利用导数解参数范围的八种策略

1、巧用导数解参数问题的八种策略 张红娟2012.10.18学习收获 现以近几年的高考题为例，探讨一下用导数求参数范围的几种常见题型及求解策略。策略一：分离变量法所谓分离变量法，是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知. 解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下结论均为已知的范围，求的范围： 结论一、 不等式恒成立（求解的最小值）；不等式恒成立（求解的最大

2、值）. 结论二、 不等式存在解（求解的最大值）；不等式存在解（即求解的最小值）.案例1、（2009福建卷）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_.分析：依题意方程在内有解，即案例2、（2008湖北卷）若上是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 分析：由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，案例3、（2008广东卷）设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）ABCD分析：，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有成立时,显然有,此时，由得.案例4、（2008江苏卷）设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为 解：当，则不论取何值，显然成立；当时，可化为，令，则， 所

3、以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而；当时，可化为， 在区间上单调递增，因此，从而，综上分离变量法是近几年高考考查和应用最多的一种。解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一类；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 高三复习过程中,很多题目都需要用到分离变量的思想,除了基础题目可以使用分离变量,很多压轴题也开可以用这种方法去求解。案例5、（2005湖北卷）已知向量=(,)，=(,)，若在区间(-1,1)上是增函数，求的取值范围. 解析：由向量的数量积定义，=()+()=+=+.若在区间(-1,1)上是增函数，则有0-在 (-1,1)上恒成立.若令=-=-

4、3()-在区间-1,1上，=5，故在区间(-1,1)上使恒成立，只需即可，即5.即的取值范围是5，）.利用导数与函数单调性的关系求解参数问题的题型，是高考命题的一种趋势，它充分体现了高考 “能力立意”的思想。对此，复习中不能忽视。案例6、已知函数，若对任意恒有，试确定的取值范围。解：根据题意得：在上恒成立，即：在上恒成立，设，则当时， 所以 案例7、已知时，不等式恒成立，求的取值范围。解：令， 所以原不等式可化为：，要使上式在上恒成立，只须求出在上的最小值即可。 策略二：主次元变换法案例1、.（2009北京卷）设函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若函数在区间内单调递增，

5、求的取值范围.分析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力（）（）题略，对于题（），若借助（）的结论入手，须分两种情况求解，学生不一定能考虑得很全面；通过思考，不妨变换一下主次元，转化为一次函数的问题求解。（）解：由题意 即 又 的取值范围是.本题通过变换主元的思想，巧妙地应用函数的单调性，避免了对k的讨论，简化了问题的求解。案例2、若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围。解：设，对满足的，恒成立， 解得：策略三、极值法有些函数问题，若能适时地借助函数的图象，巧妙地利用函数的极值来求解，可使问题豁然开朗。案例1.（07全国卷二）已知函数（

6、1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：解：（1）略（2）如果有一条切线过点，则存在，使若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根记，则当变化时，变化情况如下表：000增函数极大值减函数极小值增函数如果过可作曲线三条切线，即=0有三个相异的实数根，则有即本题的求解，充分利用函数的极值，把原本复杂的问题转化为极值的正负问题，使问题变得更加直观、充分体现了导数的优越性案例2、（2009陕西卷）已知函数 求的单调区间； 若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。解析：（1）略（2）因为在处取得极大值，所以所以由解得。由（1）中的单调性

7、可知，在处取得极大值，在处取得极小值。因为直线与函数的图象有三个不同的交点，由的单调性可知，案例3.（2008四川卷）已知x=3函数f(x)=a ln(1+x)+x2-10x的一个极值点。（）求a；（）求函数f(x)的单调区间；（）若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围。分析：（） （）略（）由（）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，所以的极大值为，极小值为因此 所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当因此，的取值范围为。充分利用函数的极值和数形结合的思想，把问题转化为极值问题，进一步分体现了导数在解题中的作用。策略四、零点法案例1、（

8、2009浙江文）已知函数 （I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值； （II）若函数在区间上不单调，求的取值范围解析：（）略 （）函数在区间不单调，等价于 导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有 ， 即： 整理得：，解得案例2、(2004新课程卷  )若函数y=x3ax2+（a1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+）内为增函数，试求实数a的取值范围.解：令，解得x=1或x=a-1，并且 a2,否则f (x)在整个定义域内单调。由题意，函数f(x)的图象应有三个单调区间且先增后减再增，而已知f(x)在(

9、1,4)内为减函数，在区间(6,+)内为增函数，可知函数f(x)在x=1处取得极大值，在x=a-1处取得极小值。 4a-16   得5a7  所以a的取值范围是5,7 应用函数的零点问题，解决相关的问题，也能取到意想不到的功效。策略五、构造新函数法 一定分类讨论？娟思考对于某些不容易分离出参数的恒成立问题，可利用构造函数的方法，再借助新函数的图像、性质等来求解，可以开拓解题思路、化难为易。 案例1、若时，不等式恒成立，求的取值范围。解：设，则问题转化为当时，的最小值非负。（1） 当即：时， 又所以不存在；（2） 当即：时， 又 （3） 当 即：时， 又综

10、上所得：案例2、（2007全国卷一）设函数（）证明：的导数；（）若对所有都有，求的取值范围解：（）的导数而，故（当且仅当时，等号成立）（）法一：令，于是不等式f(x)ax成立即为g(x)g(0)成立则，由（）可知，由当时，在上为增函数，从而有时，即案例3、（2006全国卷II）设函数f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围解：令g(x)(x1)ln(x1)ax（x>-1）于是不等式f(x)ax成立即为g(x)g(0)成立对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得 当时，g(x)0，g(x)为增函数，当，g(x)0，g(x

11、)为减函数， 所以要对所有x0都有g(x)g(0)等价条件为ea-110由此得a1，即a的取值范围是（，1 通过适时构造新的函数，简化了问题，把求参数的范围转化为函数的最值问题，对解题起到了画龙点睛的作用。策略六、二次函数法某些函数可转化为二次函数的模型，则可利用二次函数的性质来求解。案例1.（2008天津卷）已知函数（），其中（）当时，讨论函数的单调性；（）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围分析：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力（）略（）解：，显然不是方程的根为使仅在处有极值

12、，必须成立，即有解些不等式，得这时，是唯一极值因此满足条件的的取值范围是（）解：由条件，可知，从而恒成立当时，；当时，因此函数在上的最大值是与两者中的较大者为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，在上恒成立所以，因此满足条件的的取值范围是案例2、（2004河北卷）已知f(x)=在R上是减函数，求实数的取值范围.解： . f(x)在R上是减函数，恒成立，0在xR上恒成立，即 0，因此 3.策略七：利用集合与集合间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：，则且，不等式的解即为实数的取值范围。案例1、当时，恒成立，求实数的取值范围。解：（1） 当时，则问题转化为 （2） 当时，则问题转化为综上所得：或策略八：数形结合数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。案例1、若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。解：由题意知：在内恒成立，在同一坐