圆中动点问题

1、圆中的动态问题【方法点拨】圆中的动态问题实际是圆的分类讨论问题，做这种题型重要的是如何将动点转化为固定的点，从而将题型变为分类讨论【典型例题】题型一：圆中的折叠问题例题一(2012江西南昌12分)已知，纸片 O 0的半径为2,如图1,沿弦AB折叠操作.(1) 折叠后的AB所在圆的圆心为 0时，求0A的长度； 如图2,当折叠后的 AB经过圆心为 0时，求AOB的长度; 如图3,当弦AB=2时，求圆心 0到弦AB的距离；(2) 在图1中，再将纸片O 0沿弦CD折叠操作.如图4,当AB/ CD折叠后的AB与CD所在圆外切于点 P时，设点0到弦AB CD的距离之和为d,求d的值;如图5,当AB与CD不

2、平行，折叠后的 AB与CD所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形0MP的形状，并证明你的结论. A0B的长度120 二 24 :180- 3 。图2【答案】解：(1)折叠后的AB所在圆0与 O 0是等圆， 0A=0/=2o当AB经过圆0时，折叠后的AB所在圆0在O0上，如图2所示，连接 0A. 0A 0B, 0B 00 00A 0CB为等边三角形，A0B=Z ACA+Z B00=60°60°120°如图3所示，连接0A 0B/ 0A0B=AB=2, A0B为等边三角形。过点 0作 OELAB于点 E, OE=OAsin60°

3、;=、3。(2)如图4,当折叠后的AB与CD所在圆外切于点 P时，过点O作EF丄AB交AB于点H、交AEB于点E,交CD于点G 交CFD于点F,即点E、HP、O G F在直径EF上。/ AB/ CD EF垂直平分 AB和 CD11根据垂径定理及折叠，可知PH= 1 PE P(= ' PF。22又 EF=4, 点O到AB CD的距离之和d为：111d=PHPG= 1 PEn 1 PF= 1 (PEnPF) =2。222如图5,当AB与CD不平行时，四边形是 OMP平行四边形。证明如下:设O', 0'为APB和CPD所在圆的圆心，点O与点O关于AB对称，点O'于点O

4、关于CD对称,点M为的OOK点，点N为OO的中点。折叠后的APB与CPD所在圆外切，连心线OO'必过切点P。折叠后的APB与CPD所在圆与O 0是等圆，11 OP=O'P=2, PM=丄OO=ON PN-OC=OM22四边形OMP是平行四边形。【考点】翻折变换(折叠问题)相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计 算，解直角三角形，三角形中位线定理。【分析】(1)折叠后的AB所在圆O与 O O是等圆，可得 OA的长度。如图2,过点O作OEL AB交OO于点E,连接OA OB AE BE可得 OAE OBE为等边三角形，从而得到AOB的圆心角，再

5、根据弧长公式计算即可。如图3,连接OA. OB,过点O作OEL AB于点E,可得 AOB为等边三角形，根据三角函数的知识可求折叠后求AOB所在圆的圆心O到弦AB的距离。(2)如图4, AEB与CFD所在圆外切于点 P时，过点O作EFL AB交AEB于于点E,交CFD于点F,根据 垂径定理及折叠，可求点 O到AB CD的距离之和。由三角形中位线定理，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证。OD变式一 如图是一圆形纸片，AB是直径，BC是弦，将纸片沿弦 BC折叠后，劣弧BC与AB交于点D,得到BDC .(1 )若BD= CD求证：BDC必经过圆心 O(2)若 AB= 8, BD- 2CD

6、 求 BC的长.A 1变式二 如图， ABC内接于O O, AD丄 BC OE! BC OE=2 BC.(1) 求/ BAC的度数；相交于。1、。2 , PE、F,使(2) 将厶ACD沿 AC折叠为 ACF将厶ABD沿 AB折叠为 ABG延长FC和GB点H;求证：四边形 AFHG是正方形；(3 )若 BD=6 CD=4 求 AD的长.题型二：圆中的旋转问题例题二(2011 湖南常德，25.10分)已知 ABC分别以 AC和BC为直径作半圆 是AB的中点。(1) 如图8,若厶ABC是等腰三角形，且 AC=BC在AC、BC上分别取点 AOjE二/BO2F ,则有结论.沪0占三 FO2P.四边形PO

7、1CO2是菱形。请给出结论的证明；(2) 如图9,若(1)中厶ABC是任意三角形，其它条件不变，贝卩(1)中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明;(3) 如图10 ,若PC是O。1的切线，求证： AB2二BC2 3AC21(1 )T BC是OO2直径，贝U O2是BC的中点又 P是AB的中点.，二P O2是厶ABC的中位线二P O2 = 2 AC1又 AC是O O1 直径 P 02= O1C= 2 AC1同理 p O1= O2C = 2 BC/ AC = BC P O2 = O1C= P O1= O2C四边形 P°1C°2 是菱形(2)结论 PO1EA PO2F成立，结论

8、不成立1 1证明：在(1)中已证PO2= 2 AC,又O1E= 2 AC国3麼10 PO2 O1E同理可得 PO1= O2F/ PO2 > ABC 的中位线 PO2/ AC/ PO2B=Z ACB同理/ P O1A=Z ACBPO2B=Z PO1A I/ AO1E = Z BO2FP O1A+/ AO1E = / PO2B/ BO2F即/ P O1E =/ F O2 P、EO1P P02F(3) 延长AC交O 02于点D,连接BD. / BC是O 02的直径，则/ D= 90°, 又PC是O 01的切线，则/ ACA 90°/ ACP=Z D又/ PAC=Z BAD

9、APSA BAD又P是AB的中点AC AP 1AD 一 AB 一 2 AC= CD2 2 2 2在 Rt BCD中, BC =CD + BD =AC2+BD2 2 2在 Rt ABD中, AB 二 AD BD.AB2 =4AC2+BD2 =(AC2+BD2 )+3AC2ABBC2 3AC2评析：要证一个四边形是菱形，可证它的四条边相等，也可证明它是有一组邻边相等的平行四边形或对角线互相垂直的平行四边形；要证两三角形全等，可通过 SSS SAS ASA或AAS来加以判断；当待圆心是正四正四边形证式中出现多个平方的形式时，应首先考虑勾股定理及等量代换. 变式一阅读下列材料，然后解答问题。经过正四边

10、形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆。 边形的对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形。如图（十三），已知正四边形 ABCD勺外接圆O Q O 0的面积为S1,ABC啲面积为S2，以圆心0为顶点作/ M0N使/ M0N90°,将/ M0F绕点0旋转，0M 0h分别与O0相交于点E、F,分别与正四边形 ABCD勺边相交于点 G H。设0E 0F EF及正四边形 ABCD勺边围成的图形（图中阴影部分）的面积为S（1） 当0M经过点A时（如图），贝U S S1> S2之间的关系为：S= （用含色、S2的代数式表示）;（2）当0M_AB时（如图），点G为垂足，则（1）

11、中的结论仍然成立吗？请说明理由。当Z M0旋转到任意位置时（如图，）则（1 ）中的结论仍然成立吗？请说明理由.【答案】解：(1) 3 24(2) 成立。理由：连 0B可证图中的两个阴影部分的面积之和等于图的阴影部分的面积(3) 成立。过点0分别作ABBC的垂线交 ABBC于点PQ,交圆于点X、Y,可证直角三角形0戸笔等于直角三角形OQH可说明两阴影部分面积之和等于图的阴影部分面积.变式二 (2012?杭州)如图，AE切OO于点E, AT交O0于点 M N,线段0E交AT于点C, OBL AT于点B,已知/ EAT=30°, AE=3 二,MN=2 R.(1) 求/ COB勺度数；(2

12、) 求0O的半径R;(3) 点F在OO上(是劣弧)，且EF=5,把厶OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E, F重合.在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在OO上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形 与厶OBC的周长之比.考点：切线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；平移的性质；旋转的性质；相似三角形的判定与 性质。专题：计算题。分析：(1)由AE与圆O相切，根据切线的性质得到 AE与CE垂直，又OB与AT垂直，可得出两直角相等，再由一对 对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEC与三角形OBC

13、相似，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与 /A相等，由/ A的度数即可求出所求角的度数；(2) 在直角三角形 AEC中，由AE及tanA的值，利用锐角三角函数定义求出CE的长，再由OB垂直于MN由垂径定理得到 B为MN的中点，根据 MN的长求出MB的长，在直角三角形 OBM中，由半径 OM=R及MB的长，禾U 用勾股定理表示出 OB的长，在直角三角形 OBC中，由表示出 OB及cos30 °勺值，利用锐角三角函数定义表示出 OC用OE- OC=E(列出关于R的方程，求出方程的解得到半径R的值；(3) 把厶OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E, F重合.在

14、EF的同一侧，这样的三角形共有6个，如图所示，每小图 2个，顶点在圆上的三角形，延长EO与圆交于点D,连接DF,由第二问求出半径，的长直径 ED的长，根据ED为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到三角形EFD为直角三角形，由/ FDE为30°利用锐角三角函数定义求出DF的长，表示出三角形 EFD的周长，再由第二问求出的三角形OBC的三边表示出三角形 BOC的周长，即可求出两三角形的周长之比.D解答：解：(1) / AE切O O于点E, AEL CE,又 OBL AT,/ AEC=z CBO=9O,又 / BCOM ACE AEC OBC 又/ A=30° ,/ COBM

15、A=30°(2) / AE=3 : , / A=30° ,FT在 Rt AEC中，tanA=tan30 ° ',AE即 EC=AEtan30°3 ,/ OBLMN - B为 MN的中点，又 MN=2W, MB= MN7 ,2连接 OM 在 MO沖,OM=R MB= T ,OB=壬 J 二，在厶 COB中 , / BOC=30 ,/ cos / BOC=cos30=H= -；, BO=2oCOC 22 ocjBh ；三，又 OC+EC=OM=R.-'二+3,2整理得：R + 18R 115=0,即（R+23） （R 5） =0,解得：R=-

16、 23 （舍去）或R=5,则 R=5;（3）在EF同一侧， COB经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有6个,延长EO交圆O于点D,连接DF,如图所示，/ EF=5,直径 ED=1Q 可得出 / FDE=30, FD=5 二,则 比 ef子5+10+5 二=15+5 二，由（2）可得C CO C EFD C CO=（ 15+5 二）：（3+ 二）=5: 1.30 °直角三角形的性质，平移及点评：此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含 旋转的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键.题型三：圆中的动点 例题三 （2012江苏南京10

17、分）如图，A B为OO上的两个定点，P是OO上的动点（P不与A B重合），我们称/ APB 为OO上关于A B的滑动角。（1）已知/ APB是L O上关于点A、B的滑动角。 若AB为OO的直径，贝U / AP酔 若O O半径为1, AB 2，求/ APB的度数（2）已知02为L O1外一点，以O2为圆心作一个圆与L O1相交于A B两点，/ APB为L O1上关于点A、B的滑动角，直线 PA PB分别交L 02于点M N （点M与点A点N与点B均不 重合），连接AN试探索/ APB与/MAN / ANB之间的数量关系。【答案】解：（1）90°。如图，连接AB OA OB在厶 AOB中

18、/ O/=OB=1. AB=T2 , OA+OB=AB。 / AOB90°1当点P在优弧 AB上时（如图1）, / AP昏丄/ AOB45°O3B2当点P在劣弧AB上时(如图2),间,如图间,如图间,如图【考点】【分析】1/ AP昏丄(360°/ AOB =135°2(2)根据点P在O O上的位置分为以下四种情况.第一种情况：点 P在O O外，且点A在点P与点M之间，点/ MAN/ APB/ ANB/ APB/ MANZ ANB第二种情况：点 P在O Q外，且点A在点P与点M之间，点/ MAN/ APB/ANP=/ APB (180。一/ ANB, /

19、APB / MAN/ ANB- 180°第三种情况：点 P在O O外，且点M在点P与点A之间，点/ APB/ ANB/ MAN 180° / APB=180° / MAI4 / ANB第四种情况：点 P在OQ内，如图6,/ APB：/ MANZ ANB圆周角定理，勾股定理逆定理，三角形内角和定理和外角性质。(1)根据直径所对的圆周角等于90°即可得/ APB900。根据勾股定理的逆定理可得 / AOB90°再分点P在优弧AB上；点P在劣弧AB上两种情况讨论即可。(2)根据点P在O O上的位置分为四种情况得到 / APB与/ MAN / ANB间

20、的数量关系。变式一如图12-1所示，在 ABC中，AB=AC=2, / A =90： , O为BC的中点，动点 E在BA边上自由移动,动点F在AC边上自由移动.(1)点E, F的移动过程中， AOEF是否能成为/ EOF =45"的等腰三角形？若能，请指出 AOEF为等腰三角形时动点E, F的位置.若不能，请说明理由.当/ EOF =45时，设BE二x , CF二y，求y与x之间的函数解析式，写出 x的取值范围.在满足(2)中的条件时，若以 O为圆心的圆与 AB相切(如图12-2 )，试探究直线EF与L O的位置关系，并证(3)明你的结论.E, F的位置分别是:BE二CF二、2 .E

21、与A重合，F是AC的中点(2 )在厶 OEB 和厶 FOC 中，N EOB+NFOC =135° Z EOB+N OEB =135° FOC =/OEB 又 I . B =/C , OEBFOCBEBOCO CF BE =x , CF = y , OB =OC = 1 22 22 =2 , -(1< x < 2).2x(3) EF 与 LJ O 相切. OEB FOC , 更. _B! =2!.即CO OF BO OF OE OF又 TN B =NEOF =45°BEO OEF N BEO =NOEF 点 O 到 AB 和 EF 的距离相等. AB与O

22、相切，点O到EF的距离等于O的半径. EF与L O相切.1变式二 如图，在O O上位于直径 AB的异侧有定点 C和动点P, AC=2 AB,点P在半圆弧AB上运动(不与 A B两点重 合)，过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点.(1) 如图 1,求证：ABC；(2) 当点P运动到什么位置时， PCDA ABC?请在图2中画出 PCD并说明理由；(3) 如图3,当点P运动到CPLAB时，求/ BCD的度数.习】1 、 如 直径C和 点P 运动重合)，过点CCD0【课后(2012? 图，在O O AB的异侧 动点P, 在半圆弧(不与ADOCB0C作直线PB的垂线 CD交PB于DA(1)(2)(3

23、)湘潭) 上位于 有定点AC=AB AB上 B两点 占八、图1如图1,求证： PC»A ABC当点P运动到什么位置时， PCDA ABC?请在图2中画出 PCD并说明理由; 如图3,当点P运动到CPLAB时，求/ BCD的度数.图0D考点：圆周角定理；全等三角形的性质；垂径定理；相似三角形的判定。专题：几何综合题。分析：(1 )由AB是OO的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得 / ACB=90,又由PDL CD可得/ D=Z ACB又 由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得 / A=Z P,根据有两角对应相等的三角形相似，即 可判定： PCSA ABC(2 )由厶PC»A ABC可知当PC=AB寸， PCDA ABC利用相似比等于 1的相似三角形全等即可求得；(3)由/ ACB=90, AC=AB可求得/ ABC的度数，然后利用相似，即可得 / PCD的度数，又由垂径定理，求得l. |，,然后利用圆周角定理求得/ ACP的度数，继而求得答案.解答：(1)证明：/ AB是O O的直径，/ACB=90,/ PD丄 CD,D=90° ,D=Z ACB/ A与/ P是"对的圆周角，A=Z P,ABC(2) 解：当PC是OO的直径时， PCDA ABC理由：/ AB PC是OO的半径， AB=PCC/ PC3A AB