对面积的曲面积分(第一类曲面积分)

1、一、概念的引入一、概念的引入二、对面积的曲面积分的定义二、对面积的曲面积分的定义三、计算法三、计算法四、小结四、小结 第二节第二节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分 (第一类曲面积分第一类曲面积分)一、概念的引入 若若曲曲面面 是是光光滑滑的的, 它它的的面面密密度度为为连连续续函函数数),(zyx , 求求它它的的质质量量.实例实例 所谓曲面光滑所谓曲面光滑即曲面上各点处都即曲面上各点处都有切平面有切平面, ,且当点在且当点在曲面上连续移动时曲面上连续移动时, ,切平面也连续转动切平面也连续转动. .二、对面积的曲面积分的定义 设设曲曲面面 是是光光滑滑的的, , 函函数数),(zyxf在在

2、 上上有有界界, , 把把 分分成成n小小块块iS （iS 同同时时也也表表示示第第i小小块块曲曲面面的的面面积积）, ,设设点点),(iii 为为iS 上上任任意意取取定定的的点点, ,作作乘乘积积 ),(iiif iS , ,并作和并作和 niiiif1),( iS , , 如果当各小块曲面如果当各小块曲面的直径的最大值的直径的最大值0 时时, , 这和式的极限存在这和式的极限存在, ,则称此极限为函数则称此极限为函数),(zyxf在曲面在曲面 上对面积上对面积的的曲面积分曲面积分或或第一类曲面积分第一类曲面积分. .1.1.定义定义即即 dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim1

3、0 记为记为 dSzyxf),(. dSzyxf),( 21),(),(dSzyxfdSzyxf.2.2.对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质则则及及可可分分为为分分片片光光滑滑的的曲曲面面若若,21 叫被积函数，叫被积函数，其中其中),(zyxf.叫叫积积分分曲曲面面 三、计算法;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:. 1yxzz 若若曲曲面面则则按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(),(:. 2zxyy 若若曲曲面面则则.1,),(22dydzx

4、xzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(. 3zyxx ：若若曲曲面面则则 计计算算 dszyx)(, 其其中中 为为平平面面5 zy被被柱柱面面2522 yx所所截截得得的的部部分分.例例1 1积分曲面积分曲面 ：yz 5 ,解解投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxDxy dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 例例 2 2 计算计算dSxyz |,其中其中 为抛物面为抛物面 22yxz （10 z）.解解依对称性知：依对称性知：有

5、有 14成成立立，(1 为第一卦限部分曲面为第一卦限部分曲面)xyzdxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原原式式dSxyz |dSxyz 14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 其中其中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yx 利利用用极极坐坐标标 trxcos , trysin ,rdrrrttrdt 102222041sincos4 drrrtdt21050412sin22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 计计算算 xdS, 其其中中 是是圆圆柱柱面面 122 yx,平平面面2 xz及及0 z所所围围成成

6、的的空空间间立立体体的的表表面面.例例3 3解解 321 其其中中1 ：0 z,2 ：2 xz,3 ：122 yx.投投影影域域1D：122 yx显显然然 011 DxdxdyxdS, 01112 DdxdyxxdS讨讨论论3 时时, 将将投投影影域域选选在在xoz上上.（注注意意：21xy 分分为为左左、右右两两片片） 3xdS 31xdS 32xdS（左右两片投影相同）（左右两片投影相同） xzDzxdxdzyyx2212xoz xzDdxdzxxx22112 1120212xdzdxxx, xdS 00. 计算计算dSzyx)(222 , 其中其中 为内接于球面为内接于球面2222azy

7、x 的八面体的八面体azyx |表面表面.例例4 4被被积积函函数数 ),(zyxf222zyx ,解解关于坐标面、原点均对称关于坐标面、原点均对称 , 积积分分曲曲面面 也也具具有有对对称称性性 , 故故原原积积分分 18, (其其中中1 表表示示第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)1 ：azyx , 即即yxaz dxdyzzdSyx221 dxdy3 dSzyx)(222 1)(8222dSzyxdxdyyxayxxyD 3)(8222.324a 四、小结2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算域上的二重积分计算.1、 对面积的曲面积

8、分的概念对面积的曲面积分的概念; dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 （按照曲面的不同情况分为三种）（按照曲面的不同情况分为三种）思考题思考题 在对面积的曲面积分化为二重积分在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中的公式中, 有因子有因子 , 试说明试说明这个因子的几何意义这个因子的几何意义.221yxzz 思考题解答思考题解答是曲面元的面积是曲面元的面积,dS2211),cos(yxzzzn 221yxzz 故故 是曲面法线与是曲面法线与 轴夹角的余弦轴夹角的余弦的倒数的倒数.z一、一、 填空题填空题: :1 1、 已知曲面已知曲面 的面的面a积为积为, , 则则 ds10_

9、；2 2、 dszyxf),(= = yzDzyzyxf),),(_dydz；3 3、 设设 为球面为球面2222azyx 在在xoy平面的上方部平面的上方部分分, ,则则 dszyx)(222_；4 4、 zds3_, ,其中其中 为抛物面为抛物面)(222yxz 在在xoy面上方的部分；面上方的部分；5 5、 dsyx)(22_, ,其中其中 为锥面为锥面22yxz 及平面及平面1 z所围成的区域的整个边界曲面所围成的区域的整个边界曲面. .练练 习习 题题二二、计计算算下下列列对对面面积积的的曲曲面面积积分分: : 1 1、 dszxxxy)22(2, ,其其中中 为为平平面面 622 zyx在在第第一一卦卦限限中中的的部部分分； 2 2、 dszxyzxy)(, ,其其中中 为为锥锥面面22yxz 被被 柱柱面面axyx222 所所截截得得的的有有限限部部分分 . . 三三、求求抛抛物物面面壳壳)10)(2122 zyxz的的质质量量, ,此此壳