由一道课本例题带来的日常教学思考

1、学科 数学序号“1+n”“1+1+1” 由一道课本例题带来的日常教学思考【摘要】    根据数学内容的性质，数学教学一般可分为概念教学、命题（主要有定理、公式、法则、性质）教学、例题教学、习题教学、总结与复习教学等五类。相应地，例题教学贯穿这类教学之中，起着承上启下的作用。新课改中数学学习的基本要求更多地放在了学习有效性上，数学学科本身又具备其鲜明的特点：在我们的学案中例题的教学可以说是一节课的重头戏，一方面例题数量占有绝对多的篇幅，另一方面例题的教学时间占整堂课的80%到90%。因此把例题教好，是我们教学的主要任务。“一道例题加n个后缀”是一种例题教学的思路；“

2、一道例题加一道例题”也是一种例题教学的思路。那么如何更好地进行例题教学？笔者根据自己在教学一线的实践，以例题教学为例，着重论述如何实施数学例题“1+n”式在教学中的优势。【关键词】变式；阶段；选择；讲解；准则；积累；一、 课本上的一道例题：浙教版八上3.2直棱柱的表面展开图P58BCA书本例题：如图，有一长方体形的房间，地面为边长4米的正方形，房间高3米.一只蜘蛛在A处，一只苍蝇在B处. 试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少？ 若苍蝇在C处，则最短路程是多少？ （）教材分析：1教学目标：（1）了解直棱柱的表面展开图的概念；（2）会判断一个平面图形是否直棱柱的表面展开图，培养学生的空间想象

3、能力；（3）会画简单直棱柱的表面展开图；（4）能根据展开图判断和制作立体模型；2教学重点：（1）直棱柱的表面展开图的想象与判断；（2）画展开图；3教学难点:（1）立方体的表面展开图的辨认；（2）表面展开图的应用；4学生分析：（1）学生首次接触空间立体图形与平面图形的相互转化；（2）学生学习数学的心理规律，应该强调从学生已有的生活经验出发；（3）从数学过程、数学操作、数学交流、数学空间等方面强化逻辑思维；（4）学生需要经历观察、实验、猜测、尝试、推理、交流、反思等活动；（）教学过程：BCA如何解决本题呢？如果就事论事，学生知识的结构完整性达不到要求，只按书本讲例题也显单薄，何不拓展变式延伸呢！1

4、. 问题引入： 例：如图，有一长方体形的房间，地面为边长4米的正方形，房间高3米.一只蜘蛛在A处，一只苍蝇在B处. 试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少？ 若苍蝇在C处，则最短路程是多少？ 2引子铺垫：213456例：如图是一个“立方体”的表面展开图吗？如果是，请分别用1，2，3，4，5，6中的同一个数字表示立方体和它的展开图中各对对应的面（只要求给出一种表示方法）.，通过“玩具”演示，课件引导，展示了立方体展开图的全部可能情况，结论如下:一四一型一三二型三个二型二个三型不同的折叠方法对应了不同的填写结果.例题的原本要求是“只要求给出一种表示方法”，而通过各小组组内及组间的交流，我们的学

5、生可以自然得到多种不同的表示. 3练习巩固：例：判断下列平面图形是否立方体的表面展开图？注：让学生在“先想一想，再折一折”的活动过程中，体会“展开与折叠”的对应转化，积累经验，建立自己的空间观念.BCACF4问题解决谜底：CBCAD在前侧面 BCACG在左侧面ABCAHALBCABCAAM在底面 5例题教学后的反思：对于立方体表面展开图这个概念的形成，由于很难下一个简洁明了的定义，所以课本先安排了一个合作学习的栏目，让学生把一个立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，得到一些平面图形，然后再通过体例、练习和作业题来理解概念，进一步迁移到其他直棱柱的表面展开图。注重对例题的全方位反

6、思。例题的作用是多方面的，除上文提到的几点外，例题教学还具有传授新知识，积累数学经验，完善数学认知结构,提高学生解决实际问题的数学能力，对所学知识的理解加深的作用。更重要一点，可以通过对例题解法的分类，归纳，总结若能得到自己得以独到见解，解决某一类问题的简便方法。才是真正意义上的例题教学目的。 6“变式”的思考：如果我们改变几何体的形状背景：（）比如在金字塔形的空间里 （）比如在圆锥形的空间里 侧面展开图为三角形 侧面展开图为扇形 （）比如在圆柱形的空间里 侧面展开图为矩形如果学生条件允许的话老师还可以添加形如圆台、棱台、不规则几何体等等能展开成为平面的几何体供学生发挥，也可以放手学生自己对这

7、类问题的联想。举一反三，由表及里。一个例题，面面俱到。开发思维，事半而功倍！有效教学，众人喜！二、 “好”例题的概念：“1+n”中的“1”，就代表一道“好”例题。上面的例题在教学中满满地占用了一节课，环节紧紧相扣，层层叠进。同学们复习了很多，又学到了很多。感觉像是在讲一个例题，但知识点已覆盖全部。看来，好的例题有着它以下的特别之处（但不必面面俱到）：1 体现教学基本内容； 课本是教学的核心，严格以教学大纲、课程标准为要求； 学生是学习的主体，严格以符合学生思维基本特点为要求；2 指导解题方法和思路； 切合实际，易于方法引导； 满足多层次学生，具有普遍应用的价值；3 适合归纳总结、研讨、交流、探

8、究； 承前启后，了解、掌握、应用； 问题新颖，推陈出新，与时俱进；4 多“变式”，多“解法”，便于举一反三； 主题分支，基于问题，解决新题； 一个问题多种解法，“异曲同工”之效；5 “梅开三度”，引人入胜； 广度、深度、趣味度； 设问、反问、问了还想问；6 “纲举目张”； 一张鱼网有千个眼，但绝对需要一根主线将他们统统拎起； 一道例题有若干解法，但他往往围绕一个主体思想贯穿而行；三、 例题教学的理论支持：（）新课程标准解读中的支持：有效数学例题教学，是学生掌握数学基础知识、基本技能、基本数学思想方法、发展能力的重要途径，也可促进学生学习态度、学习方式的改变。（）俗语说：“鱼儿离不开水，瓜儿离不

9、开秧”，同样数学教学离不开例题。例题教学是课堂教学的主要环节，切实加强各类型例题的教学，对于学生理解和掌握数学知识，培养能力，发展智力，训练思维，形成方法，陶冶情操等方面都具有举足轻重的作用。（）在新浙教版教材中所选用的例题主要围绕以下六个标准：1创设情境性例题；直接感官，看得到想得出；主动接受，提高学生兴趣；2设置实验性例题；抽象意识，想得出做得到；动手设计，自主建构知识；3设置开放性例题；思维创造，做得到摸得着；探索争论，培养创新精神；4设置猜想性例题；疑难予设，“变”不完留着用；变换角度，磨练意志和耐心；5设置规律性例题；敏锐观察，注意归纳综合；举一反三；提高解题能力；6设置应用性例题；

10、营造空间，摸得着用得到；关注事实，学有用的数学。（）让学生体验到数学在他们周围世界的力量。我们的例题教学在内容选择、教学方式方法上都在不断变化。我们会不自觉地对部分教材内容进行整合、变形，更会利用课本的现有条件充分发挥“变式”的优势来达到补充和提高。 四、 例题教学在日常工作中的操作：（）例题教学的几个阶段：1 例题的选取阶段；AEFBDC题目涉及知识要点应覆盖本节课的内容，具有一定的梯度和一定的基础性与综合性，要选择能体现“通性通法”即包含最基本的教学思想方法的题目，不必追求偏、怪、难，也不要贪多，要重视一题多解、一题多变，在培养学生解题能力中的作用 根据教学大纲的要求对课本上的例题采取恰当

11、的增补； 比如：二次函数补充“交点式”；扇形中补充圆锥侧面展开圆心角公式； 例题的选择要有一定的代表性，能起到举一反三的效果； 比如：问题：ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，且AF:FD=1:5，连结CF并延长AEFBDCM交AB于E求AE:EB的值解1有学生提出要过点D作DMAB交EC于点M用平行将比例转化AEFBDCN易证此方法简洁明了，大多数同学都采用了这一证法。解2有学生说也可以向左添辅助线，于是有：过点D作DNAC交AB于点N同理易证AEFBDCG解3学生另解：左右可添，不妨上下添AEFBDCG注：这样的解法较为复杂，但可以较好地体现平行与相似的相合在与教师和其他同学的

12、争论中有理可依，也是好证法。解4左右可以，内外能行吗？过B作BGEC，交AD于G注：学生提出的方法到这里可充分体现平行与相似的结合，且基本了解转化的方法，学以致用。在解法开放上的探索，使学生看似东南西北，实质“内外结合，左右逢源”。 例题的选择要遵循思维的认知规律，从易到难，循序渐进；ABPCRQO 有目的、有计划地将课本中的例习题整理归类，恰当地进行延伸、演变；比如：在圆与直线的教学中，虽然弱化了对线圆的证明要求，但是从知识的掌握上来讲，教师完全可以将课本所提到的几个性质定理梳理成“线”： 例：同心圆O中，求证：AB·AC = PQ·PR 方法一：作弦心距，复习圆的基本性

13、质；ABPCRQO 方法二：作小圆的切线，复习切割线ABPCRQOMN定理； 方法三：连BQ交大圆O于M、N，复习相交弦定理；ABPCRQOABPCRQO 方法四：如图连线，复习割线定理； 老师更可以将以上方法总结为如下方法： 方法五：连OQ，揭示已被弱化的，但依然经典的“圆幂定理”实质。2 学生预习阶段； 教师引导学生研读教材； 启发学生积极思考课文中的有关问题； 教师注意方法的指导：（1）怎样分析问题；（2）怎样理解概念（找出关键的字、词、句，把握其本质等）；（3）怎样看懂例题（分析解题思路，归纳解题步骤，把握解题注意点等）；（4）怎样归纳、小结等；3教师的讲解阶段； 综合法； 根据题目正

14、面推导，它是从问题的条件入手进行思考，这里一般有三个思维层次：充分利用条件；善于转化条件；积极创设条件。 （1）充分利用条件。在明处都容易发现，教师要善于帮助学生挖掘隐含条件。给学生讲明解题过程要使所给的条件全部用上才行，用于解题，才算充分运用了条件。 例如：方程的两根都是负数，求m的值。0 若只注意题设条件：两个负根，由韦达定理得出m 的范围就错了。还应该注意到隐含的条件： 这样就充分地利用了条件。 （2）善于转化条件。条件与结论相距甚远，那么我们就使条件和结论逐渐靠近，将条件转化为可以更好服务于结论的新面目。 例如：在解绝对值不等式时，若，化减？ 解答时我们必须把转化为，再化简：yox 原

15、式； 又如：方程函数、代数几何的转化。 （3）积极创设条件。走跳棋的时候经常会碰到过“河”搭“桥”的问题，在没有现成设施的情况下，要巧用有限资源来搭建通道。 例如：在解决等腰梯形对角线互相垂直的问题上，往往搭建一个等腰RT来解决对高线长的求解或等量证明问题。并可延伸为平移腰，平移底，作高线，旋转等等。分析法； 老师可以在例题教学的过程中使用它良好的思想方法：从问题的结论入手。如何从问题的结论思考呢？这就需要“反过来想”和“发散开去想”。（1） 反过来想；根据题目中涉及的主要概念，从后往前想它的定义是怎样的？根据题目的条件、结论及其特征回想与它们有关的公式、定理、法则是什么？（2） 发散开去想；

16、找出与题目很接近的或很相似的原理、方法、结论或命题来，变通使用这些知识看是否能解决问题，特别是对于初中证明较复杂的几何题经常要联想一些“基本图形”、“生活中的图形”。4 提高总结阶段； 解题规律要总结；例题解答之后，要引导学生反思解题过程，总结解题的经验教训，对一些常用的教学方法，解题策略予以归纳概括，提示学生今后注意运用。 针对问题，精选练习题；例如为了引入新课，选编知识衔接题；为了巩固概念，选编基础变式题；为了纠正差错，选编判断选择题；为了拓宽思路，选编多解题等等。 注意避免所谓的“题海战术”；要认识到“”。 肯定学生的成绩，提高学生练习的积极性。（）例题教学的实施准则：1注重对基本题型、

17、基本模式的训练；培优变化多，思路活，思维能力增长快；强化重基础，助巩固，书本知识掌握好；后30%量较少，易消化，学习压力轻不少。2注重数学本质教学，注意适度的形式化； 常规例题形式表达，揭示本质； 经典例题自主探索，形成意识； Popular例题体会感受，快乐学习。a) 注重变式训练、一题多解；改变条件不同的方法，共同的结果，解决多知识点问题；改变结论相同的方法，不同的结果，解决数学严谨性问题；改变背景两个国家，两种制度，相同的数据，不同的认识， 解决思维创新问题，提高实战能力。  4注重学生的自主探索；放开手脚倡导积极主动、勇于探索的学习方式；鼓励革新只有创造思维的环节，

18、才能培养学生的思维能力；头脑竞技激发学生的创新意识和学习热情；5注重师生交流、生生交流；立论驳论讨论中体会数学学习的微妙； 合作交流眼观六路，耳听八方，交流中汲取多信息；理性对比形成竞争，在学习目标和情感目标上你追我赶。（）挖掘课本资源，积累精彩底蕴： 1“1+n”式的例题教学是对课本资源的优化，凝结着教师的智慧；例题需要重新整理。用合理的方式表现出来，必须采取严谨的治学态度。符合数学知识的逻辑体系；符合学生的生活实际和认知特点；教材中的改编例题是合理的优化和重建；例题的选择典型、有效，例题的呈现科学而能够引领价值；一个老师辛苦的结晶，经历实践的检验，更值得保留。 2例题教学是整体研读教材的产

19、物，要正确把握好知识点之间的联系； 作为一个数学教师，理性地研究教材，充分深入地钻研教材，应该感性地走向学生，以严谨客观的态度去审视例题，把握好“度”的尺寸，做“有的放矢”的准备。不同版本、不同时期的数学教材，其例题编排的层次和顺序会有所不同，要做到知识体系和原有价值的正确把握。不盲目闭门造车。整体性的研读教材，依据例题逐步分析知识点；结合学生现实基础，合理地定位教学目标；依据例题呈现方式，分清知识点的类型，选择有效教学方式； （1）集体的； （2）个体的；精研每课的例题、习题，区分每课例题知识点之间的联系；揣摩例题原有意图、特点和目的，以便采取针对性应对。 3例题是课本中的设计，它可成为数学

20、学习的“泉眼”；多数课本例题都设计由生活引入新的学习内容，把丰富的生活素材作为学生的学习资源。这充分体现了新课程的教学理念：数学教学重视联系学生熟悉的生活实际，以学生的生活经验支撑数学学习，或通过创设的情境为学生提供活动平台，促进学生的主动探索与学习。 例题设计呈现生活，让学生感受数学学习的背景； 例题设计呈现本质，让学生感受数学学习的概念； 例题设计呈现发展，让学生感受数学思维的变化； 例题设计呈现活动，让学生感受数学学习的舞台； 例题设计呈现动感，让学生感受数学学习的魅力。（）结束语：1“好”例题，当然体现在题目本身的科学性上。但是更为重要的是不同年代、不同时期的教师在这个问题上的处理。笔者对于一个“老的”但“实在”的话题做了新的思考：用“1+n”式的方式作为现在的一个教学参考模式，来进行实践。希望在瞬息变迁的当代，能够开创自己的一些教学作为。那么多的教学艺术上的突破、举例，不也就是针对于教师的一个个“