直角三角形的射影定理教案

1、第一讲 相似三角形的判定及有关性质3.4 直角三角形的射影定理备课组：高二数学组 主备人：柴海斌 持案人： 授课班级： 授课时间： 教学目标 知识与技能：掌握直角三角形中成比例的线段的性质，并能初步用它解决“直角三角形斜边上的高”图形中的计算和证明问题.方法与过程： 通过问题设计，层层跟进，引导学生探索和发现射影定理。情感与价值观：培养特殊化研究问题的方法和方程、转化思想。 教学重难点重点：直角三角形的射影定理的证明及应用；难点：直角三角形的射影定理的证明。 教学过程二、教学引入 什么是射影？点和线段的正射影简称为射影（让学生复习并挖掘下图中的基本性质.）已知：如图，ACB=90°，

2、CDAB于D.(1)图中有几条线段?(答：6条，分别记为AB=c,AC=b,BC=a,CD=h,AD=m,BD=n.)(2)图中有几个锐角?数量有何关系?(3)图中有几对相似三角形?可写出几组比例式?由图中ACDCBDABC，可分别写出三组比例式： (ACDCDB); (CBDABC); (ACDABC).(4)观察第(3)题的结果，有几个带有比例中项的比例式?如何用一句话概括叙述这几个比例中项的表达式?只有三个比例中项的表达式，(5)由上可得到哪些等积式?CD2=AD·BD，BC2=BD·BA，AC2=AD·AB（二）直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两

3、直角边在斜边上的射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项。请同学们自己写出已知条件并证明。已知：在RTABC中，ABC=90。 ，CDAB于D。求证：CD2=AD*BD BC2=BD*AB AC2=AD*AB证明：在RTABC中，因为ABC=90。 CDABB+DCB=90º , ACD+DCB=90º所以B=ACD，故 CBDACD所以 在RTACB与RTBDC中，为公共角，同理，由，讨论：用勾股定理能证明射影定理吗？写出你的想法.证明：二、当堂训练1、如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D。求 解：是半圆上的圆周角，,即ABC是直角三角形。又射

4、影定理可得 2、如图，ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且。求证：ABC是直角三角形。证明： 在CDA和BDC中，三、课堂小结与反思四、课后检测1如图141中，ACB=90°，CDAB于D，AD=3，BD=2，则AC：BC的值是(C )A3：2 B9：4 C： D：2在RtACB中，C=90°，CDAB于D，若BD：AD=1：4，则tanBCD的值是(C ) A. B. C. D. 23下列命题中，正确的有(B ) 两个直角三角形是相似三角形； 等边三角形都是相似三角形； 锐角三角形都是相似三角形； 两个等腰直角三角形是相似三角形 A1个 B. 2个 C. 3个 D4个

5、4已知直角ABC中，斜边AB=5cm，BC=2 cm，D为AC上一点，DEAB交AB于E，且AD=3.2cm，则DE=( C )A1.24 cm B1.26 cmC1.28cm D1.3 cm5如图142，在ABC中，BAC=90°，ADBC于D，DFAC于F，DEAB于E。试说明：图142(1)AB·AC=AD·BC；(2)AD3=BC·BE·CF。解：(1)在RtABC中，ADBC，SABC=AB·AC=BC·ADAB·AC=BC·AD。(2)在RtADB中，DEAB，由射影定理得BD2=BE

6、3;AB同理CD2=CF·AC，BD2·CD2=BE·AB·CF·AC *又在RtBAC中，ADBCAD2=BD·DC， *式化为AD4=BE·CF·AB·AC，即AD3=BE·CF·AB·AC·由(1)知AB·AC=BC·AD，代入上式得AD3=BE·CF·BC 应用射影定理证明比例线段6如图143，已知：BD、CE是ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G、H，交CE于F，且H=BCF。求证：GD2=GF

7、83;GH。证明：H=BCE，B=B，CEBH，BCEBHGBGH=BEC=90°，HGBCBDAC，在RtBCD中，由射影定理得，GD2=BG·CG GFC=EFH，FCGFHE，FGC=FEH，FGC=BGHFCGBHG，BG·GC=GH·FG 由得，GD2=GH·FG7如图144，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F。求证：AE·AB=AF·AC。证明：ADBC，BAD+B=90°又DEAB，BAD+EDA=90°B=EDA，又BAD=DAE，ABDADE(两角相等的两个三角形相似)

8、，即AD2=AB·AE 同理可证：AD2=AF·AC，AE·AB=AF·AC综合·拓展练综合运用，拓展知能8在RtABC中，BAC=90°，ADBC于点D，若，则( C ) A. B. C. D. 9如图145，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，在图中的六条线段中，你认为只要知道( B )条线段的长，就可以求其他线段的长。A1 B2 C3 D410如图146，在梯形ABCD中，AD/BC，ACBD，垂足为E，ABC=45°，过E作AD的垂线交AD于F，交BC于G，过E作AD的平行线交AB于H。求证：FG2=AF·

9、;DF+BG·CG+AH·BH。证明：因为EF2=AF·FD，EG2=BG·CG，所以FG2=(EF+EG)2=EF2+2EF·EG+EG2=AF·FD+BG·CG+2EF·EG因为ABC=45°，所以2(EF+EG)2=(AH+BH)2而EF=AHsin45°AH， EG=BHsin45°=BH2EF2=AH2，2EG2=BH2所以2EF·EG=AH·BH所以FG2=AF·FD+BG·CG+AH·BH11ABC中，若角A、B、C所对的边分别为a、b、c，试用余弦定理证明以下射影公式。(1)c=acosB+bcosA；(2)a=bcosC+ccosB；(3)b=ccosA+acosC。证明：（1）由余弦定理得同理可证： a=bcosC+ccosB；b=ccosA+acosC高考·模拟练体验高考，模拟实战12在ABC中，ACB=90°，CDAB于D，AD：BD=2：3，则ACD与CBD的相似比为( )A2：3 B4：9 C：3 D不确定13RtABC中，ACBC，CDAB于点D，AD=4，sinACD=，则BC=_，CD=_。答案解析C解析：如图D123，在RtACB中，CD