一节定积分的概念

1、1第一节第一节 定积分的概念定积分的概念一、引入定积分概念的实例一、引入定积分概念的实例二、定积分二、定积分的概念的概念三三、定积分、定积分的存在定理的存在定理四、定积分的基本性质四、定积分的基本性质2一、引入定积分概念的实例引例1 曲边梯形的面积曲边梯形 设函数f(x)在区间a,b(ab)上非负且连续,由曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧y=f(x)称为曲边,线段ab称为底边.3问题 求由x=a, x=b, y=0与y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积.4求曲边梯形的面积A的具体做法：(1)分割 在(a,b)内插入n1个分点bxxxxxann1210

2、过每个分点xi(i=1,2,n)作y轴的平行线，将曲边梯形分割成n个小曲边梯形.记每一个小区间 的长度为)21( 1nixxxiii，,1iixx , , . , ,112110nniixxxxxxxx， 把区间a,b分成n个小区间5(2)近似、求和. 在每一个小区间xi-1, xi上任取一点i,以xi为底边,以f(i)为高作小矩形,其面积为f(i) xi.以此作相应的小曲边梯形面积的近似值,即( ) (1,2,),iiiAfxinn个小矩形面积的和即为整个曲边梯形的近似值11( ).nniiiiiAAfx6 我们同样可以用这种“分割，近似、求和，取极限”的方法解决变力作功的问题.(3)取极限

3、记所有小区间长度的最大值为1maxii nx 01lim( ).niiiAfx当0时和式 (n个小矩形面积之和)的极限存在,则定义极限值为曲边梯形面积,即 1( )niiifx7引例2 变力做功 设一物体作直线运动,受到与运动方向平行的力的作用,当力F是恒力时,物体位移为s,力F所做的功就是w=Fs. 但实际问题中,物体在运动中受力常常不是恒力,此时不能直接用上述公式计算变力所做的功.如果已知F(s)是位移s的连续函数,物体位移区间为a,b(即位移s从a变到b).则所求功显然取决于位移区间及定义在这个区间上的函数F(s).如果把位移区间分成许多小区间，总功应等于对应于各小区间上变力所做功之总和

4、.8计算步骤(1)分割)., 2 , 1( : :, , , :,11210112110nisssbssssssassssssssnbaiiinninnii小区间的长分别为分点为分别为个小区间分成将闭区间9. )(lim , )(0 )max( (3)101niiiniiiisFW=basFs即上，对质点所做的功，在区间的极限值定义为变力时，和式则最大值记为把所有小区间长度中的取极限 以上两问题虽然不同，但解决问题的方法却相同，即归结为求同一结构的总和的极限.由此引入定积分的概念.10在每个小区间 任取一点 作和式二、定积分的概念011211 , ,iinnx xx xxxxx定义5.1 设函

5、数f(x)在区间a,b上有界,在(a,b)内插入n1个分点),(1iiiixx1,iixx1( )niiifx各小区间的长度为0121 nnaxxxxxb把区间a,b分为n个小区间1 (1,2, )iiixxxin11，记作上的在区间数相等，则称此极限为函述和式的极限都存在且时，上任意取法，只要当上点和小区间任一分法，如果对区间记 ,)( 0,.,max12baxfxxbaxxxiiini定积分(简称积分),)(limd)(10niiibaxfxxf其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，a,b叫做积分区间.12 根据定积分的定义，

6、前面所讨论的两个引例就可以用定积分概念来描述： 曲线 、x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间a,b上的定积分，即)0)()(xfxf.d )(xxfAba 物体在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a移动到b，变力对物体所做之功等于函数F(s)在a,b上的定积分，即bassFWd)(13 如果函数f(x)在区间a,b上的定积分存在，则称函数f(x)在区间a,b上可积.14 关于定积分的概念，还应注意两点: (1)定积分 是积分和式的极限，是一个数值,定积分值只与被积函数f(x)及积分区间a,b有关,而与积分变量的记法无关.即有.d)(d)(d)( bab

7、abauufttfxxfxxfbad )(2)在定积分 的定义中,总假设 ,为了今后使用方便，对于 的情况作如下规定：xxfbad )(ba baba ，.d )(d )( ,0d )( xxfxxfbaxxfbabaabba时当；时，当15定积分的几何意义： 如果在a,b上 ，则 在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积.0)(xfbaxxfd)(16 如果在a,b上 ,此时由曲线y=f(x),直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方,则定积分 在几何上表示上述曲边梯形的面积A的相反数.0)(xfbaxxfd)(17 如果在a,b上f(x)

8、既可取正值又可取负值，则定积分 在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.baxxfd)(18三、定积分的存在定理.,)(,)(上可积在上连续，则在区间若函数baxfbaxf定理5.1.,)(,)( 上可积在间断点，则第一类上有界，且只有有限个在区间若函数baxfbaxf定理5.219例1 用定义计算120d .xx解 (1)分割.插入n1个分点把区间0,1分成n等分,各分点的坐标依次是012120,1,ininxxxxxnnnn每个小区间的长度均为1(1,2, ).ixinn(2)近似、求和.取每各小区间 右端点为i,即1,iixx112212,1,

9、iinnixxxxnnn作乘积2231( )( ) (1,2, ).iiiifxinnnn20233111 1( )(1)(21)6nniiiiifxn nnnn111(1)(2)6nn这里用了正整数平方和公式22221112(1)(21).6niinn nn(3)取极限.当 , 时取极限,得11max0ii nxn n 011111lim( )lim(1)(2)63niinifxnn所以所求的定积分120d .xx21iniiiniixgxf1010)(lim)(lim=性质1 函数的和(或差)的定积分等于它们的定积分的和(或差).d)(d)(d)()(bababaxxgxxfxxgxfin

10、iiibaxgfxxgxf10)()(limd)()(证明.d)(d)(=babaxxgxxf)()(lim110iniiniiixgxf设各性质中涉及的函数都是可积. 四、定积分的基本性质22推论 有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积分的代数和，即.d)(d)(d)( d)()()(2121banbababanxxfxxfxxfxxfxfxf23性质 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面,即).( d)(d)( 是常数kxxfkxxkfbaba.d)(=)(lim=10baniiixxfkxfkniiibaxkfxxkf10)(limd)( 证明niiixfk10)(lim24b

11、ccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(性质 3 如果积分区间a,b被分点c分成区间a,c和c,b,则 性质6.3表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可以用于求分段函数的定积分.按定积分的补充规定有:不论a,b,c的相对位置如何(如abc,cab等),总有等式bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(25211, 0,( ) ( )d .1, 0,2xxf xf xxxx求利用定积分的几何意义，可分别求出，21d)1 (01xx.23121d)(21xxf例2 已知，200121d)21 (d)1 (d)(xxxxxxf解，1d)21 (20 xx26，则上恒有如果在区间1)(

12、, xfba性质 4.d1d)(abxxxfbaba，则上恒有如果在区间0)(, xfba性质 50.d)(baxxf，则上恒有如果在区间)()(,xgxfba推论1.d)(d)( babaxxgxxf).( d)(|d)(| 2baxxfxxfbaba推论27则上的最大值及最小值，在区间分别是函数及设,)( baxfmM性质 6 (估值定理).( )(d)()(baabMxxfabmba),( )(bxaMxfm证明bababaxMxxfxm，得推论由性质dd)(d 15()( )d().bam baf xxM ba由性质6.2和性质6.4,可得28 曲边梯形的面积小于由y=M，x=a，x=

13、b及x轴所围成的矩形面积，而大于由y=m，x=a，x=b及x轴所围成的矩形面积.性质6的几何意义：29.dsin3 6 的值试估计定积分xx，6323dsin632136xx.123dsin12 36xx即例3，最小值，上，最大值，在216sin)6(233sin)3(36ff解30).( )(d)( baabfxxfba性质 7(定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一个点,使下式成立证明 因为函数f(x)在闭区间a,b上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，f(x)在a,b上一定有最大值M和最小值m，由定积分的性质 6，有 ，)(d)()( abMxxfabmba，即Mxxfabmbad)(1 31即数值 介于f(x)在a,b上的最大值M和