菱形的性质及判定.教师版

1、精选优质文档-倾情为你奉上菱形的性质及判定中考要求知识点A要求B要求要求菱形会识别菱形掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质及判定解决简单问题会用菱形的知识解决有关问题知识点睛1菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质： 边的性质：对边平行且四边相等 角的性质：邻角互补，对角相等 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半3菱形的判定判定

2、：一组邻边相等的平行四边形是菱形判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定：四边相等的四边形是菱形4三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质 定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半重、难点重点是菱形的性质及判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定

3、方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。 难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。例题精讲板块一、菱形的性质【例1】 菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为 【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2星【关键词】【解析】根据菱形的性质可知：共有对【答案】【例2】 在平面上，一个

4、菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是 【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2星【关键词】【解析】根据菱形的性质可知：应当旋转至少【答案】【例3】 如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为若墙上钉子间的距离，则 度【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2星【关键词】2009年，江西中考【解析】由题意可知：构成三角形为等边三角形【答案】【例4】 如图，在菱形中，、分别是、的中点，若，则菱形的边长是_EFDBCA【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2星【关键词】2009年，漳州中考【解析】省略【答案】【例5】 如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，

5、交于，证明：与互相平分【考点】菱形的性质及判定，平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】连接、菱形中，四边形是平行四边形，又，四边形是平行四边形与互相平分【例6】 如图1所示，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于 【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2星【关键词】2009年，本溪中考【解析】省略【答案】【例7】 如图，已知菱形的对角线于点，则的长为 【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2星【关键词】【解析】省略【答案】【例8】 菱形周长为，一条对角线长为，则其面积为 【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2星【关

6、键词】【解析】菱形的边长为，由勾股数和菱形对角线的性质得另一对角线长为，故面积为【答案】【例9】 菱形的周长为，两邻角度数之比为，则菱形较短的对角线的长度为 【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2星【关键词】【解析】省略【答案】【例10】 如图2，在菱形中，则菱形的边长为（ ）A B C D【考点】菱形的性质及判定【题型】选择【难度】2星【关键词】2009年，重庆江津中考【解析】由菱形的对角线互相垂直平分及勾股数可知选A【答案】A【例11】 如图3，在菱形中，、分别是边和的中点，于点，则（ ）A B C D 【考点】菱形的性质及判定【题型】选择【难度】2星【关键词】2009年，杭州市中

7、考【解析】省略【答案】D【例12】 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为的菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为（ ）A或 B或 C或 D或【考点】菱形的性质及判定【题型】选择【难度】2星【关键词】2009年，绵阳市中考【解析】省略【答案】D【例13】 菱形中，、分别是、的中点，且，那么等于 【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2星【关键词】【解析】省略【答案】【例14】 已知菱形的一个内角为，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2星【关键词】2009年，辽宁朝阳中考【解析】省略【答案】或【例15】 如图，将一

8、个长为，宽为的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A B CD【考点】菱形的性质及判定【题型】选择【难度】3星【关键词】2009年，南宁市中考【解析】省略【答案】A【例16】 已知菱形的两条对角线的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是 【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】4星【关键词】希望杯邀请赛【解析】如图，过点作于，则，又，得，【答案】【例17】 如图，菱形花坛的周长为，沿着菱形的对角线修建了两条小路和，求两条小路的长和花坛的面积【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】 四边形是菱形

9、和都是等边三角形又在和中可得点评：内角为和的菱形学生必须掌握，这是考试的热点模型【答案】见解析【例18】 如图，在菱形中，在上，点在上，则的最小值为 【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】3星【关键词】【解析】关于对称，连交于，且为最小值【答案】【例19】 已知，菱形中，、分别是、上的点，若，求的度数【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】 同理四边形是菱形， ，是等边三角形，设则， 【答案】【例20】 已知，菱形中，、分别是、上的点，且，求：的度数【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】连接，四边形为菱形和为等边三角形 为等边三角形分

10、析：在矩形、菱形的定理题中，有时也常连对角线，把四边形问题转化为三角形问题【答案】板块二、菱形的判定【例21】 如图，如果要使平行四边形成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2星【关键词】2007年，四川成都【解析】等；【答案】【例22】 如图，在中，平分，的中垂线交于点，交于点，求证：四边形是菱形【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】是的中垂线 ，所以 同理 所以四边形是菱形【例23】 如图，在中，是的中点，连结，在的延长线上取一点，连结，当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？并说明理由【考点】

11、菱形的性质及判定【题型】解答【难度】3星【关键词】2009年，娄底中考 【解析】当（或或）时，四边形是菱形理由如下：， 又点为中点， 四边形为平行四形边 四边形为菱形【答案】见解析【例24】 已知：如图，平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别相交于 、.求证：四边形是菱形.【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难度】3星【关键词】2006年，盐城中考 【解析】省略【答案】垂直平分，.又平行四边形，.四边形是平行四边形.又由可知，四边形是菱形.【例25】 如图，在梯形纸片中，将纸片沿过点 的直线折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，连结.求证：四边形是菱形【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难

12、度】3星【关键词】2007年，云南双柏【解析】省略【答案】根据题意可知 则.， .， .，四边形为菱形. 【例26】 如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于，证明：与互相平分【考点】菱形的性质及判定，平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】连结，因为菱形中，又因为，所以因为，所以四边形是平行四边形，可得，因为，所以，从而，因此四边形是平行四边形，所以与互相平分 【例27】 已知：如图，在平行四边形中，是边上的高，将沿方向平移，使点与点重合，得若，当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难度】3星【关键词

13、】2009年，山东青岛市【解析】省略【答案】当时，四边形是菱形，四边形是平行四边形中，四边形是菱形 【例28】 如图，在中，是的中点分别作于，于，于，于相交于点求证：四边形是菱形【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】，同理，四边形是平行四边形，四边形是菱形【例29】 如图，中，是的平分线，交于，是边上的高，交于，于，求证：四边形是菱形【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】，平分，平分，又，故四边形是平行四边形，四边形是菱形【例30】 如图，是矩形内的任意一点，将沿方向平移，使与重合，点移动到点的位置画出平移后的三角

14、形；连结，试说明四边形的对角线互相垂直，且长度分别等于的长；当在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形是菱形？为什么？【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】如图，就是所要作的三角形 因为平移到，所以且，四边形是平行四边形，所以 ，矩形中，所以，又因为，所以四边形的对角线互相垂直，且长度分别等于的长 当点是的交点时，四边形是菱形，理由：如图，矩形中， ，又因为，可得，所以 四边形是菱形【例31】 如图，、均为直线同侧的等边三角形已知 顺次连结、四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件 当为 度时，四边形为正方形【考点】菱形的性质及判定

15、【题型】解答【难度】3星【关键词】2008年，佛山市中考改编【解析】省略【答案】 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段 当图形为菱形时， BAC60°（或A与F不重合、ABC不为正三角形）（若写出图形为平行四边形时，不给分）当图形为线段时，BAC = 60°（或A与F重合、ABC为正三角形） 三、与菱形相关的几何综合题【例32】 已知等腰中，平分交于点，在线段上任取一点（点除外），过点作，分别交、于、点，作，交于点，连结.求证四边形为菱形当点在何处时，菱形的面积为四边形面积的一半？【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】省略【答案】四边形为平行

16、四边形，平分四边形为菱形当为中点时，四边形为菱形， 又四边形为平行四边形【例33】 问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结若，探究与的位置关系及的值小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： 写出上面问题中线段与的位置关系及的值； 将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，求的值（用含的式子表示）【考点】菱形的性质

17、及判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质【题型】解答【难度】5星【关键词】2008年，北京中考【解析】省略【答案】 线段与的位置关系是； 猜想：中的结论没有发生变化证明：如图，延长交于点，连结是线段的中点， 由题意可知又， ，四边形是菱形，由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，可得 四边形是菱形，即， 证明过程略【点评】 本题是一道探究性的几何综合题，本题的题干是以阅读材料的形式呈现，从而降低了题目的难度，本题应该是在05年大连中考压轴题的基础上改进而来的四、中位线与平行四边形【例34】 顺次连结面积为的矩形四边中点得到一个四边形，再顺次连结新四边形四边中点得到一个 ，其面积为 【

18、考点】三角形的中位线【题型】填空【难度】3星【关键词】【解析】理由：由中位线得即可【答案】【例35】 如图，在四边形中，、分别是、的中点，要使四边形是菱形，四边形还满足的一个条件是 ，并说明理由【考点】菱形的性质及判定，三角形的中位线【题型】填空【难度】3星【关键词】2009年，上海模拟【解析】理由：由中位线得即可【答案】【例36】 在四边形中，分别是、的中点，分别是对角线，中点，证明：与互相垂直【考点】菱形的性质及判定，三角形的中位线【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】连接,证明为菱形【答案】见解析【例37】 四边形中，、分别是、上的点，、分别是、的中点，当点在上从向移动而点不动时，那

19、么下列结论成立的是 （ ） A线段的长逐渐增大 B线段的长逐渐减小 C线段的长不变 D线段的长与点的位置有关【考点】三角形的中位线【题型】选择【难度】4星【关键词】【解析】连结，利用三角形的中位线可得与点无关【答案】C【例38】 如图，中，是的平分线，于，为的中点，则的长为 【考点】三角形的中位线【题型】填空【难度】3星【关键词】【解析】延长交于点利用中位线的性质和直角三角形斜边中线可得【答案】【例39】 如图，四边形中，分别是的中点，连结并延长，分别交的延长线于点，求证：【考点】三角形的中位线【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】省略【答案】连结，取中点，连结，由条件易得分别是的中位线，

20、所以，且，因为，所以，所以，由可得：，同理可得，所以【例40】 如图，已知、分别为中、的平分线，于，于，求证：【考点】三角形的中位线【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】延长、交于点、由等腰三角形三线合一可得、再由三角形中位线可得【答案】见解析【例41】 如图，四边形中，分别是边的中点，则和的关系是（ ）A BC D【考点】三角形的中位线【题型】选择【难度】3星【关键词】【解析】连结，取的中点，连结，由三角形的中位线可知选B【答案】B【例42】 已知如图所示，、分别是四边形的四边的中点，求证：四边形是平行四边形【考点】平行四边形的性质和判定，三角形的中位线【题型】解答【难度】3星【关键词】

21、【解析】连接、分别为、中点，又、分别为、中点，四边形为平行四边形【答案】见解析【例43】 如图，在四边形中，为上一点，和都是等边三角形，、的中点分别为、，证明四边形为平行四边形且【考点】平行四边形的性质和判定，三角形的中位线【题型】解答【难度】4星【关键词】2009年，兰州中考【解析】如图，连结、为的中位线且 同理且且 四边形为平行四边形在和中，,即.【答案】见解析【例44】 如图，四边形中，分别是的中点，求证：相互垂直平分【考点】菱形的性质及判定，三角形的中位线【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】连结，根据题意，分别是的中位线，所以，同理可证：，因为，所以，则四边形是菱形，所以相互垂直

22、【答案】见解析【例45】 的三条中线分别为、，为边外一点，且为平行四边形，求证：【考点】平行四边形的性质和判定，三角形的中位线【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】此题解法很多，仅供两种解法参考方法一：连结、（如图1）四边形为平行四边形且由中位线可得四边形为平行四边形且四边形为平行四边形方法二：连结（如图2）通过中位线和平行四边的性质可得，又显然【答案】见解析【例46】 在平行四边形的对角线上取一点，使，连接并延长与的延长线交于，则【考点】三角形的中位线【题型】解答【难度】5星【关键词】【解析】法1：如图2，取之中点，由引交于，再由引交于，则为的中点，又，即、是的三等分点，、是的三等分点，

23、有而，法2：如图3，连接交于，则为、的中点，取的中点，连接交于，则为、的中点，取的中点，连接，则 ，又，由此可得，即，法3：如图1，即又，即【答案】见解析【例47】 如图，中，、分别是、的中点，、是的三等分点，连结并延长、交于点求证：四边形是平行四边形 【考点】平行四边形的性质和判定，三角形的中位线【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】连接、，设与相交与点、分别是、的中点，同理四边形是平行四边形，四边形是平行四边形【答案】见解析【例48】 如图，在四边形中，、分别为、的中点，和相交于点，分别与、相交于、，求证：【考点】三角形的中位线【题型】解答【难度】3星【关键词】【解析】取中点，连结、利用中位线可得，【答案】见解析【例49】 如图，线段相交于点，且，连结，分别是的中点，分别交于，求证：【考点】三角形的中位线【题型】解答【难度】4星【关键词】【解析】连结，取中点，连结，由条件易得分别是的中位线，所以，且，因为，所以，所以，由可得，同理可得，所以，所以【答案】见解析【例50】 如图，梯形中，对角线相交