代数精度插值求积及复化公式

1、baaFbFdxxfI )()()( 但是，在工程技术领域，在实际使用上述求积分方法时，往但是，在工程技术领域，在实际使用上述求积分方法时，往往会遇到下面情况：往会遇到下面情况： 1. 函数函数f (x)没有具体的解析表达式，只有一些由实验测试没有具体的解析表达式，只有一些由实验测试数据形成的表格或数据形成的表格或 图形。图形。 关于定积分的计算，我们知道，只要求出关于定积分的计算，我们知道，只要求出f (x)的一个原的一个原函数函数F(x)，就可以利用牛顿，就可以利用牛顿莱布尼慈（莱布尼慈（Newton-Leibniz）公）公式出定积分值：式出定积分值： 3. f (x) 的结构复杂，求原函

2、数困难，即不定积分难求。的结构复杂，求原函数困难，即不定积分难求。 等321,ln1,sin,sin)(2xxxexxxfx2. f (x)的原函数无法用初等函数表示出来，如：的原函数无法用初等函数表示出来，如：由于以上种种原因，因此有必要研究积分的数值计算方法，进由于以上种种原因，因此有必要研究积分的数值计算方法，进而建立起上机计算定积分的算法。此外，数值积分也是研究微而建立起上机计算定积分的算法。此外，数值积分也是研究微分方程和积分方程的数值解法的基础。分方程和积分方程的数值解法的基础。数值积分数值积分1.1 构造数值求积公式的基本思想构造数值求积公式的基本思想 定积分定积分I=ab f

3、(x)dx在几何上为在几何上为x=a, x=b, y=0和和y=f (x)所围成的曲所围成的曲边梯形的面积。定积分计算之所以困难，是不规则图形的面积。由边梯形的面积。定积分计算之所以困难，是不规则图形的面积。由积分中值定理，对连续函数积分中值定理，对连续函数f (x)，在区间，在区间a, b 内至少存在一点内至少存在一点 ，使：使：)()()( fabdxxfIba也就是说也就是说,曲边梯形的面积曲边梯形的面积I 恰好等于恰好等于底为底为b-a, 高为高为f ( )的规则图形的规则图形矩形的面矩形的面积积(图图7-1), f ( )为曲边梯形的平均高度为曲边梯形的平均高度,然然而点而点 的具体

4、位置一般是不知道的的具体位置一般是不知道的,因此难因此难以准确地求出以准确地求出f ( )的值。但是的值。但是,由此可以得由此可以得到这样的启发到这样的启发,只要能对平均高度只要能对平均高度f ( )提供提供一种近似算法一种近似算法,便可以相应地得到一种数便可以相应地得到一种数值求积公式。值求积公式。 图图7-1 )(xfy )(f如用两端点的函数值如用两端点的函数值f (a)与与f (b)取算术平均值作为平均高度取算术平均值作为平均高度f ( )的近似值的近似值,这样可导出求积公式：这样可导出求积公式： 第七章 数值积分与微分7-3更一般地在区间更一般地在区间a, b 上适当选取某些点上适当

5、选取某些点xk (k=0,1,n), 然后然后用用f (xk) 的加权平均值近似地表示的加权平均值近似地表示f ( ),这样得到一般的求积公式：这样得到一般的求积公式： 1)-(7 )()(0 nnkkkbaIxfAdxxfI其中其中,点点xk 称为求积节点称为求积节点,系数系数Ak 称为求积系数，称为求积系数，Ak 仅仅与节仅仅与节点点xk 的选取有关的选取有关,而不依赖于被积函数而不依赖于被积函数f (x)的具体形式。的具体形式。 ( )( ( )( ) 2 , ( )() 22babab aIf x dxf af ba ba bIf x dxb a f梯形公式取中矩形公式另一方面定积分的

6、定义，另一方面定积分的定义，0 00( )lim()kk nnbkkaMaxxkIf x dxf xx 其中其中 xk是是a, b 的每一个分割小区间的长度的每一个分割小区间的长度,它与它与f (x)无关无关,去掉去掉极限极限,由此得到近似计算公式：由此得到近似计算公式： nkkknkkkbaxfAxxfdxxfI00 )()()( 因此，式（因此，式（7-1）可作为一般的求积公式）可作为一般的求积公式,其特点是将积分问其特点是将积分问题归结为函数值的计算题归结为函数值的计算,从而避开了使用牛顿一莱布尼慈公式需从而避开了使用牛顿一莱布尼慈公式需要求原函数的困难要求原函数的困难,适合于函数给出时

7、计算积分适合于函数给出时计算积分,也非常便于设计也非常便于设计算法算法,便于上机计算。便于上机计算。 求积公式（求积公式（7-1）的截断误差为：）的截断误差为： 0( )( )()nbnnkkakR fRIIf x dxA f x Rn也称为也称为积分余项积分余项.1.2 代数精度代数精度 如果某个求积公式对所有次数不大于如果某个求积公式对所有次数不大于m的多项式都精确成的多项式都精确成立，而至少对一个立，而至少对一个m +1次多项式不精确成，则称该公式具次多项式不精确成，则称该公式具有有m次代数精度。次代数精度。 一般来说，代数精度越高，求积公式越好。为了便于应用，一般来说，代数精度越高，求

8、积公式越好。为了便于应用，由定义由定义1容易得到下面定理。容易得到下面定理。 数值积分是一种近似计算数值积分是一种近似计算,但其中有的公式能对较多的函数但其中有的公式能对较多的函数准确成立准确成立,而有的只对较少的函数准确成立。为了反映数值积分而有的只对较少的函数准确成立。为了反映数值积分公式的准确差别公式的准确差别,引入代数精度的概念。引入代数精度的概念。 试验证梯形公式具有一次代数精度。试验证梯形公式具有一次代数精度。 例例1 22 22 223322 2 ,( )1,1d,(11),.21( ),d(),()222. 1( ),d(),(),32,.1,bababafxbaxbababa

9、bafxxx xbaabbafxxxxbaabx解对 于 梯 形 公 式 当时左 端右 端此 时 公 式 精 确 成 立当时 左 端右 端公 式 也 精 确 成 立当时 左 端右 端此 时 左 端右 端 即 公 式 对不 精 确 成 立故 由 定 理 知 梯 形 公 式.的 代 数 精 度 为 一 次定理定理1 一个求积公式具有一个求积公式具有m次代数精度的充分必要条件是该求次代数精度的充分必要条件是该求积公式对积公式对 1,x,x2,xm 精确成立，而对精确成立，而对xm+1不精确成立。不精确成立。 第七章 数值积分与微分7-6 上述过程表明上述过程表明,可以从代数精度的角度出发来构造求积公

10、式可以从代数精度的角度出发来构造求积公式. 如如,对于求积公式（对于求积公式（7-1）,若事先选定一组求积节点若事先选定一组求积节点xk (k=0,1,n,), xk可以选为等距点可以选为等距点,也可以选为非等距点也可以选为非等距点,令公式对令公式对f(x)=1,x,xn 精精确成立确成立,即得：即得：2)-(7 1211110022110010nabxAxAxAabxAxAxAabAAAnnnnnnnnnn 这是关于这是关于A0、A1、An的线性方程组的线性方程组,系数行列式为范德系数行列式为范德蒙行列式蒙行列式,其值不等于零其值不等于零,故方程组存在唯一的一组解。故方程组存在唯一的一组解。

11、 求解方程组求解方程组(7-2)确定求积系数确定求积系数Ak,这样所得到的求积这样所得到的求积公式公式(7-1)至少具有至少具有n次代数精度次代数精度. 例例2 确定求积公式确定求积公式 使其具有尽可能高的代数精度。使其具有尽可能高的代数精度。 解：求积公式中含有三个待定参数解：求积公式中含有三个待定参数,可假定近似式（可假定近似式（7-3）的代）的代数精度为数精度为m =2,则当则当f (x)=1，x，x2时，式（时，式（7-3）应准确成立，）应准确成立，即有：即有：代回去可得代回去可得： ) 37()() 0()()(101 hfAfAhfAdxxfIhh34,3)(32)(0201111

12、2311101hAhAAAAhhAAhAAAh) 47()(3) 0(34)(3)( hfhfhhfhdxxfba 检查（检查（7-4）对）对 m = 3 是否成立是否成立,为此为此,令令 f(x)=x3 代入（代入（7-4）,此时左边此时左边 ,3)(333右边hhhh第七章 数值积分与微分7-8),(3)(344hhhh 右边左边再检查（再检查（7-4）对）对m=4是否成立是否成立,令令f(x)=x4代入代入(7-4),此时此时:因此近似式（因此近似式（7-4）的代数精度为）的代数精度为m=3.由待定系数法确定的求积公式没有确切的误差估计式，只由待定系数法确定的求积公式没有确切的误差估计式

13、，只能从其所具有的代数精度去判定求积公式的准确程度。能从其所具有的代数精度去判定求积公式的准确程度。上述方法称为待定系数法，在具有尽可能高的代数精度的要上述方法称为待定系数法，在具有尽可能高的代数精度的要求下，利用它可以得出各种求积公式。求下，利用它可以得出各种求积公式。1.3 插值型求积公式插值型求积公式 设给定一组节点设给定一组节点a x0 x1 xn-1xn b，且已知，且已知f (x) 在在这些节点上的函数值，则可求这些节点上的函数值，则可求 得得f (x)的拉格朗日插值多项式：的拉格朗日插值多项式： nkkknxlxfxL0)()()(其中其中lk(x) 为为n次插值基函数。取次插值

14、基函数。取f (x) Ln(x)，则有：，则有： nkkbakbankkkbanbaxfxxlxxlxfxxLxxfI0 0 )(d)(d)()(d)(d)(记：记：5)-(7 ), 1 , 0( d)( nkxxlAbakknknkkbaIxfAxxfI0 )(d)(则有：则有：这种求积系数由式（这种求积系数由式（7-5）所确定的求积公式称为插值型求积公式）所确定的求积公式称为插值型求积公式. 根据插值余项定理，插值型求积公式的求积余项为：根据插值余项定理，插值型求积公式的求积余项为：其中其中 a,b 与与x有关有关.6)-(7 d)()!1()(d )()( 0) 1( bankknban

15、nnxxxnfxxLxfIIR关于插值型求积公式的代数精度，有如下定理。关于插值型求积公式的代数精度，有如下定理。 具有具有n +1个节点的数值求积公式（个节点的数值求积公式（7-1）是插值型求积公式的）是插值型求积公式的充分必要条件是该公式至少具有充分必要条件是该公式至少具有n次代数精度。次代数精度。定理定理2说明说明,当求积公式（当求积公式（7-1）选定求积节点）选定求积节点xk后后,确定求积系确定求积系数数Ak有两条可供选择的途径：求解线性方程有两条可供选择的途径：求解线性方程 组（组（7-2）或者计算）或者计算积分（积分（7-5）,即利用即利用n次代数精度或插值型积分来确定求积系数次代

16、数精度或插值型积分来确定求积系数. 由此得到的求积公式都是插值型的由此得到的求积公式都是插值型的,其代数精度均不小于其代数精度均不小于n次次. 0( )() (7-1)nbkknakIf x dxA f xI 证：证：(充分性充分性) 设求积公式（设求积公式（7-1）至少具有）至少具有n次代数精度次代数精度,那么那么,由于插值基函数由于插值基函数 li(x) (i=0,1,n)均是次数为均是次数为n的多项式的多项式,故式（故式（7-1）对对li(x)精确成立精确成立,即即: ( d niikk ikik 0biia1ki)l ( x)l ( x )A l ( x )A0(ki)l ( x) x

17、A(i0,1,n)71由于满足： 所以：故：所以，求积公式是插值型的。 (必要性必要性) 设求积公式（设求积公式（7-1）是插值型的，则对所有次数不大于）是插值型的，则对所有次数不大于n的多项式的多项式f (x)，按（，按（7-6）其求积余项）其求积余项Rn = 0，即这时插值型求积公，即这时插值型求积公式是精确成立的。由定义式是精确成立的。由定义1,n+1个节点的插值型求积公式至少具有个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。（证毕）次代数精度。（证毕）例例3 考察求积公式：考察求积公式： 111f ( x )dx( f ( 1)2 f (0 )f (1)2具有几次代数精度具有几次代数精度

18、. 次代数精度。所以此求积公式具有一右边左边时当右边左边时当右边公式左边时检查当解：1) 1021 (2132d ,)(0) 1021(210d ,)(2) 121 (212d ,1)( 1 1 221 1 1 1 xxxxfxxxxfxxf 注：注：n+1个节点的求积公式不一定具有个节点的求积公式不一定具有n次代数精度次代数精度.其原因是其原因是此求积公式不一定是插值型的。此求积公式不一定是插值型的。 例：例：2 牛顿一柯特斯牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式公式 本节介绍节点等距分布时的插值型求积公式，即牛顿一柯特本节介绍节点等距分布时的插值型求积公式，即牛顿一柯特斯（斯（New

19、ton-Cotes）公式。）公式。 2.1 牛顿一柯特斯（牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式）公式 设将积分区间设将积分区间a, b 划分为划分为n等分等分,步长步长h=(b-a)/n,求积节点取为求积节点取为xk = a+kh(k=0,1,n),由此构造插值型求积公式由此构造插值型求积公式,则其求积系数为则其求积系数为: 0nn 0 0j 0j 0j kj k( )dd (0,1,)( 1):d()d (0,1,)!()!引引入入变变换换则则有有nbbjkkaajkjjknknnkxxAlxxxknxathxxtjbaAhttjtknkjnknk 记：记：7)-(7 ), 1 ,

20、0( d)()!( !) 1( 0 nkj0j)(nktjtknnkCnknnk 于是得求积公式则,)()(nkkCabA8)-(7 )()(0)(nkknknxfCabI称之为称之为n阶牛顿一柯特斯（阶牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式）公式简记为简记为N-C公式公式， 称称 为柯特斯系数。显然，柯特斯系数与被积函数为柯特斯系数。显然，柯特斯系数与被积函数f (x) 和积和积分区间分区间a, b 无关，且为多项式积分，其值可以事先求出备用。无关，且为多项式积分，其值可以事先求出备用。表表7-1中给了了部分柯特斯系数。中给了了部分柯特斯系数。 )(nkC柯特斯系数柯特斯系数 表表7-

21、1 989 5888 -928 10496 -4540 10496 -928 5888 9891/283508751 3577 1323 2989 2989 1323 3577 7511/172807 41 216 27 272 27 216 411/8406 19 75 50 50 75 191/2885 7 32 12 32 71/904 1 3 3 11/8 1 4 1 ), 1 ,0( )(nkBACknknABk经计算或查表得到柯特斯系数后，便可以写出对应的牛顿一柯特经计算或查表得到柯特斯系数后，便可以写出对应的牛顿一柯特斯（斯（Newton-Cotes）公式。）公式。 当当n =1

22、时时,按公式（按公式（7-7）有：）有： 21 21) 1(! 1! 0111 0 )1(11 0 )1(0tdtCdttC得求积公式得求积公式：9)-(7 )()(2)()(10) 1 (1TbfafabxfCabIkkk即即梯形公式梯形公式 0122 2(2)0 01 2(2)1 01 2(2)2 0,(77):2( 1)1(1)(2)2 0! 2!6( 1)4(2)2 1! 1!6( 1)1(2)2 1! 1!6abxa xxbCttdtCt tdtCt tdt 相相应应的的节节点点按按公公式式当当n =2时时第七章 数值积分与微分7-15相应的求积公式：相应的求积公式：10)-(7 )

23、(24)(62SbfbafafabI称为称为辛卜生辛卜生(Simpson)公式公式. 4 4( 4 )0 03 4( 4 )1 02 4( 4 )2 01 4( 4 )3 0( 4 )4(1)7(1)(2)(3)(4)40! 4!90(1)32(2)(3)(4),4 1! 3!90(1)12(1)(3)(4)42! 2!90(1)32(1)(2)(4),43! 1!90(1CttttdtCt tttdtCt tttdtCt tttdtC，0 4 0)7(1)(2)(3)44! 0!90t tttdt当当n=4时，所得的公式称作时，所得的公式称作柯特斯公式柯特斯公式，它有五个节点，其系数：，它有

24、五个节点，其系数：所以柯特斯公式是所以柯特斯公式是：11)-(7 )(7)(32)(12)(32)(79043210 xfxfxfxfxfabC (0,1,2,3,4), 4其其中中kbaxakh kh 柯特斯系数的性质柯特斯系数的性质1、与积分区间无关与积分区间无关:当当n确定后确定后,其系数和都等于其系数和都等于1,即即 10)(nknkC2、对称性对称性：)()(nknnkCC此特性由表此特性由表7-1很容易看出，对一般情况可以证明。很容易看出，对一般情况可以证明。(略略) 3、柯特斯系数并不永远都是正的柯特斯系数并不永远都是正的。表表7-1看出当看出当n = 8时时,出现了负系数出现了

25、负系数,在实际计算中将使舍入误差增在实际计算中将使舍入误差增大大,并且往往难以估计并且往往难以估计, 从而牛顿一柯特斯公式的收敛性和稳定性从而牛顿一柯特斯公式的收敛性和稳定性得不到保证得不到保证,因此实际计算中不用高阶的。因此实际计算中不用高阶的。 第七章 数值积分与微分7-17102100N -C1 !1 !nnbnjajnnxathnnjfRxxdxnhftjdtnn+1个 节 点 的求 积 公 式 的 截 断 误 差 为 :第七章 数值积分与微分7-182n阶阶Newton-Cotes公式至少具有公式至少具有2n+1次代数精度。次代数精度。 我们知道，由我们知道，由n次插值多项式导出的次

26、插值多项式导出的n次牛顿一柯特斯公式至次牛顿一柯特斯公式至少具有少具有n次代数精度次代数精度. 由于节点等距，更进一步有以下结论：由于节点等距，更进一步有以下结论：定理定理证：计算知由证：计算知由2n次插值多项式导出的求积公式次插值多项式导出的求积公式 的截断误差为的截断误差为0即可即可.31.NCnn定理 实际上是说,n+1个节点的公式的代数精度 为偶时为 222221200222122200222222-N-C21 !,=14=0nnnnnjnnnnnjnnnhRftjdtnfxxRhtj dthx xxxndx2n+1个 节 点 的求 积 公 式 的 截 断 误 差 为 :取例例4验证辛

27、卜生验证辛卜生(Simpson)公式公式: )()2(4)(6bfbafafabS具有三次代数精度。（定理具有三次代数精度。（定理3直接得到）直接得到）解：由定理解：由定理2, 3个节点的插值积分公式辛卜生公式至少具有二次个节点的插值积分公式辛卜生公式至少具有二次代数精度代数精度,因此只需检查对因此只需检查对f (x)=x3成立否。当成立否。当f (x)=x3时：时： 4)(24)(61)2(4(6)()2(4)(6 4)(4432244333 443ababbabaaabbbaaabbfbafafabSabdxxdxxfIbaba而所以所以I = S，表明辛卜生公式对于次数不超过三次的多项式

28、准确成，表明辛卜生公式对于次数不超过三次的多项式准确成立，用同样的方法可以验证对于立，用同样的方法可以验证对于f (x)=x4，辛卜生公式不成立，因此，辛卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代数精度可以达到三次。辛卜生公式的代数精度可以达到三次。 在几种低阶在几种低阶N-C公式中公式中, 感兴趣的是梯形公式（最简单感兴趣的是梯形公式（最简单,最基本）最基本）辛卜生公式和柯特斯公式。辛卜生公式和柯特斯公式。例例5解：解：由由梯形公式（梯形公式（7-9）： 由由辛卜生公式（辛卜生公式（7-10）得：得：由由柯特斯公式（柯特斯公式（7-11）得：得：2449787. 011179 . 011328 .

29、011127 . 011326 . 0117906 . 0122222CI事实上，事实上，积分的积分的精确值精确值：24497866.0d1116.01 6.0 2arctgxxxI 与之相比可以看到，柯特斯公式的结果最好，具有七位有效数与之相比可以看到，柯特斯公式的结果最好，具有七位有效数字；辛卜生公式的结果次之，具有四位有效数字；而梯形公式的结字；辛卜生公式的结果次之，具有四位有效数字；而梯形公式的结果最差果最差,只有两位有效数字只有两位有效数字。 分别用梯型公式、辛卜生公式和柯分别用梯型公式、辛卜生公式和柯特斯公式计算积分：特斯公式计算积分：1 6.0 2d11xxI2449546. 0

30、1118 . 01146 . 01166 . 01222 SI2470588.01116 .01126 .0122 TI2.2 几种低价几种低价N-C求积公式的余项求积公式的余项 1. 考察梯形公式考察梯形公式,按按N-c的截断误差知的截断误差知,梯形公式（梯形公式（7-9） 的余项的余项： 3 1 0()()()d2!=() (1)dt2!bTafRITxaxbxbaft t这里被积函数中的因子这里被积函数中的因子t(t1)在区间在区间0, 1 上不变号（非正），上不变号（非正），故由积分中值定理，在故由积分中值定理，在0, 1 内至少存在一点内至少存在一点 ，使：，使： 3 13 0( )

31、( )=(1)dt=() , , (7-12)2!12TbaffRt tbaa b2. 对于辛卜生公式对于辛卜生公式, (4) 2 54(4)(4)( )()() ()d4!2()( )=( ) ( , ) (7-13)18022880bSafabRxaxxbxbababaffa b 需要注意的是，关于牛顿需要注意的是，关于牛顿-科特斯公式的收敛性，可以证明，科特斯公式的收敛性，可以证明，并非对一切连续函数并非对一切连续函数f (x),都有：都有： , 也就是说牛顿也就是说牛顿柯特柯特斯公式的收敛性没有保证。当斯公式的收敛性没有保证。当n趋于无穷时，它的稳定性也没趋于无穷时，它的稳定性也没有保

32、证，因此，在实际计算中，一般不采用高阶有保证，因此，在实际计算中，一般不采用高阶(n 8) 的牛顿的牛顿-柯特斯公式。柯特斯公式。0limnnR3. 柯特斯公式（柯特斯公式（6-10）的余项为）的余项为)147(, ),(4945)(2)6(6bafababCIRC在实际计算中常用前面三种低价在实际计算中常用前面三种低价N-C公式，但若积分区间公式，但若积分区间比较大，直接使用以上三种低阶求积公式，则精度难以保证；比较大，直接使用以上三种低阶求积公式，则精度难以保证；若增加节点，就要使用高阶的若增加节点，就要使用高阶的N-C公式，然而前面已指出，当公式，然而前面已指出，当n 8时，由于时，由于

33、N-C公式的收敛性和稳定性得不到保证，因此不能公式的收敛性和稳定性得不到保证，因此不能采用高阶的公式。事实上，增加节点，从插值的角度出发，必采用高阶的公式。事实上，增加节点，从插值的角度出发，必然会提高插值多项式的次数，然会提高插值多项式的次数，Runge现象表明，一般不采用高现象表明，一般不采用高次插值，亦即不用高阶次插值，亦即不用高阶N-C公式。公式。为提高精度，当增加求积节点时，考虑对为提高精度，当增加求积节点时，考虑对被积函数用分段低次被积函数用分段低次多项式近似多项式近似，由此导出复化求积公式。，由此导出复化求积公式。3 复化求积公式复化求积公式 3.1 复化梯形公式复化梯形公式用分

34、段线性插值函数来近似被积函数用分段线性插值函数来近似被积函数,等于把积分区间分成等于把积分区间分成若干小区间若干小区间,在每个小区间上以梯形面积近似曲边梯形面积在每个小区间上以梯形面积近似曲边梯形面积,即用即用梯形公式求小区间上积分的近似值梯形公式求小区间上积分的近似值.这样求得的近似值显然比整区这样求得的近似值显然比整区间上用梯形公式计算精度高。间上用梯形公式计算精度高。 a,bnddk 1kkkk 1n 1n-1bxkk 1axk 0k 0ba,h,xakh(k0,1,n).n x ,x(k0,1,n1),hf ( x ) xf ( x ) x f ( x )f ( x)2将积分区间等分

35、记在每个小区间上用梯形公式并求和 得15)-(7 )(2)()(2)d( 11 nnkkbaTxfbfafhxxf整理得式（式（7-15）称为）称为复化梯形公式复化梯形公式。因为因为f (x) 在在a, b 连续，由介值定理，存在连续，由介值定理，存在(a, b)，使得：，使得： 10)(1)(nkkfnf从而有：从而有：16)-(7 ),( )(12)(12d)()(23 bafhabf nhTxxffRnbaT 这就是这就是复化梯形公式的截断误差复化梯形公式的截断误差. bankknTkkkxxkkkkkfhTxxffRxxfhxfxfhxxfxxbaCxfkk 1031 311)2()(

36、12)d()(),( )(12)()(2d)(,)(1因此：梯形公式的截断误差为上在小区间如果3.2 复化复化Simpson公式和复化公式和复化Cotes公式公式 如果用分段二次插值函数近似被积函数，即在小区间上用如果用分段二次插值函数近似被积函数，即在小区间上用Simpson公式计算积分近似值，就导出复化公式计算积分近似值，就导出复化Simpson公式公式。 22222222221 22122 1 0221 , ,(0,1,2 ),2,:( )d()4()()3( )d( )d()4()(6kkkkkkkkxkkkxnbxaxkkka bnxakh knbahxxxnSimpsonhfxxf

37、xfxfxfxxfxxhfxfxfx将 区 间分 成 2 等 分 分 点 为小 区 间的 中 点 为用公 式 求 积 分 则 有求 和 得 ：12201121201)( )4()2()( )3nkknnkkkkhfafxfxf b如果如果f (x) C(4)a, b,由式（由式（7-13）可得复化）可得复化Simpson公式的截断误公式的截断误差为：差为：11 221 005(4)2221()( )d( )( )2()4()32() ,2880nnbSkkakknkkkkkhRff xxf af bf xf xhfxx整理得：整理得：式（式（7-17）称为）称为复化复化Simpson公式公式。

38、 11 221 10( )d ( )( )2()4() (7-17)3nnbkknakkhf xxf af bf xf xS因为因为f (4)(x) 连续，故存在连续，故存在 (a, b)，使得：，使得：4(4)()( ) ( , ) (7-18)180SbaRfh fa b (4)(4)11( )()nkkffn若用复化求积公式计算积分若用复化求积公式计算积分:的近似值，要求计算结果有四位有效数字，的近似值，要求计算结果有四位有效数字，n应取多大？应取多大？ 1 0 dexIx解解 因为当因为当0 x1时有时有0.3e-1e-x1于是：于是： 1de3 .01 0 xx要求计算结果有四位有效

39、数字要求计算结果有四位有效数字,即要求误差不超过即要求误差不超过10-4 / 2.又因为又因为:422102112)(121 hfhRT 1 , 0 1e)()(xxfxk由复化梯形公式误差估计式：由复化梯形公式误差估计式： 式（式（7-18）表明）表明,步长步长h越小越小,截断误差越小截断误差越小.与复化梯形公式的分与复化梯形公式的分析相类似析相类似,可以证明可以证明,当当n 时时,用复化用复化Simpson公式所求得的近似公式所求得的近似值收敛于积分值值收敛于积分值,而且算法具有数值稳定性而且算法具有数值稳定性.4(4)()( ) ( , ) (7-18)180SbaRfh fa b 例子

40、的计算结果表明，为达到相同的精度，用复化例子的计算结果表明，为达到相同的精度，用复化Simpson公公式所需的计算量比复化梯形公式少，这也说明了复化式所需的计算量比复化梯形公式少，这也说明了复化Simpson公式公式的精度较高，实际计算时多采用复化的精度较高，实际计算时多采用复化Simpson公式。公式。 复化求积方法又称为复化求积方法又称为定步长定步长方法。复化求积公式方法。复化求积公式,根据预先给根据预先给定的精度能估计出合适的步长或定的精度能估计出合适的步长或 n,进而确定对积分区间的等分数进而确定对积分区间的等分数,如同例如同例7一样一样. 然而当被积函数稍复杂一些，要由误差估计式给出

41、合然而当被积函数稍复杂一些，要由误差估计式给出合适的步长，就要估计被积函数导数的上界值，而这一点是相当困难适的步长，就要估计被积函数导数的上界值，而这一点是相当困难的。的。8 .40106142nn即：因此若用复化梯形公式求积分因此若用复化梯形公式求积分,n应等于应等于41即即41等分才能达到精度等分才能达到精度.若用复化若用复化Simpson公式公式,由式（由式（7-18） 44)4(41021180)(180hfhRS即得即得n 1.6.故应取故应取n = 2即即4等分等分. h=1/nh=1/2n复化复化Cotes公式公式 将区间将区间a, b分成分成n 等分等分,分点为：分点为：nab

42、hnkkhaxk ),1 ,0(在每个小区间：在每个小区间：,1kkxx上，共五个点：上，共五个点：1434241,kkkkkxxxxx19)-(7 )(7)(14)(32)(12)(32)(79010114/31010424/1 nknkkknknkkknbfxfxfxfxfafhC20)-(7 ),(),(4945)(2)()6(6bafhabCIfRnc881125, 0,1342. 01631810213112)()01 (1231)(,211d)2cos(max)(d)2cos(d)cos()(,dcossin)(3221 0 1 0 10)(1 0 1 0 )(1 0 abhhhfhRxfkkdtttkntxtxftktxttxtdxdxftxtxxxfTkkxkkkkk 因此可取时当故：所以由于1 0 sindxxxI要使截断误差不超过要使截断误差不超过10-3 / 2，h应取多大？应取多大？辛普生公式又怎么样？辛普生公式又怎么样？ 用复化梯形求积公式计算积分用复化梯形求积公式计算积分:作作业业第七章 数值积分与微分7-324 逐次分半算法逐次分半算法(