函数的基本性质

1、第三节第三节 函数的基本性质函数的基本性质一、有界性一、有界性二、单调性二、单调性三、奇偶性三、奇偶性四、周期性四、周期性一、有界性一、有界性设函数y=f(x)的在集合内有定义，如果存在正数M，使得对于任意的 ，都有成立，则称f (x)在内有界，或称f (x)为内的有界函数，如果这样的M不存在，就称函数f(x)在内无界.如果M为f(x)的一个界，易知比M大的任何一个正数都是f(x)的界.Mxf | )(|如果f(x)在内无界，那么对于任意一个给定的正数M，中总有相应的点 ，使得 .MxMxfM | )(|Dx当函数y=f(x)在区间a,b上有界时，函数y=f(x)的图形恰好位于直线y=M和y=

2、 之间.这里取=1.函数y=sinx的图形位于直线y=1与y= 1之间.例如，函数f(x)=sinx在 内是有界的. 这是因为对于任意的 ， 都有 成立，),(),(x1|sin|x应该注意，函数的有界性，不仅仅要注意函数的特点，还要注意自变量的变化范围.例如，函数 在区间(1,2)内是有界的.xxf1)(成立，都有1|1| )(| xxf)2 , 1 (x事实上，若取=1，则对于任何 而 在区间(0,1)内是无界的.xxf1)(二、单调性二、单调性设函数y=f(x)在区间I上有定义(即是函数y=f(x)的定义域或者是定义域的一部分).如果对于任意的 ，当 时，均有则称函数y=f(x)在区间上

3、单调增加(或单调减少).Ixx21,21xx ),()( )()(2121xfxfxfxf或则称函数y=f(x)在区间上严格单调增加(或严格单调减少). 如果对于区间I上任意两点 ，当 均有21xx 及),()( )()(2121xfxfxfxf或21xx 严格单调增加的函数的图形是沿x 轴正向上升的；严格单调减少的函数的图形是沿x 轴正向下降的；例如，函数 内是严格单调增加的.),()(3在xxf0 ,()(2在xxf函数 内是严格单调减少的，在区间 上是严格单调增加的,而在区间 内则不是单调函数.),(), 0 三、奇偶性三、奇偶性设函数y=f(x)的定义域D是关于原点对称的，即当 时，有

4、 .则称f(x)为偶函数，偶函数的图形关于y轴对称；),()(xfxfDxDx如果对于任意的 ，均有Dx如果对任意的 ,均有Dx就称函数f(x)为奇函数.奇函数的图形关于坐标原点对称.),()(xfxf例1 讨论下列函数的奇偶性:;)( ) 1 (2xxf;)()2(3xxf.)( ),()()(2)333是奇函数xxfxfxxxf. )( ),()()() 1 (222是偶函数xxfxfxxxf解.)()3(32xxxf,)( ,)( ,)()3(323232xxxfxxxfxxxf而),()( ),()(,0 xfxfxfxfx且时当. )(32函数既不是偶函数也不是奇所以xxxf 设函数

5、y=f (x)在内有定义, 如果存在正常数 T,使得对于内的任何x，恒有 f (x + T)=f (x) 四、周期性四、周期性 显然，若T是f(x)的周期，则kT也是f(x)的周期(k=1,2,3 )，通常我们说的周期就是指最小正周期. 成立，则称函数y=f (x)为周期函数，T为f (x)的周期.例如，函数y=sin x及y=cos x都是以 为周期的周期函数；2函数y=tan x及y=cot x都是以 为周期的周期函数.,) sin()(为常数其中的周期求函数AtAtf，只需的周期为并注意到 , 2 , 1 , 0 2 2sinnTt解 设所求的周期为T，由于) sin( )(sin)(TtATtATtf