示，ABC是边氏为1的正三仰形.BDC是顶角为120的等腰三用形.D为顶点作一个60的MDN 点M、N分别在AB . AC ±求 AMN的周长.板块二.全等与角度【例7】如图.在 中.，是的平分线，且，求ABCABC BAC 60 AD BACAC AB BD的度数由已知条件可以想到将折线AB