134_最短路径问题1

1、下课了下课了，学生，学生要去活要去活动室动室.为为何多数何多数学生从学生从草坪上草坪上直接过直接过。两点之间线段最短两点之间线段最短.AB草坪草坪教学楼教学楼活动室活动室小小 路路课前热身！课前热身！思考有人不慎掉入有鳄鱼的湖中。如图，他在有人不慎掉入有鳄鱼的湖中。如图，他在P点，应选择什么样的路线尽快游到岸边点，应选择什么样的路线尽快游到岸边m呢？呢？概念：像概念：像“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”；“垂线段最短垂线段最短”等问题，等问题，我们称之为最短路径问题。我们称之为最短路径问题。垂线段最短垂线段最短第十三章第十三章 轴对称轴对称13.4 课题学习 最短路径问题人民教育出版社义

2、务教育教科书八年级数学（上册）人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）已知：如图，已知：如图，A，B在直线在直线L的两侧，在的两侧，在L上上求求一点一点P，使得使得PA+PB最小。最小。 P连接连接AB,线段线段AB与直线与直线L的交点的交点P ，就是所求。，就是所求。知识回顾！知识回顾！思考？思考？为什么这样做就能得到最短距离呢？为什么这样做就能得到最短距离呢？根据：根据：两点之间线段最短两点之间线段最短.观察：当AP、BP两条边的长度恰好能够体现在一条_上时，和最小 直线直线ABl B/P 点点P P的位置即为所求的位置即为所求. .M 作法：作法： 作点作点B B关于直线关于直线l

3、 l的对称点的对称点B B/ /. . 连接连接ABAB/ /, ,交直线交直线l l于点于点P.P.已知：如图已知：如图,A,A、B B在直线在直线L L的同一侧，在的同一侧，在L L上上求一点，使得求一点，使得PA+PBPA+PB最小最小. . 为什么这样做就能得为什么这样做就能得到最短距离呢？到最短距离呢？MA + MBPA+PB 即即MA + MBPA+PB 总结总结;1.当当AP、BP两条边的长度恰好能够体现在两条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，和最小一条直线上时，和最小 2.手段：利用轴对称找对称点手段：利用轴对称找对称点两点之间，线段之短。两点之间，线段之短。能力提升！能力提

4、升！ 如图，如图，A A、B B是两个蓄水池，都在河流是两个蓄水池，都在河流a a的同侧，为了方便灌的同侧，为了方便灌溉作物，溉作物， 要在河边建一个抽水站，将河水送到要在河边建一个抽水站，将河水送到A A、B B两地，两地，问该站建在河边什么地方，问该站建在河边什么地方， 可使所修的渠道最短，试在图可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。中确定该点。作法：作法：作点作点B B关于直线关于直线 a 的对称点点的对称点点C,C,连接连接ACAC交直线交直线a于点D，则点D为建抽水站的位置。抽水站的位置。证明：在直线证明：在直线 a 上另外任取一点上另外任取一点E E，连接，连接AE.CE.BE.B

5、DAE.CE.BE.BD点点B.CB.C关于直线关于直线 a a 对称对称, ,点点D.ED.E在直线在直线 a a上，上，DB=DC,DB=DC,EB=ECEB=EC, ,AD+DB=AD+DC=AC,AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+ECAE+EB=AE+EC在在ACEACE中，中，AE+ECAE+ECAC,AC,即即 AE+ECAE+ECAD+DB AD+DB 所以抽水站应建在河边的点所以抽水站应建在河边的点D D处，处， CDABEa学以致用！学以致用！ 已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任意一点，在内部任意一点，在MON的的两边两边OM，ON上各取一点上各取

6、一点B，C，组成三角形，使三角形周，组成三角形，使三角形周长最小长最小.BCDE分析：分析：当当ABAB、BCBC和和ACAC三条边的长度恰好能够体现在三条边的长度恰好能够体现在一条一条_上时，三角形的周长最小上时，三角形的周长最小 图形猜想图形猜想：能力提升！能力提升！直线直线 已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任意一点，内部任意一点，在在MON的两边的两边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小组成三角形，使三角形周长最小.分别作点分别作点A关于关于OM，ON的对称的对称点点A，A；连接；连接A，A，分别交，分别交OM，ON于点于点B、点、点C，则点，则

7、点B、点点C即为所求的点即为所求的点,并连接并连接AB、BC、AC，ABC 即为所求的三即为所求的三角形。角形。AABC 证明：在证明：在OA 上另外任取一点上另外任取一点G，在，在OB上任取上任取一点一点H，连接连接CG，GH，HC，GD,CE，DM，CD，NE，CM，MN，HE点点D,点点C关于直线关于直线OA对称，对称， 点点G.H在在OA上，上，DG=CG, DM=CM, 同理同理NC=NE，HC=HE,CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE, CG+GH+HC=DG+GH+HE,DG+GH+HEDE（两点之间，线段最短），（两点之间，线段最短），即即CG+GH+HCCM+CN+MN

8、即即CM+CN+MN最短最短AOB .EDMNGH 某班举行晚会，桌子摆成两直条某班举行晚会，桌子摆成两直条( (如图中的如图中的AOAO，BO)BO)，AOAO桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了桔子，OBOB桌面上摆满了桌面上摆满了糖果，坐在糖果，坐在C C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？使其所走的总路程最短？作法：作法：1.作点作点C关于直线关于直线 OA 的的 对称点点对称点点D, 2. 作点作点C关于直线关于直线 OB 的对称点点的对称点点E, 3.连接连接

9、DE分别交直线分别交直线OA.OB于点M.N， 则CM+MN+CN最短AOB. EDMN学以致用！学以致用！你能证明吗？你能证明吗？ABA/B/PQ最短路线：最短路线：A P Q BA P Q BlMN(四四)两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部突破自己！突破自己！你能猜想图形吗？你能猜想图形吗？如图如图:牧马人从牧马人从A地出发，先到地出发，先到草地边草地边某一处牧马，再到某一处牧马，再到河边河边饮马，饮马，然后回到然后回到B处，请画出最短路径处，请画出最短路径说说你的设计方案说说你的设计方案问题问题1 1：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向

10、居民区A A、B B提提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A A、B B到它的距离之和到它的距离之和最短最短 相信你一定行！相信你一定行！问题问题2. 2. 一个旅游船从大桥一个旅游船从大桥ABAB的的P P处前往山脚下的处前往山脚下的Q Q处接游客，然处接游客，然后将游客送往河岸后将游客送往河岸BCBC上，再回到上，再回到P P处，请画出旅游船的最短路径。处，请画出旅游船的最短路径。AB P河岸大桥大桥山山QC说一说说一说 这节课我的收获是这节课我的收获是本节课涉及的最短路径问题：本节课涉及的最短路径问题：(一一)两点在一条直线异侧两点在一条直线异侧(二二) 两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧(三三)一点在两相交直线内部一点在两相交直线内部(四四)两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部归纳总结：归纳总结：轴对称变换可以实现线段的